LE PROPORZIONI. Stefania Sciuto numeri&molecole.wordpress.com

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1 LE PROPORZIONI Stefania Sciuto

2 PROPORZIONE = UGUAGLIANZA TRA DUE RAPPORTI

3 : 5 = 6 : 10 3 sta a 5 come 6 sta a 10

4 TERMINI DELLE PROPORZIONI CONSEGUENTI 3 : 5 = 6 : 10 ANTECEDENTI

5 TERMINI DELLE PROPORZIONI MEDI 3 : 5 = 6 : 10 ESTREMI

6 PROPRIETA DELLE PROPORZIONI

7 PROPRIETA FONDAMENTALE IL PRODOTTO DEI MEDI E UGUALE AL PRODOTTO DEGLI ESTREMI 3 : 5 = 6 : 10 5 x 6 = 3 x = 30

8 TUTTE LE PROPORZIONI POSSIEDONO LA PROPRIETA' FONDAMENTALE SE IL PRODOTTO DEI MEDI NON E' UGUALE AL PRODOTTO DEGLI ESTREMI NON ESISTE LA PROPORZIONE

9 Proprietà dell invertire Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione 3 : 5 = 6 : 10 5 : 3 = 10 : 6

10 Proprietà del permutare Scambiando tra loro i medi oppure fra loro gli estremi la proporzione resta valida 3 : 5 = 6 : 10 3 : 6 = 5 : : 5 = 6 : 3 10 : 6 = 5 : 3

11 SE UNO DEI TERMINI DELLE PROPORZIONI E' INCOGNITO?

12 Ad esempio non conosco il valore di un estremo

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15 LE PERCENTUALI Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità, rispetto a 100, soddisfano una certa condizione. In pratica sono FRAZIONI che hanno denominatore uguale a 100. In genere vengono scritte utilizzando il simbolo di percentuale % %

16 Ad esempio

17 Ad esempio 6 alunni della 2 E (composta da 24 alunni) hanno preso 10 prova INVALSI La frazione che rappresenta questo dato è la seguente: Se voglio conoscere la percentuale corrispondente devo calcolare quante unità, rispetto a 100, soddisfano questa condizione: ? 100 In questo caso è facile trovare il valore incognito: %

18 Le percentuali sono utilizzate in tantissimo campi e, soprattutto sono utili quando si devono confrontare dei valori Ad esempio Riprendendo l esempio precedente, vogliamo confrontare i risultati della prova INVALSI di 3 classi (prendiamo in considerazione gli alunni che hanno preso 10) In 2E: 6 alunni In 2A : 7 alunni In 2B: 8 alunni Dal dato assoluto potremmo indicare la 2 B come classe col maggiore successo formativo vediamo cosa accade se prendiamo in considerazione il dato relativo:

19 Per poter fare un confronto devo tener conto del totale degli alunni per classe, quindi: Alunni con voto 10 in 2E: 6/24 Alunni con voto 10 in 2A: 7/35 Alunni con voto 10 in 2B: 8/32 Calcoliamo la percentuale % % % Vediamo subito che la percentuale di alunni con voto 10 in 2E e in 2B è la stessa

20 Se abbiamo capito che: 6 24 cioè che siamo di fronte a 2 rapporti uguali, possiamo scrivere questa uguaglianza sotto forma di proporzione: 6 : 24 = 25 : 100 (possiamo applicare la proprietà fondamentale per assicurarci che si tratti una proporzione 6x100=24x25) Generalizzando, possiamo scrivere: Dove N : T = P : 100 N è la quantità corrispondente alla percentuale T è il totale P è la percentuale

21 Problemicon le percentuali a) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità Esempio: Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? Proporzione risolutiva 45 : 150 = x : 100 x %

22 b) Calcolare la quantità corrispondente alla percentuale conoscendo il totale e la percentuale. Esempio: Calcolare il 15% di 1200 euro. Proporzione risolutiva x: 1200 = 15 : 100 x euro

23 c) Calcolare il totale conoscendo la quantità corrispondente alla percentuale e la percentuale. Esempio: Gli studenti dell IC BOSSI che prendono l autobus sono 40 e corrispondono al 5% del totale degli alunni. Quanti sono gli alunni della scuola? Proporzione risolutiva 40: x = 5 : 100 x

24 PROPORZIONALITA

25 Proporzionalità diretta Per fare una torta per 5 persone servono 250 grammi di zucchero, quanto zucchero è necessario per fare una torta per 8 persone? Si tratta di un problema diretto perché se AUMENTANO le persone deve AUMENTARE la quantità di zucchero Per facilitare l impostazione della proporzione si inseriscono i dati, in ordine, in una tabella Le frecce hanno lo stesso verso perché al CRESCERE di un dato CRESCE anche l altro. Quando imposto la proporzione seguo il verso delle frecce zucchero nr di persone x 8 250: x = 5 : x 400 gr 5

26 Proporzionalità inversa Per erigere un muretto 2 muratori impiegano 6 giorni, quanto tempo impiegheranno 4 muratori? Si tratta di un problema inverso perché se AUMENTANO i muratori deve DIMINUISCE il tempo impiegato per svolgere il lavoro Per facilitare l impostazione della proporzione si inseriscono i dati, in ordine, in una tabella Le frecce non hanno lo stesso verso perché al CRESCERE di un dato l altro DECRESCE Quando imposto la proporzione seguo il verso delle frecce nr di muratori giorni x 2: 4 = x : 6 x giorni

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28 Proprietà del comporre 3 : 5 = 6 : 10 (3 + 5) : 3 = (6 + 10) : 6 (3 + 5) : 5 = (6 + 10) : 10

29 applicazioni x : y = 5 : 2 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x + y = 14 - applico la proprietà del comporre (x + y) : x = (5 + 2) : 5 - ottengo una proporzione con una sola incognita 14 : x = 7 : 5 - risolvo x y = = 4

30 problemi Esempio: Il rapporto tra le dimensioni di un rettangolo è 3 : 5 e la loro somma è 80 cm. Quanto misurano le due dimensioni? D A C B dati: AB + BC = 80 cm AB : BC = 3 : 5 AB =? BC =? Poiché ho la somma AB+BC, applico la proprietà del comporre: AB : BC = 3 : 5 (AB+BC):AB = (3+5):3 80: AB = 8: AB 30cm 8 Se AB = 30 cm BC = = 50 cm

31 Proprietà dello scomporre 8 : 4 = 14 : 7 (8-4) : 8 = (14-7) : 14 (8-4) : 4 = (14-7) : 7

32 applicazioni x : y = 11 : 9 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x - y = 8 - applico la proprietà dello scomporre (x - y) : x = (11-9) : 11 - ottengo una proporzione con una sola incognita 8 : x = 2 : 11 - risolvo x y = 44 8 = 36

33 problemi Esempio: Le diagonali di un rombo sono una i 28 cm. Quanto è lunga ogni diagonale? D C A B 7 3 dell altra e la loro differenza è dati: AC - BD = 28cm AC : BD = 7 : 3 AC =? BD =? Poiché ho la DIFFERENZA AC - BD, applico la proprietà dello scomporre: AC : BD = 7 : 3 (AC-BD):AC = (7-3):7 28 : AC = 4 : AC 49cm 4 Se AC = 49cm BD = = 21 cm