Rapporti e proporzioni

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1 Rapporti e proporzioni I rapporti In matematica la parola rapporto indica un quoziente. Può essere indicato da: - Una divisione, es Una frazione - Un numero decimale, es. 1,5 Def. Il rapporto tra due numeri e, con 0, è il quoziente tra il primo e il secondo numeri. I due numeri si chiamano TERMINI del rapporto. Il primo numero si chiama ANTECEDENTE e il secondo si chiama CONSEGUENTE. è l antecedente è il conseguente Def. Il rapporto INVERSO è il rapporto che si ottiene scambiando l antecedente con il conseguente. Rapporto Rapporto inverso Oss. Il prodotto di un rapporto per il suo inverso è 1. = 1 = 1 (3 2) (2 3) = 1 Oss. Vale la proprietà INVARIANTIVA (poiché il rapporto è una DIVISIONE!!). Moltiplicando o dividendo entrambi i termini del rapporto per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene un rapporto equivalente. 8 5 = (8 2): (5 2) = 16: = (64 8): (48 8) = 8 6

2 Le proporzioni Def. Si definisce proporzione l uguaglianza di due rapporti. Si legge sta a come sta a Es = 32 4 si legge 16 sta a 2 come 32 sta a 4 Es = 15 5 è falsa perché 10 2 = 5 e 15 5 = 3 Come si chiamano i termini di una proporzione? Esempio: = 25 5 Antecedenti: 50 e 25 Conseguenti: 10 e 5 Esempio: 15 5 = 9 3 Medi: 5 e 9 Estremi: 15 e 3 Proporzioni continue Def. Una proporzione si dice continua se i due medi sono uguali. Esempi: 9 3 = : 20 = 20 4

3 Proprietà delle proporzioni 1. Proprietà fondamentale 12 3 = = = 60 Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi = Esempi: stabilisci se le proporzioni sono vere o false 3 10 = = = 120 la proporzione è vera 5 8 = = = 120 la proporzione è falsa

4 2. Proprietà del permutare 15 2 = È una proporzione vera, infatti 2 75 = 150 e = 150. Scambiamo tra loro gli estremi: 10 2 = Otteniamo ancora una proporzione vera, infatti 2 75 = 150 e = 150. Scambiamo tra loro i medi: = 2 10 Otteniamo ancora una proporzione vera, infatti 75 2 = 150 e = 150. Scambiamo sia i medi che gli estremi: Otteniamo ancora una proporzione vera = 2 15 Scambiando tra loro i medi o gli estremi o entrambi si ottiene una nuova proporzione.

5 3. Proprietà dell invertire 15 2 = = Scambiando ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene una nuova proporzione

6 4. Proprietà del comporre 2 7 = 6 21 I) (2 + 7) 2 = (6 + 21) = 27 6 II) (2 + 7) 7 = (6 + 21) = La somma del primo e del secondo termine di una proporzione sta al primo (o al secondo) termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto). I) ( + ) = ( + ) II) ( + ) = ( + ) 5. Proprietà dello scomporre 6 5 = I) (6 5) 6 = (18 15) = 3 18 II) (6 5) 5 = (18 15) = 3 15 In una proporzione in cui ogni antecedente è maggiore del suo conseguente, la differenza tra il primo e il secondo termine di una proporzione sta al primo (o al secondo) termine come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Esempio: con > e > I) ( ) = ( ) II) ( ) = ( ) 2 7 = 6 21 Applico prima la proprietà dell invertire: 7 2 = 21 6 ora posso applicare la proprietà dello scomporre. (7 2) 2 = (21 6) = 15 6

7 6. Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti I) (3 + 6) (8 + 16) = = = 6 16 II) (3 + 6) (8 + 16) = = 6 16 La somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente. I) ( + ) ( + ) = II) ( + ) ( + ) = 7. Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti I) (12 3) (16 4) = = = 3 4 II) (12 3) (16 4) = = 3 4 Se in una proporzione il primo antecedente è maggiore del secondo, allora la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente. I) ( ) ( ) = II) ( ) ( ) =

8 Risoluzione delle proporzioni Risolvere una proporzione significa calcolare uno dei suoi termini. Calcolo di un medio o di un estremo Consideriamo la proporzione: 8 12 = 6 Applicando la proprietà fondamentale: 8 = 12 6 = 72 Poiché la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione calcoliamo facendo: = = 72 8 = 9 Quindi la proporzione diventa: 8 12 = 6 9 che è una proporzione VERA. REGOLA: = Nello stesso modo, se abbiamo la proporzione in cui un medio è incognito: 20 3 = 27 = = = 180 REGOLA: =

9 Calcolo del medio proporzionale Consideriamo la proporzione continua: 18 8 Applichiamo la proprietà fondamentale: = 18 8 = 144 = 144 = 12 REGOLA: se abbiamo una proporzione continua: Allora =

10 Risoluzione di una proporzione con la proprietà del comporre Esempio 1 Esempio 2 (8 ) = 2 3 (8 + ) = (2 + ) 3 8 = 5 3 = = 24 5 (4 ) 30 = 10 Applico prima il permutare dei medi: (4 ) 10 Ora applico il comporre: (4 + ) = (30 + ) 10 4 = = = 1 Risoluzione di una proporzione con la proprietà dello scomporre Esempio 1 Esempio 2 (7 + ) = (7 + ) = (20 ) 15 7 = 5 15 = = 21 (8 + ) 15 = 9 Applico prima il permutare dei medi: (8 + ) 9 Ora applico lo scomporre: (8 + ) = (15 ) 9 8 = 6 9 = = 12