RAPPORTI E PROPORZIONI

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1 ARITMETICA PREREQUISITI l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni ed operare con esse l abilitaá di calcolo con le frazioni l calcolare la radice quadrata di un numero CONOSCENZE. i termini di un rapporto. le proprietaá del rapporto. riduzioni ed ingrandimenti in scala. i termini di una proporzione. le proprietaá di una proporzione ABILITAÁ A. calcolare il rapporto fra grandezze ed applicare la proprietaá fondamentale B. operare ingrandimenti e riduzioni in scala C. applicare le proprietaá delle proporzioni D. calcolare il termine incognito di una proporzione PER RICORDARE I rapporti:. il rapporto fra due valori numerici eá costituito dal loro quoziente;. moltiplicando o dividendo l'antecedente eilconseguente per lo stesso numero, diverso da zero, si ottiene un rapporto equivalente a quello dato;. il rapporto fra due grandezze omogenee eá il quoziente tra le loro misure espresse con la stessa unitaá di misura e daá origine ad un numero puro;. due grandezze commensurabili hanno per rapporto un numero intero o un numero razionale e quindi ammettono un sottomultiplo comune;. due grandezze incommensurabili hanno per rapporto un numero irrazionale e quindi non ammettono un sottomultiplo comune; 6. il rapporto fra due grandezze non omogenee daá origine ad una grandezza derivata, diversa cioeá da quelle date, il cui valore dipende dalla scelta delle unitaá di misura delle due grandezze date;. la scala di riduzione rappresenta il rapporto tra la misura di una distanza sulla carta e la misura della stessa distanza nella realtaá. Le proporzioni e le loro proprietaá: 8. una proporzione eá un'uguaglianza tra due rapporti;. le proporzioni continue hanno i medi uguali; 0. in ogni proporzione il prodotto dei medi eá sempre uguale al prodotto degli estremi;. proprietaá dell'invertire: se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ha ancora una proporzione;. proprietaá del permutare: se in una proporzione si scambiano di posto i due medi (o i due estremi oppure entrambi) si ha ancora una proporzione;. proprietaá del comporre: in una proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine);

2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS. proprietaá dello scomporre: in una proporzione la differenza del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine);. in una proporzione con un termine incognito, per calcolare il valore: a. di un estremo bisogna moltiplicare i due medi e dividere il prodotto ottenuto per l'altro estremo; b. di un medio bisogna moltiplicare i due estremi e dividere il prodotto ottenuto per l'altro medio; c. del medio proporzionale (proporzione continua) bisogna moltiplicare i due estremi ed estrarre la radice quadrata del prodotto ottenuto; 6. per calcolare i due termini incogniti in una proporzione di cui si conosce il rapporto e la somma bisogna applicare la proprietaá del comporre e sostituire il valore della somma;. per calcolare i due termini incogniti in una proporzione di cui si conosce il rapporto e la differenza bisogna applicare la proprietaá dello scomporre e sostituire il valore della differenza. ESERCIZI DI CONOSCENZA Il rapporto fra due valori numerici eá costituito: a. dal loro prodotto; b. dalla loro somma; c. dal loro quoziente; d. dalla loro differenza. Completa le seguenti frasi: a. il rapporto inverso tra due numeri eá il quoziente tra il... e il primo numero; b. moltiplicando o dividendo l'antecedente... per uno stesso numero, diverso da..., si ottiene... a quello dato; c. due grandezze omogenee che hanno per rapporto un numero intero, e che quindi ammettono un... comune, si dicono...; d. il rapporto tra due grandezze non omogenee eá il risultato della... tra le loro misure e daá origine ad una grandezza... Indica quale delle seguenti affermazioni eá falsa. Due grandezze che hanno per rapporto un numero: a. razionale, e che quindi ammettono un sottomultiplo comune, si dicono incommensurabili; b. irrazionale, e che quindi non ammettono un sottomultiplo comune, si dicono incommensurabili; c. intero o un numero razionale, e che quindi ammettono un sottomultiplo comune, si dicono commensurabili. La scala di riduzione rappresenta: a. il rapporto tra la misura di una distanza sulla carta e la misura della stessa distanza nella realtaá; b. il rapporto tra la misura di una distanza nella realtaá e la misura della stessa distanza sulla carta; c. la misura della distanza nella realtaá divisa per 000. Indica come si definiscono i termini della proporzione 80 : 6 ˆ 0 : 0: a. 80 e 0 si chiamano...; b. 6 e 0 si chiamano...; c. 80 e 0 si chiamano...; d. 6 e 0 si chiamano... 6 Una proporzione continua eá una proporzione con: a. gli estremi uguali; b. i medi uguali; c. gli antecedenti uguali; d. i conseguenti uguali.

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Completa la seguente proprietaá: in una proporzione il... dei medi eá sempre uguale al... 8 Indica quali tra le seguenti proprietaá sono corrette: a. se in una qualunque proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora una proporzione; b. se in una qualunque proporzione si scambia un antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora una proporzione; c. se in una qualunque proporzione si scambiano tra loro i due medi, i due estremi o entrambi, si ha ancora una proporzione; d. in una proporzione la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo termine come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo termine; e. in una proporzione la differenza tra il primo e il secondo termine sta al secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo termine. Completa la seguente frase: in una serie di rapporti uguali la... degli antecedenti sta alla somma dei... come ogni antecedente sta al proprio conseguente. 0 In una proporzione il valore di un estremo incognito si ricava: a. moltiplicando l'estremo noto per il primo medio e dividendo il prodotto ottenuto per l'altro medio; b. moltiplicando i due medi e dividendo il prodotto ottenuto per l'estremo noto; c. dividendo il valore dell'estremo noto per il prodotto dei due medi. In una proporzione il valore di un medio incognito si ricava: a. moltiplicando i due estremi e dividendo il prodotto ottenuto per il medio noto; b. moltiplicando il valore dell'estremo noto per il prodotto dei due medi; c. dividendo il valore dell'estremo noto per il prodotto dei due medi. Completa le seguenti regole: a. in una proporzione continua il valore del medio proporzionale si ottiene moltiplicando fra loro i due... ed estraendo la... del prodotto ottenuto; b. in una proporzione il valore di uno dei due medi, che eá anche una parte da aggiungere al corrispondente estremo, si ottiene applicando prima la proprietaá dello... e poi... gli... della proporzione ottenuta e... il prodotto per l'altro medio. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * Il rapporto tra due numeri Calcola il rapporto nei seguenti gruppi di numeri: a. e ; b. e ; c. Per calcolare il loro rapporto basta eseguire la divisione tra i due numeri: a. : ˆ! numero intero b. : ˆ,! numero razionale p c. : ˆ 0,:::! numero irrazionale Calcola il rapporto nei seguenti gruppi di numeri: a. e ; b. e ; c. p e. p e.

4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Il rapporto inverso tra due numeri Calcola il rapporto inverso tra le seguenti coppie di numeri: a. e ; b. a. : ˆ 6, rapporto diretto; : ˆ 0,6 rapporto inverso; 6 e. b. 6 : ˆ 0 rapporto diretto; : 6 ˆ 0 rapporto inverso. Calcola il rapporto inverso tra le seguenti coppie di numeri: a. e ; b. e ; c. 8 e. Il rapporto tra i termini espressi in forma di espressione aritmetica Calcola il rapporto tra i seguenti termini consistenti in espressioni aritmetiche: : 6 ˆ : 0 ˆ 6 : 6 ˆ 6 ˆ. e 6. 6 Calcola il rapporto tra i seguenti termini consistenti in espressioni aritmetiche: a. e ; b. e ; c. e : 8. 8 Calcola l'antecedente sapendo che: a. il conseguente eá e il valore del rapporto eá ; b. il conseguente eá e il valore del rapporto eá 8; c. il conseguente eá 8 e il valore del rapporto eá 6. Il calcolo dell'antecedente di un rapporto Calcola l'antecedente sapendo che il conseguente eá e che il valore del rapporto eá. Per calcolare l'antecedente, che indichiamo con x, dobbiamo chiederci qual eá il numero che diviso per daá come rapporto : x : ˆ In pratica basta moltiplicare il valore del rapporto per il conseguente cioeá: x ˆ ˆ 8. Il calcolo del conseguente di un rapporto Calcola il conseguente sapendo che l'antecedente eá e che il valore del rapporto eá. Per calcolare il conseguente, che indichiamo con x, dobbiamo chiederci quale numero divide il numero in parti: : x ˆ In pratica basta dividere l'antecedente per il valore del rapporto cioeá: x ˆ : ˆ.

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 0 Calcola il conseguente sapendo che: a. l'antecedente eá 0 e che il valore del rapporto eá ; b. l'antecedente eá 0 e che il valore del rapporto eá ; c. l'antecedente eá e che il valore del rapporto eá 8. Calcola un rapporto equivalente a 8, prima moltiplicando e poi dividendo per uno stesso numero. I rapporti equivalenti Calcola un rapporto equivalente a. Si presentano due possibilitaá.. Possiamo applicare la proprietaá fondamentale moltiplicando l'antecedente e il conseguente per lo stesso numero, purcheâ diverso da 0, per esempio. ˆ ˆ 6 per cui il nuovo rapporto, equivalente al primo, saraá 6.. Possiamo applicare la proprietaá fondamentale dividendo l'antecedente e il conseguente per lo stesso numero, purcheâ diverso da 0, per esempio. : ˆ, : ˆ per cui il nuovo rapporto, equivalente al primo, saraá, :. Il rapporto tra due grandezze omogenee Calcola il rapporto tra le seguenti coppie di grandezze omogenee: a. ` e`; b. m e cm; c. kg e 0 hg. a. Le due grandezze sono espresse con la stessa unitaá di misura; calcoliamo quindi direttamente il valore del rapporto ` : ` ˆ,; b. le due grandezze non sono espresse con la stessa unitaá di misura; in questo caso occorre prima effettuare un'equivalenza per portare le due grandezze alla stessa unitaá di misura: m ˆ 00 cm, e poi calcolare il valore del rapporto 00 cm : cmˆ 00; c. le due grandezze non sono espresse con la stessa unitaá di misura; in questo caso occorre prima effettuare un'equivalenza per portare le due grandezze alla stessa unitaá di misura: kg ˆ 0 hg, e poi calcolare il valore del rapporto 0 hg : 0 hg ˆ 0,: Calcola il valore del rapporto tra le seguenti coppie di grandezze omogenee: a. 00 cm e m; b. ` e`; c. ge0dg. Calcola il valore del rapporto tra i seguenti due segmenti e stabilisci se le due grandezze sono commensurabili: AB ˆ 0 cm; CD ˆ cm. 6 Calcola il valore del rapporto tra le superfici di due rettangoli aventi le dimensioni lunghe rispettivamente 0 cm e cm il primo e 0 cm e cm il secondo. Stabilisci se le due grandezze sono commensurabili. Calcola il valore del rapporto tra la diagonale e la base di un rettangolo sapendo che la misura della base eá cm e quella dell'altezza eá cm. Stabilisci se le due grandezze sono commensurabili. (Suggerimento: devi applicare il teorema di Pitagora)

6 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 Il calcolo della lunghezza reale conoscendo la lunghezza grafica Calcola a quanto corrisponde nella realtaá la distanza di 0 cm misurata su una cartina geografica avente una scala di riduzione di : Basta moltiplicare il valore della distanza "sulla carta" con il conseguente della scala di riduzione: distanza reale ˆ cm ˆ cm ˆ 0 km Calcola a quanto corrisponde nella realtaá la distanza di cm misurata su una cartina geografica avente una scala di riduzione di : Calcola a quanto corrisponde su una cartina geografica la distanza reale di km, se la scala di riduzione eá di : Verifica, mediante l'applicazione della proprietaá fondamentale, se le seguenti scritture formano una proporzione: a. : ˆ : 6; b. : ˆ 6 : 0; c. : 0 ˆ 8 :. Il calcolo della lunghezza grafica conoscendo la lunghezza reale Calcola a quanto corrisponde su una cartina geografica la distanza reale di km, se la scala di riduzione eá di : Basta dividere la distanza reale per il conseguente della scala di riduzione: distanza grafica ˆ : km ˆ 0,000 km ˆ, cm La proprietaá fondamentale delle proporzioni Verifica se le seguenti scritture formano una proporzione: a. 0 : 0 ˆ : ; b. : 6 ˆ 80 :. a. 0 ˆ 0 prodotto dei medi; 0 ˆ 0 prodotto degli estremi. Siccome il prodotto dei medi eá uguale al prodotto degli estremi puoi affermare che si tratta di una proporzione; b ˆ 80 prodotto dei medi; ˆ prodotto degli estremi. In questo caso il prodotto dei medi non eá uguale al prodotto degli estremi non si tratta pertanto di una proporzione. La proprietaá fondamentale delle proporzioni Dall'uguaglianza 8 ˆ 0, ricava una delle possibili proporzioni. L'uguaglianza dei due prodotti puoá essere vista come l'uguaglianza del prodotto dei due medi e del prodotto dei due estremi, pertanto : 8 ˆ : 0.

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Dalle seguenti uguaglianze ricava una delle possibili proporzioni: a. 0 ˆ ; b. 80 ˆ 0 0; c. 8, ˆ. 6 Applica la proprietaá dell'invertire alle seguenti proporzioni: a. 8 : 6 ˆ : 8; b. : ˆ : 0; c. 8 Applica la proprietaá del permutare alle seguenti proporzioni: a. 0 : 6 ˆ 0 : permuta i medi; b. : 8 ˆ 0 : permuta gli estremi; c. : ˆ : 0 permuta sia i medi che gli estremi. 0 La proprietaá dell'invertire Applica la proprietaá dell'invertire alla proporzione : ˆ :. Scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente e verifichiamo se la scrittura ottenuta eá ancora una proporzione. La proporzione : ˆ : si trasforma in : ˆ :. Calcoliamo il prodotto dei medi ˆ 6 e il prodotto degli estremi ˆ 6. Essendo i due prodotti uguali, i numeri formano una proporzione. La proprietaá del permutare Applica la proprietaá del permutare alla proporzione 8 : ˆ :. l Primo caso (permutare i medi). La proporzione 8 : ˆ : si trasforma in 8 : ˆ : l l Secondo caso (permutare gli estremi). La proporzione 8 : ˆ : si trasforma in : ˆ : 8 Terzo caso (permutare sia i medi sia gli estremi). La proporzione 8 : ˆ : si trasforma in : ˆ : 8 : ˆ : 6. In tutti i casi, applicando la proprietaá fondamentale, eá facile verificare che la nuova scrittura eá ancora una proporzione (il prodotto dei medi eá uguale al prodotto degli estremi: ˆ 8 ˆ ). La proprietaá del comporre Applica la proprietaá del comporre alla proporzione 8 : 8 ˆ :. La proporzione 8 : 8 ˆ : si puoá trasformare in: l 8 8 : 8 ˆ : cioeá 6 : 8 ˆ : Verifica: 6 ˆ e 8 ˆ l 8 8 : 8 ˆ : cioeá 6 : 8 ˆ : Verifica: 6 ˆ 0 e 8 ˆ 0

8 8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Applica la proprietaá del comporre alla proporzione : ˆ :. La proprietaá dello scomporre Applica la proprietaá dello scomporre alla proporzione 0 : ˆ :. La proporzione 0 : ˆ : si puoá trasformare in: l 0 : 0 ˆ : cioeá 8 : 0 ˆ 8 : Verifica: 8 ˆ 80 e 0 8 ˆ 80 l 0 : ˆ : cioeá 8 : ˆ 8 : Verifica: 8 ˆ 6 e 8 ˆ 6 Applica la proprietaá dello scomporre alla proporzione : ˆ :. Il termine incognito in una proporzione Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. : x ˆ : 8; b. x : ˆ :. a. Il termine incognito eá un medio; applicando la proprietaá fondamentale: x ˆ 8! x ˆ 8 :! x ˆ 8. La proporzione cercata eá dunque : 8 ˆ : 8. b. Il termine incognito eá un estremo; applicando la proprietaá fondamentale: x ˆ! x ˆ :! x ˆ. La proporzione cercata eá dunque : ˆ :. Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. : 8 ˆ x : ; b. 8 : 6 ˆ 60 : x; c. : ˆ : x. 6 Il termine incognito in una proporzione Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni: a. x : 0 x ˆ : ; b. x : 0 x ˆ :. a. In questo caso non possiamo applicare direttamente la proprietaá fondamentale; trasformiamo dunque la proporzione applicando le proprietaá: l dell'invertire! 0 x : x ˆ : l dello scomporre! 0 x x : x ˆ : cioeá 0 : x ˆ : l fondamentale! x ˆ 0 : ˆ 0 Pertanto la proporzione eá 0 : 0 0 ˆ : cioeá 0 : 0 ˆ :.

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS b. Analogamente applichiamo le proprietaá: l dell'invertire! 0 x : x ˆ : l del comporre! 0 x x : x ˆ : cioeá 0 : x ˆ 6 : l fondamentale! x ˆ 0 : 6 ˆ Pertanto la proporzione eá : 0 ˆ : cioeá : ˆ :. Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni: a. 8 x : x ˆ : ; b. : ˆ x : x. 8 a. 6 x : x ˆ : ; b. x : x ˆ 8 :. a. x : x ˆ : ; b. x : x ˆ :. 0 Calcola il medio proporzionale nelle seguenti proporzioni continue: a. : x ˆ x ˆ 6; b. : x ˆ x : ; c. : x ˆ x : 8. Il medio proporzionale di una proporzione continua Calcola il medio proporzionale nella proporzione : x ˆ x :. : x ˆ x :! x ˆ ˆ r! x ˆ ˆ 6 6 Pertanto la proporzione eá : ˆ :. Il calcolo di due numeri di cui si conosce la somma e il rapporto Trova due numeri tali che la loro somma sia e il loro rapporto sia 8 :. Indicando con x e y i due numeri da calcolare, avremo: x y ˆ e x : y ˆ 8 : Applichiamo la proprietaá del comporre alla proporzione x : y ˆ 8 :. Otteniamo x y : x ˆ 8 : 8 cioeá, sostituendo la prima relazione, : x ˆ : 8 che risolta daá x ˆ 8 : ˆ. Per ricavare il valore della y basta sottrarre il valore della x alla somma y ˆ x ˆ ˆ. I due numeri sono pertanto x ˆ e y ˆ. Trova due numeri tali che la loro somma sia 0 e il loro rapporto sia :. Il calcolo di due numeri di cui si conosce la differenza e il rapporto Trova due numeri tali che la loro differenza sia 6 e il loro rapporto sia :.

10 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Indicando con x e y i due numeri da calcolare, avremo: x y ˆ 6 e x : y ˆ : Applichiamo la proprietaá dello scomporre alla proporzione x : y ˆ :. Otteniamo x y : x ˆ : cioeá, sostituendo la prima relazione, 6 : x ˆ : che risolta daá x ˆ 6 : ˆ 8. Per ricavare il valore della y basta sottrarre al valore della x la differenza data y ˆ x 6 ˆ 8. I due numeri sono pertanto x ˆ 8 e y ˆ 8. Trova due numeri tali che la loro differenza sia e il loro rapporto sia :. 6 Calcola la misura di due segmenti sapendo che la loro somma eá di 6 cm ed uno eá dell'altro. Calcola la misura di due segmenti sapendo che la loro differenza eá cm ed uno eá dell'altro. 8 La somma delle ampiezze di due angoli misura 0 ed il loro rapporto eá. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. La differenza delle ampiezze di due angoli misura 0 ed il loro rapporto eá. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** Calcola il rapporto nelle seguenti coppie di numeri: a. e 6 ; b. p p e ; Calcola il rapporto tra i seguenti termini consistenti in espressioni aritmetiche: : e. Il rapporto fra due numeri Calcola il rapporto nelle seguenti coppie di numeri a. e ; b. 0, e 0,; c. a. : ˆ ::::::::::::::::::::::::::::::::::! numero... b. 0, :... ˆ :... =...! numero... c.... :... ˆ...! numero... Il rapporto inverso Calcola il rapporto inverso tra le seguenti coppie di numeri: a. 8e; b. e. p p e. c. 0, e,. a. 8 : ˆ :::::: rapporto diretto; : 8 ˆ... rapporto...; b. : ::::: ˆ ::::::...; :::::: : :::::: ˆ ::::::...

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Calcola il rapporto inverso tra le seguenti coppie di numeri: a. e ; b. 6 Calcola il rapporto inverso tra i seguenti termini consistenti in espressioni aritmetiche: : 0 e : 0. e ; c., e,. Il calcolo dell'antecedente e del conseguente a. Calcola l'antecedente conoscendo il valore del rapporto e del conseguente: x : ˆ. b. Calcola il conseguente conoscendo il valore del rapporto e l'antecedente: a. x : ˆ! x ˆ :::::::::::: ˆ ::::::::::::::::: : x ˆ 8. b. : x ˆ 8! x ˆ : ::::::::::: ˆ :::::::::::::::: 8 Calcola l'antecedente nei seguenti gruppi di numeri conoscendo il valore del rapporto e del conseguente: a. x : ˆ ; b. x : 0, ˆ,; c. x :,6 ˆ,. Calcola il conseguente nei seguenti gruppi di numeri, conoscendo il valore del rapporto e l'antecedente: a. : x ˆ ; b. : x ˆ ; c. 0, : x ˆ,. 8 0 Calcola il rapporto tra le seguenti coppie di grandezze omogenee: a. km e 0000 m; b. ` e cl; c. g e g. Calcola il valore del rapporto tra le superfici del rettangolo di dimensioni lunghe cm e 6 cm e del rombo avente le diagonali lunghe 6 cm e 8 cm e stabilisci se le due grandezze sono commensurabili. p p Il lato e la diagonale di un quadrato sono lunghi rispettivamente cm e 0 cm. Calcola il valore del loro rapporto e stabilisci se le due grandezze sono commensurabili. Il rapporto fra grandezze omogenee Calcola il valore del rapporto tra le seguenti coppie di grandezze omogenee: a. kgekg; b. ` e 0 dal. a. kg: :::::::: ˆ, b. ` : :::::::: dal ˆ ` : ::::: ` ˆ :::::::: Il rapporto fra grandezze non omogenee Calcola il valore del rapporto tra le seguenti grandezze: peso di un oggetto di rame P ˆ 8 g; volume dello stesso oggetto di rame V ˆ 0 cm. Il rapporto tra le due grandezze non omogenee eá una grandezza... e prende il nome di...; Ps ˆ Peso : Volume ˆ... :... ˆ... g\cm. Calcola la velocitaá media di un corpo che percorre 0 km in h.

12 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 6 Il calcolo della lunghezza reale conoscendo la lunghezza grafica Calcola a quanto corrisponde nella realtaá la distanza di 0, dm misurata su una cartina geografica avente una scala di riduzione di : Basta moltiplicare il valore della distanza misurata... con il... della... distanza reale ˆ (......) dm ˆ... dm ˆ... km Calcola a quanto corrisponde nella realtaá la distanza di cm misurata su una cartina geografica avente una scala di riduzione di : Calcola a quanto corrisponde su una mappa la distanza reale di km, se la scala di riduzione eá : Le proprietaá delle proporzioni Verifica, mediante l'applicazione della proprietaá fondamentale, che la scrittura : ˆ : forma una proporzione. In caso di risposta positiva applica: a. la proprietaá dell'invertire; b. la proprietaá del permutare (prima i medi, poi gli estremi, poi entrambi); c. la proprietaá del comporre; d. la proprietaá dello scomporre. Il prodotto dei medi eá ˆ :::::; il prodotto degli estremi eá ::::: ::::: ˆ ::::: pertanto la scrittura data... a. In ogni... scambiamo fra loro il... con...: : ˆ : ::::: b. Permutando i medi si ottiene : :::: ˆ :::: : Permutando gli estremi si ottiene :::: : ˆ :::: : :::: Permutando entrambi si ottiene :::: : :::: ˆ :::: : ::::: c. Si ottengono le proporzioni:. ::::: : ˆ ::::: : ::::: cioeá 6 : ::::: ˆ 8 :. ::::: : ˆ ::::: : ::::: cioeá ::::: : ˆ 8 : ::::: d. In entrambi i rapporti il conseguente eá maggiore dell'antecedente pertanto... applicare la proprietaá dello scomporre. Possiamo peroá applicarla alla proporzione ottenuta nel passaggio a. ottenendo le due proporzioni:. :::::: : ˆ : ::::: cioeá : ˆ 8 : ::::::. ::::: ::::: : ˆ :::: : ::::: cioeá ::::: : ˆ ::::: :. 0 Date le proporzioni: a. : ˆ : ; b., : 0, ˆ, :, 0. verifica, mediante l'applicazione della proprietaá fondamentale, se la a. forma una proporzione;. applica la proprietaá dell'invertire alla scrittura b. e verifica se la scrittura ottenuta eá ancora una proporzione;. applica la proprietaá del permutare, permutando prima i medi, poi gli estremi e poi entrambi, alla scrittura a.;. applica la proprietaá del comporre alla scrittura b.;. applica la proprietaá dello scomporre alla scrittura b..

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Applica la proprietaá del comporre alle seguenti proporzioni: a. : ˆ : ; b. : 6 ˆ 0 : 8. Applica la proprietaá dello scomporre alle seguenti proporzioni: a. : ˆ : 0; b. : ˆ 8 : 0. Il termine incognito in una proporzione Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. : x ˆ 0 : 80; b. : ˆ : x. a. Il valore incognito eá un...; applicando la proprietaá fondamentale x ˆ ::::::::::: 80 : ::::::::::: ˆ :::::::::::::: b. Il valore incognito eá un...; applicando la proprietaá fondamentale x ˆ :::::::::::: :::::::::::: : ˆ :::::::::::::: Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. : ˆ x : 0; b. x : ˆ 6 : ; c. 0,6 : x ˆ, : 0,8. 6 Calcola il termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. x : x ˆ : ; b. x : x ˆ : : Il termine incognito in una proporzione Calcola il termine incognito nelle seguenti proporzioni: a. x : x ˆ : 8; b. x : x ˆ : a. Applichiamo la proprietaá...: x x : :::::: ˆ :::::: : :::::::::! :::::::: : x ˆ ::::::::: : ::::::! x ˆ :::::: :::::: : :::::: ˆ :::::: b. Applichiamo la proprietaá...: x :::::: : x ˆ :::::: : ::::::! x ˆ :::::: :::::: : :::::: ˆ :::::: : x ˆ :::::: :::::: : ::::::! Il medio proporzionale di una proporzione continua Calcola il medio proporzionale nelle seguenti proporzioni continue: a. 0, : x ˆ x :,; b., : x ˆ x : 0,; c. : x ˆ x :. a. x p ˆ 0, ::::::: ˆ :::::::! x ˆ ::::::: ˆ ::::::: b. x ˆ ::::: ::::::: ˆ :::::::! p x ˆ ::::::: ˆ ::::::: c. x ˆ ::::: ::::::: ˆ :::::::! p x ˆ ::::::: ˆ :::::::

14 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 Calcola il medio proporzionale nelle seguenti proporzioni continue: a. 0 : x ˆ x : ; b. : x ˆ x : ; c., : x ˆ x :,. Il calcolo di due numeri di cui si conosce somma e rapporto Trova due numeri tali che la loro somma sia 6 e il loro rapporto sia :. Indicando con x e y i due numeri che dobbiamo calcolare, avremo le due relazioni x y ˆ :::::: e x : y ˆ :::::: : :::::: Applichiamo la proprietaá del... alla proporzione x : y ˆ ::::: : :::::. Si ottiene :::: :::: : x ˆ : ::::: Sostituendo il valore della somma ::::: : x ˆ ::::: : :::::! x ˆ ::::: ::::: : ::::: ˆ ::::: Per ricavare il valore della y basta... il valore della x alla somma: y ˆ ::::: x ˆ ::::: ::::: ˆ ::::: I due numeri sono pertanto x ˆ ::::: e y ˆ ::::: 0 Trova due numeri sapendo che la somma eá ed il loro rapporto eá. Trova due numeri sapendo che stanno tra loro come : e che la loro differenza eá 6. Trova due numeri sapendo che stanno tra loro come 6 : e che la loro somma eá 08. Calcola la misura dei lati di un rettangolo sapendo che il loro rapporto eá e che il perimetro eá di 8 cm. In un triangolo isoscele uno dei due angoli congruenti eá ampio ed eá del terzo angolo. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. In un triangolo scaleno il primo angolo misura 60 e il secondo eá del terzo angolo. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. 6 Gli angoli interni di un triangolo sono in rapporto ai numeri, 6 e. Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. In un trapezio rettangolo la differenza delle basi eá 0 e il loro rapporto vale. Sapendo che l'altezza misura cm, determina l'area. 8 In un trapezio l'altezza eá media proporzionale fra le due basi. Calcola l'area del trapezio sapendo che la differenza delle due basi misura cm ed il loro rapporto eá. Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che le misure dell'ipotenusa e del cateto minore hanno per differenza 6 cm mentre il loro rapporto eá. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** Calcola il rapporto diretto ed inverso tra i seguenti termini di una espressione aritmetica: ( 0 e :.

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Determina i rapporti tra i perimetri e le aree di un trapezio isoscele e un triangolo equilatero avente il lato lungo cm, sapendo che le basi e il lato obliquo del trapezio misurano rispettivamente 0 cm e 6cmecm. Sapendo che la superficie della Lombardia eá di 86 km e il numero di abitanti eá, mentre il Lazio ha una superficie di 0 km e ha 0 abitanti, determina: a. il valore del rapporto tra gli abitanti della Lombardia e del Lazio; b. la densitaá di popolazione del Lazio. Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni. x : : ˆ 6 : ( " : # ) : x ˆ 8 " 6 # < : = ; : x ˆ x : 6. 0 x : x ˆ :. 8 0,, :, 0, ˆ x 0, : x. " # 0. : Gli alunni di una classe sono complessivamente. Sapendo che il rapporto tra femmine e maschi eá, determina il numero delle femmine e quello dei maschi. 0 L'etaÁ di tre fratelli eá complessivamente di 66 anni. Calcola l'etaá di ciascun fratello sapendo che ciascuna etaá eá in rapporto ai numeri 6, e. Quattro rotoli di carta hanno una lunghezza complessiva di 6 m. Calcola quanto misura ciascun rotolo sapendo che le singole lunghezze sono in rapporto ai numeri, 8, e. Un'autovettura del costo di E 000, viene pagata con E 8 80 in contanti e il resto in 6 rate in rapporto ai numeri,, 6,,, e. Quanto si dovraá pagare per ogni rata? Un libro eá costituito da 68 pagine. Se il rapporto tra le pagine che ho letto e quelle che devo leggere eá e se devo restituire il libro tra giorni, quante pagine al giorno dovroá leggere?. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA c. a. secondo; b. ed il conseguente; 0; un rapporto uguale; c. sottomultiplo; commensurabili; d. divisione, derivata. a. a. a. estremi; b. medi; c. antecedenti; d. conseguenti. 6 b. prodotto, prodotto degli estremi. 8 a., c., d. somma, conseguenti. 0 b. a. a. estremi, radice quadrata; b. scomporre, moltiplicando, estremi, dividendo.

16 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE a. ; b.,; c. 0,0. a. ; b. 8 ; c.. 6 a. 8 ; b. 8 a. ; b. 0; c a. ; b. ; c. 0,. Una possibile soluzione potrebbe essere: moltiplicare e dividere la frazione data per : 8 : : ˆ :,. a.,; b.,; c. 0,., sono commensurabili. 6 p ; sono incommensurabili. km. cm. a. si; b. no; c. si. a. : 0 ˆ : ; b. 80 : 0 ˆ 0 : ; c. 8 : ˆ :,: a. 6 : 8 ˆ 8 : ; b. : ˆ 0 : ; c. a. 0 : 0 ˆ 6 : ; b. : 8 ˆ 0 : ; c. : ˆ 6 :. 0 : ˆ :. ; c ˆ 6 8, sono commensurabili. : ˆ 8 : oppure : ˆ 8 :. : ˆ : oppure : ˆ :. a. 6; b. 0; c.. a. ; b.. 8 a. ; b. 8. a. ; b a. 0; b. ; c.. e 6. 6 e cm e 8 cm. 60 cm; cm ;0. 0 ;0. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO a. : ˆ ; numero intero; b. 0, : 0, ˆ : 0 ˆ 0 ; numero razionale; c. p p : ˆ 0,8:::::; numero irrazionale. a. ; b.,8...; c. 6.. a. 8 : ˆ ; : 8 ˆ 0, rapporto inverso; b. : ˆ 8 rapporto diretto; : ˆ rapporto inverso. 8 a. ; b. 8 ; c.. 6. a. x ˆ ˆ ; b. x ˆ : 8 ˆ 8 ˆ 6. 8 a. ; b. 0,; c. 6. a. ; b. ; c a. kg:kgˆ,; b. ` : 0 dal ˆ ` : 00 ` ˆ,. a. 0,; b. 60; c.,., sono commensurabili. p 0,, sono incommensurabili. derivata; peso specifico; Ps ˆ Peso : Volume ˆ 8 g : 0 cm ˆ 8, g\cm. km\h. 6 sulla cartina, conseguente, scala di riduzione, d ˆ 0, dm ˆ 0000 dm ˆ km: km. 8 0 cm. ; ˆ ; eá una proporzione; a. rapporto; conseguente; l'antecedente; : ˆ : ; b. : ˆ : ; : ˆ : ; : ˆ : ; c.. : ˆ : ; 6 : ˆ 8 : ;. : ˆ : ; 6 : ˆ 8 :.

17 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS d. non eá possibile;. : ˆ : ; : ˆ 8 : ;. : ˆ : ; : ˆ 8 : : 0. prodotto degli estremi 0 ˆ, prodotto dei medi ˆ ;. 0, :, ˆ, :,; prodotto degli estremi 0,, ˆ,; prodotto dei medi,, ˆ,;. medi : ˆ : 0 ; estremi 0 : ˆ : ; medi ed estremi 0 : ˆ : ;., : 0, ˆ 6, :, oppure, :, ˆ 6, :,;. 0, :, ˆ,8 :, oppure 0, : 0, ˆ,8 :,. a. : ˆ 8 : oppure : ˆ 8 : ; b. : ˆ 8 : 0 oppure : 6 ˆ 8 : 8. a. : ˆ : oppure : ˆ : 0; b. 8 : ˆ : 8 oppure 8 : ˆ : 0. a. medio; x ˆ 80 : 0 ˆ 6; b. estremo; x ˆ : ˆ. a. 0 ; b. ; c. 8. a. dello scomporre; x x : x ˆ 8 : 8; : x ˆ : 8; x ˆ 8 : ˆ ; b. del comporre; x x : x ˆ 6 a. ; b.. p a. x ˆ 0,, ˆ 0,6! x ˆ 0,6 c. x ˆ ˆ! x ˆ r ˆ. : ; : x ˆ : ; x ˆ : ˆ 0. ˆ 0,6; b. x ˆ ˆ r! x ˆ ˆ ; 8 a. 0; b. ; c.. x y ˆ 6; x : y ˆ : ; comporre; x : y ˆ : ; x y : x ˆ : ; 6 : x ˆ 8 : ; x ˆ 6 : 8 ˆ ; sottrarre; y ˆ 6 x ˆ 6 ˆ ; x ˆ ; y ˆ. 0 0,. 6, 0., 6. 0 cm e cm. ; ;0. 60 ; ; ; ;8. cm. 8 cm. 60 cm. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO diretto 6 ; inverso. rapporto perimetri ˆ ; rapporto aree ˆ. 6 a.,; b. 0, ab \ km femmine e maschi. 0 8,,. 60 m, 6 m, 6 m, 0 m. E 0, E 0, E 00, E 00, E 0, E