INDICE. Unità 8 I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, 1. Unità 9 LA RADICE QUADRATA, DALLA FRAZIONE AL NUMERO, 2 DAL NUMERO ALLA FRAZIONE, 4

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1 INDICE Unità I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, Il libro prosegue nel CD. DALLA FRAZIONE AL NUMERO, Il quoziente è un numero periodico semplice, Il quoziente è un numero periodico misto,. DAL NUMERO ALLA FRAZIONE, Dai numeri decimali alle frazioni generatrici,. NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. 0 ESERCIZI da p.. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA, ESERCIZI da p.. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI, Espressioni con i numeri razionali assoluti, Il cammino della matematica: La nascita dei numeri decimali, SINTESI, AllenaMENTE, MATEMATICA CON IL PC: I numeri razionali assoluti, ESERCIZI da p. per la VERIFICA orale, per PREPARARSI all esame, CALCOLO MENTALE, AUTOVERIFICA, ESERCIZI per il recupero, ESERCIZI per il potenziamento, 0 Unità LA RADICE QUADRATA, Il libro prosegue nel CD. ESTRAZIONE DI RADICE, ESERCIZI da p.. RADICE QUADRATA, Radici quadrate di quadrati perfetti, Radici quadrate approssimate,. PROPRIETÀ DELLA RADICE QUADRATA, Quadrati perfetti, Prodotto di radici quadrate, Quoziente di radici quadrate,. ALGORITMO DI CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA, Radice quadrata di un numero naturale, Radice quadrata di un numero decimale, Radici di frazioni,. TAVOLE DELLE RADICI, Come si usano le tavole numeriche,. ESPRESSIONI CON LE RADICI, Radici di espressioni, Espressioni con radici, ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p.. NUMERI IRRAZIONALI E REALI ASSOLUTI, ESERCIZI da p. Il cammino della matematica: I numeri irrazionali, SINTESI, AllenaMENTE, MATEMATICA CON IL PC: I numeri irrazionali e reali assoluti, 0 per la VERIFICA orale, 0 per PREPARARSI all esame, 0 CALCOLO MENTALE, AUTOVERIFICA, ESERCIZI per il recupero, ESERCIZI per il potenziamento,

2 IV Indice Unità 0 RAPPORTI E PROPORZIONI, Il libro prosegue nel CD 0. RAPPORTI, Rapporto inverso, Proprietà fondamentale dei rapporti, 0. PROPORZIONI, Proporzioni continue, 0. PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI, Proprietà fondamentale, Proprietà del permutare, Proprietà dell invertire, Proprietà del comporre, Proprietà dello scomporre, Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti, 00 Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti, RISOLUZIONE DELLE PROPORZIONI, 0 Calcolo di un estremo o di un medio, 0 Calcolo del medio proporzionale, 0 Applicazione della proprietà del comporre, 0 Applicazione della proprietà dello scomporre, 0 Applicazione delle proprietà del permutare e dello scomporre, 0 Applicazione delle proprietà del permutare e del comporre, 0 0. PROBLEMI, 0 Calcolo di due numeri conoscendo la loro somma e il loro rapporto, 0 Calcolo di due numeri conoscendo la loro differenza e il loro rapporto, 0 Il cammino della matematica: Alle origini del concetto di proporzionalità, 0 SINTESI, 0 AllenaMENTE, MATEMATICA CON IL PC: Rapporti e proporzioni, 0 ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. per la VERIFICA orale, 0 per PREPARARSI all esame, 0 CALCOLO MENTALE, AUTOVERIFICA, 0 ESERCIZI per il recupero, ESERCIZI per il potenziamento, Unità LA PROPORZIONALITÀ,. LE GRANDEZZE, Rapporto tra grandezze non omogenee, Grandezze variabili e grandezze costanti, Grandezze dipendenti e grandezze indipendenti,. GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, Rappresentazione grafica,. GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI, Rappresentazione grafica,. PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE, Problemi del tre semplice diretto, Problemi del tre semplice inverso,. PROBLEMI DEL TRE COMPOSTO, Problemi del tre composto diretto, Problemi del tre composto inverso,. PROBLEMI DI RIPARTIZIONE, Catena di rapporti, Problemi di ripartizione semplice diretta, Problemi di ripartizione semplice inversa, Problemi di ripartizione composta diretta, Problemi di ripartizione composta inversa, 0 ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. 0 ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. 00 ESERCIZI da p. 0 Il libro prosegue nel CD

3 Indice V. LA PERCENTUALE, Il tasso percentuale, La parte percentuale, Percentuali e proporzioni,. CAPITALE E INTERESSE, Interesse per periodi inferiori al mese, Interesse semplice e composto, Interesse e proporzioni, LABORATORIO matematico: Errore percentuale e stima a occhio, Il cammino della matematica: ϕ, il numero d oro, SINTESI, 0 AllenaMENTE, MATEMATICA CON IL PC: La proporzionalità, 0 ESERCIZI da p. 0 ESERCIZI da p. per la VERIFICA orale, per PREPARARSI all esame, CALCOLO MENTALE, AUTOVERIFICA, 0 ESERCIZI per il recupero, ESERCIZI per il potenziamento, Unità LE BASI DELLA STATISTICA,. L INDAGINE STATISTICA, Popolazione statistica, Variabili statistiche,. LA RACCOLTA DEI DATI, Indagini statistiche totali e campionarie, La raccolta dei dati,. L ELABORAZIONE DEI DATI, Rappresentazione dei dati: tabelle di frequenze e istogrammi,. MEDIA ARITMETICA, MEDIANA, MODA, Media aritmetica, Mediana, 0 Moda, Riepilogo, Il cammino della matematica: La statistica: una giovanissima scienza antica, SINTESI, AllenaMENTE, MATEMATICA CON IL PC: Le basi della statistica, ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. ESERCIZI da p. Il libro prosegue nel CD per la VERIFICA orale, per PREPARARSI all esame, AUTOVERIFICA, ESERCIZI per il recupero, ESERCIZI per il potenziamento, Soluzioni, Tavole numeriche,

4 IL NUMERO Unità I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI..... Dalla frazione al numero Dal numero alla frazione Numeri razionali assoluti Rappresentazione grafica Proprietà delle operazioni SAPERE avrai acquisito il concetto di numero razionale assoluto conoscerai le proprietà delle operazioni con i numeri razionali assoluti SAPER FARE saprai trasformare le frazioni in numeri decimali e viceversa saprai distinguere i numeri decimali limitati da quelli illimitati saprai distinguere i numeri periodici semplici da quelli misti saprai rappresentare graficamente i numeri razionali assoluti saprai risolvere espressioni con i numeri razionali assoluti avrai consolidato la tua abilità nell operare con i numeri decimali

5 Unità I numeri razionali assoluti. DALLA FRAZIONE AL NUMERO Esercizi a p. Per trasformare una frazione in un numero sappiamo che si esegue la divisione tra numeratore e denominatore. Da questa operazione possiamo ottenere tre tipi di quoziente. Il quoziente è un numero naturale, se la frazione da trasformare è una frazione apparente: Esempio = : = Esempio mio Il quoziente è un numero decimale limitato, se la frazione da trasformare è una frazione irriducibile che al denominatore ha soltanto potenze di o di o di entrambi: Esempi Esempio mio è una potenza di : = = : =, = : =, Il quoziente è un numero decimale illimitato periodico semplice o misto. Il quoziente è un numero periodico semplice 0 Trasformiamo le frazioni e, eseguendo le divisioni fino alla quarta cifra decimale: 0, In queste divisioni i resti si ripetono, perciò nella parte decimale del quoziente si ripetono la stessa cifra o lo stesso gruppo di cifre. I numeri nei quali il numero di cifre della parte decimale è illimitato si chiamano numeri decimali illimitati. Inoltre, se nella parte decimale si ripete sempre la stessa cifra o lo stesso gruppo di cifre, il quoziente viene chiamato numero decimale periodico semplice e le cifre che si ripetono si chiamano periodo. Il periodo si indica sovrapponendo un trattino sulla cifra o sul gruppo di cifre che si ripetono, o racchiudendolo tra parentesi tonde. numero periodico semplice, periodo, 0 0,

6 IL NUMERO. Dalla frazione al numero In generale: le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici semplici, se il denominatore scomposto in fattori non contiene potenze di né di. Esempio = NON contiene potenze di né di 0 = 0 : =, numero periodico semplice Esempio mio Il quoziente è un numero periodico misto Trasformiamo la frazione eseguendo la divisione: 0 : 0 =,... In questo caso la parte decimale è costituita dalla cifra, che non si ripete, e dalle cifre e che si ripetono e costituiscono il periodo. Il quoziente ottenuto viene chiamato numero decimale periodico misto. Le cifre tra la virgola e il periodo formano l antiperiodo. numero periodico misto antiperiodo, periodo In generale: le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici misti, se il denominatore scomposto in fattori contiene potenze di o di o di entrambi insieme a potenze di altri fattori. Esempio = contiene il fattore, diverso da e da = : =, numero periodico misto Esempio mio Applica Esegui le divisioni, almeno fino alla quarta cifra decimale. : : 0 Il quoziente è un numero periodico semplice o misto? Indica la parte intera, il periodo e l antiperiodo. Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e specifica di che tipo di numero si tratta. 0 0

7 Unità I numeri razionali assoluti. DAL NUMERO ALLA FRAZIONE Esercizi a p. 0 Dato un numero naturale, decimale limitato o periodico è sempre possibile trovare la frazione da cui ha avuto origine. La frazione generatrice di un numero è quella frazione il cui quoziente tra numeratore e denominatore è uguale al numero dato. Dai numeri decimali alle frazioni generatrici Numeri decimali limitati La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per numeratore il numero senza la virgola e per denominatore la cifra seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero. Le frazioni così ottenute vengono chiamate frazioni decimali. Una frazione si dice decimale se il suo denominatore è una potenza di 0, altrimenti si dice ordinaria. Esempi, = 0, = 00, = 000 Esempio mio Numeri periodici semplici La frazione generatrice di un numero periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo. Esempio numero senza la virgola due perché le cifre del periodo sono due, = parte intera - = Esempio mio

8 IL NUMERO. Dal numero alla frazione Numeri periodici misti La frazione generatrice di un numero periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il periodo e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Esempio numero senza la virgola due perché le cifre del periodo sono due parte del numero che precede il periodo -,= = = 0 0 uno 0 perché l antiperiodo ha una cifra Esempio mio Osserva che La frazione generatrice di un numero naturale ha per numeratore il numero stesso e per denominatore : = Un numero periodico semplice con periodo è uguale al numero naturale immediatamente successivo:, = Verifichiamo l affermazione calcolando la frazione generatrice del numero:, = = = : = Osserviamo che la frazione generatrice è una frazione apparente che è equivalente al numero naturale immediatamente successivo. Un numero periodico misto con periodo è un numero decimale limitato: Verifichiamolo, calcolando la frazione generatrice del numero:, = = = = : =, 0 0, =, Applica Determina la frazione generatrice di ciascun numero e verifica il risultato., 0,,, Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice. Verifica ogni volta il risultato., 0, 0 Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto. Verifica ogni volta il risultato. 0, 0, 0,, 0 0, 0,

9 Unità I numeri razionali assoluti. NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Esercizi a p. Sappiamo che per ogni frazione esistono infinite frazioni equivalenti: In generale, si chiama classe un insieme di elementi con una o più proprietà comuni, perciò: l insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione costituisce una classe di equivalenza. Consideriamo per esempio l insieme A delle frazioni equivalenti a : A = ; 0 0 ; ; 0 ; ;... Tutte le frazioni appartenenti alla stessa classe di equivalenza corrispondono allo stesso numero decimale. Per esempio, le frazioni della classe di equivalenza individuata dall insieme A corrispondono al numero decimale 0,. Infatti: = 0 = 0 = 0 = =... = : = 0, 0 = : 0 = 0, e così via Si è stabilito perciò di rappresentare la classe di equivalenza con la frazione irridu- cibile appartenente alla classe, nel nostro esempio, racchiusa tra parentesi quadre e di chiamare la classe con il nome di numero razionale assoluto (termine derivato dal latino ratio che significa divisione ): numero razionale assoluto = : = 0, I numeri razionali assoluti formano un insieme infinito (cioè un insieme costituito da un infinito numero di elementi), insieme che è stato chiamato Q a (altri lo rappresentano con il simbolo Q + ), così definito: l insieme dei numeri razionali assoluti (Q a ) è l insieme delle classi di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro. Dalla precedente definizione segue che: le frazioni sono numeri chiamati razionali assoluti; un numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlo sotto forma di frazione.

10 IL NUMERO. Numeri razionali assoluti Di conseguenza i numeri razionali assoluti comprendono: i numeri naturali; i numeri decimali limitati; i numeri decimali illimitati periodici semplici e misti. Esempio Sono numeri razionali assoluti:, Esempio mio,, Quindi possiamo rappresentare l insieme Q a dei numeri razionali assoluti con il seguente diagramma di Eulero-Venn: Q a numeri naturali numeri decimali illimitati periodici misti numeri decimali limitati numeri decimali illimitati periodici semplici Anteprima I numeri razionali assoluti (Q a ) appartengono all insieme più ampio dei numeri razionali (rappresentato con il simbolo Q) che incontrerai nello studio dei numeri relativi. L attributo di assoluti proviene dal fatto che, a eccezione dello zero, gli altri numeri sono tutti maggiori di zero, al contrario dei numeri relativi che sono sia maggiori sia minori di zero. Applica Individua tra le seguenti frazioni quelle che corrispondono a numeri naturali, a numeri decimali limitati e a numeri decimali illimitati periodici semplici e misti. Esempio = : =, numero decimale limitato = = numero 0 = = numero = = numero = = numero

11 Unità I numeri razionali assoluti. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Esercizi a p. Vediamo ora come si rappresentano graficamente i numeri razionali assoluti. Tracciamo una semiretta, con origine O, e fissiamo un unità grafica u, per esempio u = cm. Per rappresentare le frazioni, individuiamo la loro posizione sulla semiretta in base alla loro distanza dall origine. Tale distanza si calcola applicando la frazione all unità gra- fica stessa. Così la distanza dall origine della frazione sarà dell unità grafica e corrisponderà a mm. Invece la frazione si troverà alla distanza dall origine di di unità grafica e corrisponderà a mm. La frazione si troverà a mm dall origine e così via. u 0 O Consideriamo ora le seguenti frazioni: 0 0 Poiché sono equivalenti, esse occupano sulla semiretta la stessa posizione e corrispondono tutte al medesimo numero razionale assoluto:,. u = = = 0 0, 0 O Applica Rappresenta sulla semiretta, con unità grafica u = cm, i numeri razionali assoluti:,,, 0 0 O

12 IL NUMERO. Proprietà delle operazioni. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI Esercizi a p. approfondimento nel CD: Verifica delle proprietà delle operazioni I numeri razionali assoluti sono un ampliamento dei numeri naturali. Di conseguenza: le operazioni con i numeri razionali assoluti godono delle stesse proprietà di cui godono quelle con i numeri naturali. I numeri razionali assoluti godono di una proprietà in più rispetto ai numeri naturali: l insieme Q a dei numeri razionali assoluti è chiuso rispetto alla divisione, cioè la divisione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti. Dunque l insieme Q a dei numeri razionali assoluti, oltre a essere chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, come lo è l insieme N, lo è anche rispetto alla divisione e ciò comporta un grande vantaggio: nell insieme Q a la divisione è sempre possibile (eccezion fatta quando il divisore è 0), al contrario di quanto succede con i numeri naturali. Esempio : = senza risultato in N : =, in Q a Esempio mio Osserva che Se il divisore è 0, la divisione è priva di significato, come già abbiamo visto a proposito dei numeri naturali. Esempio il quoziente non esiste : 0 = Lo 0 non ha reciproco, infatti le frazioni con denominatore 0 non hanno significato. 0 Esempio Il reciproco di non esiste (infatti non ha significato). 0 Espressioni con i numeri razionali assoluti Espressioni che contengono solo numeri decimali limitati e numeri naturali I calcoli risultano più semplici con i numeri decimali, perciò non conviene trasformarli in frazioni.

13 0 Unità I numeri razionali assoluti Espressioni che contengono numeri decimali limitati, frazioni e numeri naturali In questo caso conviene trasformare i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici e poi eseguire i calcoli. Osserva l esempio. Esempio guidato,, = = 0 = 0... =... = 0 =... = 0 =... = Espressioni che contengono numeri decimali illimitati Anche in questo caso si trasformano i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici e poi si eseguono i calcoli. Osserva l esempio. ( ) = Esempio guidato, +, + 0, :, = + + : 0 = = : =... = = = = = : =, si trasformano i numeri decimali in frazioni da qui in poi si prosegue come hai sempre fatto per risolvere le espressioni con le frazioni Applica Per ciascuna delle seguenti operazioni, scrivi quale proprietà è stata applicata., +, =, + 0, + proprietà., +, =, +, proprietà., (,,) =,,,, proprietà., : 0, = (, 0) : (0, 0) proprietà. Risolvi le espressioni , +, +, : 0, + + 0, ( ) ( ), 0, :, laboratorio nel CD

14 I numeri razionali assoluti Unità per la VERIFICA orale Come sono definite le frazioni decimali? Qual è la differenza tra numeri periodici semplici e misti? Spiega la regola per trasformare i numeri periodici semplici e misti in frazioni. Spiega come stabilire (senza eseguire calcoli) in quale tipo di numero decimale (limitato, illimitato, periodico semplice o misto) si può trasformare una data frazione irriducibile. Che cosa sono i numeri razionali assoluti? Enuncia le proprietà dei numeri razionali assoluti. Esercitati nel calcolo mentale (esercizi a p. ). per PREPARARSI all esame Qual è la soluzione dell espressione? + 0, : +, a b c, d Data l unità grafica u = cm, su quale semiretta è corretta la rappresentazione dei seguenti numeri razionali assoluti?, 0, 0 a O,, 0 0 b c O O,, 0 0,, 0 0 soluzioni a p. d O,, 0 0 Rappresenta graficamente sulla semiretta, con unità grafica u = cm, i numeri:, 0, 0 O

15 Il cammino della MATEMATICA La nascita dei numeri decimali sequestro alieno I numeri decimali nascono nel XVI secolo. Prima di allora non esistevano e al loro posto si usavano le frazioni. Il merito maggiore di avere inventato i numeri decimali va al fiammingo Simon Stevin, conosciuto con il nome di Simone di Bruges o Stevino. Stevin nacque a Bruges, in Belgio, nel e visse nei Paesi Bassi, dove lavorò come ingegnere idraulico nella progettazione e costruzione di dighe. Morì a L Aja nel 0. Stevin definì le unità decimali partendo da un particolare tipo di frazione decimale, cioè dalle unità frazionarie decimali: = 0, 0 = 00, 00 = 0, e così via. unità decimale del ordine unità decimale del ordine unità decimale del ordine Dopo avere definito le unità decimali, passò a costruire tutti gli altri numeri, con il ragionamento seguente. Bruges, monumento a Stevin. Poiché = +, si può scrivere = 0, + 0, = 0, Di conseguenza = 0, e =0, fino a = 0 Inoltre, poiché = + di conseguenza si può scrivere = + 0, =, Nacquero così i numeri decimali, che cambiarono radicalmente il modo di eseguire le operazioni, semplificandolo al massimo. I numeri decimali come li scriviamo oggi sono il frutto di un lungo percorso. Infatti, quando Simon Stevin inventò i numeri decimali usava un altro modo per scriverli. Al posto della virgola numerava le posizioni decimali. Per esempio il numero che oggi scriviamo così:,, Stevin lo scriveva così: 0 Molti anni dopo, il matematico inglese John Wallis (-0) introdusse l uso della virgola, ma la sua diffusione fu tutt altro che semplice, tanto che oggi nei paesi anglosassoni, come la Gran Bretagna, gli Stati Uniti, l Australia, per separare la parte intera da quella decimale in realtà viene usato il punto al posto della virgola:. al posto di, Negli stessi paesi, la virgola è invece usata per separare l ordine delle migliaia nella parte intera di un numero: $, al posto di $ e quindi $,. al posto del nostro $,

16 I numeri razionali assoluti Unità mappa interattiva nel CD SINTESI TRASFORMAZIONE DELLE FRAZIONI IN NUMERI NATURALI E DECIMALI Per trasformare una frazione in un numero naturale o decimale si esegue la divisione tra numeratore e denominatore.. Quoziente = numero naturale se il numeratore è multiplo del denominatore (frazioni apparenti).. Quoziente = numero decimale limitato se la frazione, ridotta ai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori, contiene solo i fattori primi o o entrambi. = : = 0, = =,. Quoziente = numero decimale illimitato periodico Possiede un numero illimitato di cifre decimali ed è periodico. Un numero periodico è un numero decimale illimitato in cui tutte o alcune cifre che costituiscono la parte decimale del numero si ripetono all infinito. La cifra o le cifre che si ripetono si chiamano periodo. Un numero periodico è semplice quando tutta la parte decimale è costituita da una o più cifre che si ripetono all infinito. Un numero periodico è misto quando la parte decimale è costituita da cifre che non si ripetono (antiperiodo) e da cifre che si ripetono (periodo). Quoziente = numero periodico semplice se la frazione, ridotta ai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori, non contiene come fattori primi né né. Quoziente = numero periodico misto se la frazione, ridotta ai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori, contiene sia i fattori primi o o entrambi, sia altri fattori primi. =,...,... =, antiperiodo,... =, =, numero periodico semplice =, numero periodico misto periodo periodo TRASFORMAZIONE DI NUMERI DECIMALI IN FRAZIONI. Numero decimale limitato Per trasformare un numero decimale limitato in frazione si scrive al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore la cifra seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato., = 000. Numero decimale illimitato periodico semplice Per trasformare un numero periodico semplice in frazione si scrive al numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la sua parte intera e al denominatore si scrivono tanti quante sono le cifre del periodo., = - =

17 Unità I numeri razionali assoluti. Numero decimale illimitato periodico misto Per trasformare un numero periodico misto in frazione si scrive al numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il periodo e al denominatore si scrivono tanti quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. -, = = 0 0 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Un numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlo sotto forma di frazione. 0, = L insieme Q a dei numeri razionali assoluti è l insieme delle classi di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro. I numeri razionali assoluti comprendono i numeri naturali, i numeri decimali limitati e i numeri decimali illimitati periodici semplici e misti. Le operazioni con i numeri razionali assoluti godono di tutte le proprietà che valgono per le operazioni con i numeri naturali. Sono numeri razionali assoluti:,,, Oltre a ciò la divisione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti. Perciò la divisione fra numeri razionali assoluti è sempre possibile., : =, numero razionale assoluto

18 . Dalla frazione al numero ESERCIZI. DALLA FRAZIONE AL NUMERO Per verificare la conoscenza della trasformazione di una frazione in un numero Indica se ciascuna delle affermazioni che seguono è vera o falsa e scrivi un esempio per giustificare la risposta. Una frazione dà sempre origine a un numero periodico. V FX Esempio = 0, è una frazione generatrice di un numero decimale limitato, non periodico Faq nel CD Teoria a p. Una frazione non dà mai origine a un numero periodico Una frazione può dare origine a un numero periodico Una frazione apparente non dà mai origine a un numero periodico Una frazione irriducibile con denominatore dà sempre origine a un numero decimale limitato Una frazione irriducibile con denominatore dà sempre origine a un numero decimale illimitato Una frazione irriducibile con denominatore può dare origine a un numero decimale limitato V V V V V V F F F F F F Numeri periodici Per applicare la conoscenza delle convenzioni sui numeri periodici Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici semplici:,... Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici misti:,. Scrivi i numeri usando le opportune convenzioni di scrittura. Esempio,... =,,,,,,,, 0,,0 0, 0, 0, Per riprendere e applicare il concetto di approssimazione Approssima per difetto a meno di 0, i seguenti numeri. Decimali limitati Esempio,,,...,0...,... 0,... 0,...,... Periodici Esempi,,,,,... 0,...,...,... 0,...,...

19 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Approssima per eccesso a meno di 0, i seguenti numeri. Decimali limitati Esempio,,,...,...,... 0,... 0,...,... Periodici Esempi,,,,,...,...,...,...,... 0,... Approssima con la migliore approssimazione, a meno di 0,, i seguenti numeri. 0 Decimali limitati Esempi,,,,,,,...,...,... 0,... 0,...,... Periodici semplici Esempi,, (infatti, =,...),,,,,, Esempi,...,...,... 0,... 0,...,...,...,...,..., 0..., 0...,... Periodici misti, =,... 0,...,...,... 0,... 0,... Scrivi i numeri periodici fino alla settima cifra decimale, applicando la migliore approssimazione per eccesso o per difetto a seconda dei casi. Esempio, =,, 0,,,,,,,,, 0,, Per consolidare la conoscenza dei numeri decimali, limitati e periodici Classifica ogni numero, mettendo una crocetta nella colonna corretta. numeri decimali numeri decimali limitati periodici semplici periodici misti limitati periodici semplici periodici misti,0,,,,, 0, 0,00 0,, 0

20 . Dalla frazione al numero ESERCIZI Completa le tabelle.,,,,0 0, 0, 0 parte intera parte decimale periodo antiperiodo periodo antiperiodo parte intera numero periodico semplice o misto? misto 0 0 numero, Trasformazioni da frazione a numero Per applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di una frazione in un numero Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri naturali. Esempio Esempio Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici semplici. 0 Esempio Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici misti. Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e scrivi il genere di numero ottenuto. Esempio = : =, numero decimale illimitato periodico semplice

21 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Nelle seguenti frazioni il denominatore è stato scomposto in fattori primi. Senza fare calcoli, stabilisci che genere di numero corrisponde a ciascuna frazione. numero numero numero numero naturale decimale limitato periodico semplice periodico misto Esempio Esempio Nelle seguenti frazioni numeratore e denominatore sono stati scomposti in fattori primi. Dopo avere ridotto, quando è possibile, le frazioni ai minimi termini (come mostrato nell esempio) e senza fare ulteriori calcoli, stabilisci che genere di numero corrisponde a ciascuna frazione. numero numero numero numero naturale decimale limitato periodico semplice periodico misto = X X

22 . Dalla frazione al numero ESERCIZI Indica il genere di numero che corrisponde a ciascuna frazione: numero naturale, decimale limitato, periodico semplice o misto. Esempio periodico semplice Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri decimali limitati. Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici semplici. 0 Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici misti Senza eseguire le divisioni, indica quali hanno come risultato un numero periodico, motivando la risposta. Esempio : la frazione è irriducibile e il denominatore, scomposto in fattori primi, contiene il fattore. Quindi il risultato è un numero periodico semplice. : : : : : : : : 0 : 0

23 0 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Teoria a p.. DAL NUMERO ALLA FRAZIONE Faq nel CD Per verificare la conoscenza della trasformazione di un numero nella sua frazione generatrice Completa le frasi. La frazione che dà origine a un dato numero decimale si chiama frazione. Per trasformare un numero decimale limitato nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore.. e al denominatore la cifra seguita da tanti... quante sono le cifre a destra della virgola. Per trasformare un numero periodico semplice nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e.. e al denominatore tanti quante sono le cifre del... Per trasformare un numero periodico misto nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il..., senza la virgola, e al denominatore tanti quante sono le cifre del... e tanti 0 quante sono le cifre dell... Trasformazioni da numero a frazione Per applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di un numero nella frazione generatrice Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale limitato e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato. Esempio, = 0 = = verifica del risultato: 0 : =, ,,, 0,0,, ; 0 ; ; 000 ; 00 ; 0 0 0,,,, 0, 0,0,, 0, 0,00,0, 0, 0,,,0,00 0,0,,0 0,, 0,0, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato. Esempio, = - = = verifica del risultato: : =,,, 0, 0,, 0,,,,,, 0, 0, 0, 00, 0,,,,,, 0,, 0 0, ; ; ; ; ; 0 ; ; ; ; ; 0 0 ; ; ; ; ; 0 0 ; ; ; ; ;

24 . Dal numero alla frazione ESERCIZI Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato. - Esempio, = = = verifica del risultato: : =, 0 0, 0, 0,,,, 0,, 00, 0, 00, 000,,, 0,, 0, 0, 0,, 0,,, 0 0, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 ; 0 ; ; 000 ; ; ; ; ; Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e misto e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato. 00, 0, 0,, 0,, 0, 000,, 00, 0, 0, 0,,,,, 0 0,,,, 0, 0, 00, 0 ; ; ; ; 0 ; 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 0 ; ; ; ; ; 0 0 A quale numero naturale o decimale limitato corrisponde ciascuno dei seguenti numeri periodici particolari? Verifica i risultati utilizzando la frazione generatrice. Esempio, =, verifica del risultato: la frazione generatrice è - 0 = = =, 0, 0, [; 0,], 0, [,;,],, [0; ] Confronto di numeri decimali e periodici Per esercitarsi a confrontare numeri decimali limitati e periodici Inserisci nel quadratino il simbolo <, > o =, rendendo vera la relazione. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, Inserisci tra le coppie di numeri decimali tre opportuni numeri decimali: uno limitato, uno periodico semplice e uno periodico misto. Esempio 0, < 0, < 0, < 0, < 0, 0 0, < <. <. < 0,, < <. <. <,, < <. <. <,,.... < < <.. <,

25 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Teoria a p.. NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Faq nel CD Per verificare la conoscenza dei numeri razionali assoluti Rispondi alle domande. I numeri naturali possono essere scritti sotto forma di frazione? In caso affermativo, scrivi un esempio.... I numeri decimali limitati possono essere scritti sotto forma di frazione? In caso affermativo, scrivi un esempio.... I numeri periodici possono essere scritti sotto forma di frazione? In caso affermativo, scrivi un esempio.... SÌ SÌ SÌ NO NO NO Completa le frasi. Le frazioni sono numeri chiamati... I numeri razionali assoluti comprendono i seguenti tipi di numeri:. Un numero razionale assoluto può essere rappresentato da una frazione irriducibile o dalle infinite altre frazioni a essa.. Quando un numero si dice razionale assoluto? Scrivi almeno tre esempi di numeri razionali assoluti. Considera il numero razionale: Considera il numero razionale: 0 0 { ; ; ; ; ;... ; ; ; ;... } { } Qual è la frazione che lo rappresenta? Qual è la frazione che lo rappresenta? 0 Qual è il numero razionale che corrisponde alla classe di equivalenza rappresentata da? Per applicare la conoscenza dei numeri razionali assoluti Per ogni numero razionale assoluto scrivine tre equivalenti. 0,, 0,,, 0,0 0, 0,,, 0,,, 0,,, 0,, Quale dei tre insiemi è un numero razionale? Di quale numero si tratta? A = { ; ; ; ;... } A = { ; ; ; ;...} B = { ; ; ; ;... } B = { ; ; ; ;...} 0 0 C = { ; ; ; ;... } C = { ; ; ; ;...} Scegli tra le frazioni quelle che sono rappresentate dal numero razionale assoluto Sottolinea le frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale assoluto Esempio

26 . Rappresentazione grafica ESERCIZI. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per consolidare l abilità di rappresentare graficamente i numeri razionali assoluti Scrivi sui puntini i numeri razionali assoluti, sotto forma di frazioni, indicati dalle frecce su ciascuna semiretta Faq nel CD Teoria a p. O u 0 O 0 u Scrivi sui puntini quali frazioni irriducibili sono rappresentate dalle lettere. O A B C D E F G H I L u A = = B =... C =... D = = E = F =... G =... H =... I =... L =... O A B C D E F G H I L M N P u A = = B =... C = = D =... E =... F =... G =... H =... I =... L =... M =... N =... P =... O A B C D E F G H I u A =... B =... C =... D =... E =... F =... G =... H =... I =... Rappresenta graficamente i numeri sulla semiretta.,,,,, O

27 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Rappresenta ciascuna serie di numeri su carta millimetrata, utilizzando ogni volta una nuova semiretta. Scegli opportunamente l unità grafica ,,,, 0 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0,,,, 0,,,,,,, 0,, 0, 0 0 0, 0,,, 0 0,, 0, ,,, 0 0 0,, 0, ,,,, , 0,, 00, 0,, 0,, 0, 0 0 Scrivi il numero giusto al posto dei puntini. Poi rappresenta graficamente la frazione. Esempio + = 0 = 0 + = 0 + = 0 + = 0 = + 0

28 . Proprietà delle operazioni ESERCIZI. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI Addizioni e sottrazioni Per riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà dell addizione e della sottrazione Faq nel CD L addizione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri naturali? Quali sono? Teoria a p. 0 Enuncia la proprietà commutativa dell addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Enuncia la proprietà associativa dell addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Enuncia la proprietà dissociativa dell addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Rispondi alle domande. Qual è l elemento neutro dell addizione? Fai un esempio, usando numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. L addizione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché? La sottrazione di numeri razionali assoluti gode della proprietà commutativa? Fai un esempio. La sottrazione di numeri razionali assoluti possiede l elemento neutro? Perché? La sottrazione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti? Fai un esempio. Come si chiama la proprietà della sottrazione con i numeri razionali assoluti? Enunciala e fai un esempio. Per applicare la conoscenza delle proprietà dell addizione e della sottrazione Esempio Esempio Applica all addizione Applica all addizione Esempio Applica all addizione Applica alla sottrazione + = = + = la proprietà commutativa. = la proprietà dissociativa, in modo diverso dall esempio. la proprietà associativa, in modo diverso dall esempio. la proprietà invariantiva, in modo diverso dall esempio. 0 Applica alla sottrazione = la proprietà invariantiva, sottraendo a entrambi i termini la frazione. Poi verifica la validità della proprietà. Scrivi i risultati senza eseguire i calcoli

29 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Moltiplicazioni 0 Per riprendere la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione Rispondi alle domande. La moltiplicazione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri naturali? Quali sono? Qual è l elemento neutro della moltiplicazione dei numeri razionali assoluti? La moltiplicazione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché? Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Enuncia la proprietà associativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Enuncia la proprietà dissociativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Enuncia la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria. Per applicare la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione Applica alla moltiplicazione la proprietà commutativa. Applica alla moltiplicazione la proprietà dissociativa, in modo diverso dall esempio. Esempio = 0 Applica alla moltiplicazione in modo diverso dall esempio. la proprietà associativa, Esempio = Esempio Applica a ciascuna moltiplicazione la proprietà distributiva. + = Divisioni Per riprendere la conoscenza delle proprietà della divisione Completa le frasi. La divisione è un operazione interna ai numeri, ma non è interna ai numeri Se il divisore è diverso da 0, la divisione è sempre possibile con i numeri, invece non sempre è possibile con i numeri.. 0 Rispondi alle domande. Qual è il vantaggio nell usare i numeri razionali assoluti invece che i numeri naturali nelle divisioni? Usando solo numeri naturali sono sempre possibili le operazioni fondamentali? Quali non sono sempre possibili? Usando i numeri razionali assoluti sono sempre possibili le operazioni fondamentali? Quali non sono sempre possibili?

30 . Proprietà delle operazioni ESERCIZI Fai un esempio per spiegare ciascuna frase. La divisione è un operazione interna ai numeri razionali assoluti. La divisione non è un operazione interna ai numeri naturali. Completa le frasi, che si riferiscono alla divisione tra numeri razionali assoluti. Quando il divisore è 0 la divisione Quando dividendo e divisore sono uguali a 0, il quoziente è Quando il dividendo è uguale a 0, il quoziente è Quando il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a, il quoziente è.... Quando dividendo e divisore sono uguali, ma diversi da 0, il quoziente è uguale a... Potenze Per riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà delle potenze Scrivi i risultati delle operazioni sotto forma di potenza.,, =... 0, 0, =...,,, =...,,, =...,, =......, :, =..., :, =... 0, : 0, =..., :, =..., :, =,, = 0, : 0, = Eleva a potenza i seguenti numeri periodici. 0, 00, 0,, 00,, ; ; 0 ; ; 0 Esempio, = = = =,, 0 0, 0, ; ; Espressioni con numeri decimali limitati Per consolidare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Esegui le operazioni in due modi: con i numeri decimali e poi con le frazioni, infine confronta i risultati. Esempio, + 0,, + 0, =,, + 0, = 0 + = = =, 0 0, +, 0, +,,0 +, 0,0 +,,,,,, 0,, 0,0,,, 0,,, 0,0 0,, : 0,, : 0,0, : 0, 0, :,

31 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti Per sviluppare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Calcola il valore delle espressioni. Esercizio guidato, 0,, +, 0,, + 0,,0 = =,... +., + 0,,0 = esercizio guidato nel CD 0, + 0, 0, +, +, : 0,, 0, + 0, :, 0, :,, + ( ) ( ), +,,,,, ( ), + 0, +, :, [ ( ) ] 0, 0,, 0, 0, 0, ( ) + ( ) 0, 0, : 0,,, :, [] [] [] [] [] [] (, +,), (,,),, [0] { ( ) } { ( ) } 0, 0, + 0, 0, +, :, 0,, +, +, : 0, + 0, +, : 0, + ( ) [( ) ( ) ], +, 0,,, +,,, + { ( ) } + 0, 00, +,, : [] [,] [0] [,] Espressioni con frazioni e numeri decimali limitati Per consolidare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Calcola il valore delle espressioni. +, 0, 0 0 +, +, + + +, ,,, +, (,, ) +,, + 0, + 0, ,, +, +, (,, ) 0, 0, + ( 0, ) 0, ( +, ) + : + ( +, ) :,, , +, + : 0 0 +,,, + 0 0, :, :,, +, : +, +, [] esercizio guidato nel CD [] 0 [0] [] []

32 . Proprietà delle operazioni ESERCIZI +, : +, + 0,, 0,, : 0 ( 0 0) :,,, + 0, , +, (, ) + 0 0, + + +, + 0, + + 0,, 0,, + 0, :, 0, + 0, (, 0, ) ( 0, + 0, ) : (, +, ) (,, ) [( ) ( ) ] [( ) ],, :, +,, : 0, :, 0,, 0 0 (,, ) +, :, : 0, : 0 [] [0] [] 0 [] ,, +, + 0, 0 : 0, 0 0 ( 0, 0, ) : 0, 0, + ( ) [] 0 0 0,, :, ( ) + 0 0, + 0, +,, , 0, 0 : 00 ( + : ) + : 0 0, ( ) : +, : :, , + ( ) +,, ,, : (, ) 0 { 0, } { } , 0, + 00,, :, + 00 [] [0] [] 0 0 : + +, (, + ) +, 0, : +, 0, 0, 0, 0, 0 ( ) ( ) 0, : :,, +, +

33 0 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti :, 0, + 0, : 0, + 0, 0, ( ) ( 0) , [] 0 + 0, 0, 0, : + 0, ( ) ( ) : + ( 0, ) + + 0, : +,, + : + 0, + ( +, ) :( +, ) + +, ( +, ) + ( +, ) : + :,, 0, 0, + :, + [] Espressioni con numeri periodici Per consolidare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Calcola il valore delle espressioni. Esercizio guidato, 0,, 0 = 0 0 = = =... = 0... = = = esercizio guidato nel CD, +,,,, +, 0, 0, 0, + 0, + 0,, 0, 0 +, +, 0, 0, 0, :, + 0, 00 0, : 0, 0, 0, :,, 0 []

34 . Proprietà delle operazioni ESERCIZI 0 0,, 0, + 0, 0, 0, ( ) 0 0, 00, ( ) 0 0, +,, ( ) 0 0, 0, 0 0, ( ) 0, 0, +, 0, ( ) 0,, :, ( ) ( ) 0 0, + 0, 0, : 0, + 0,, [] 0 [] ( ) ( ) ( ), 0 +, + 0, +, + 0, +,, +, ( ) ( ) ( 0, 0, ) 0 0, + 0, +,,, + 0, 0, + 0, +, ( ) ( ) + 0, 0, : 0, 0, + 0, + 0,,, +, [,], 0, 0,, 0, :, 00, : 0, 0 + 0,,, : 0, + +, 0, :, 0, : +, + + 0,, 0,, +, :, + : 0, 0, 0,, : 0, +,, +,, : 0, , :, :, +, : 0, 0, : 0, , +, : + 0, :, + 0,, : 0, + 0, : 0, 0, 0, + 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, [( ) ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) (, [ )] { } + 0, + 0,,, ( ) 0 0 0, : +, :, ( ) ( ), :(, ), (, ) { ( ) } ( ) :, 0, 0 + 0,, +,, 0, + 0, : 0, : 0, , +, : 0, + 0, + 0, + + [] [0] [,] [,] [] [0,] [,] [] [] []

35 ESERCIZI UNITÀ I numeri razionali assoluti 0 0, + +, + + 0,, : (, ):, + +, [ ] 0 0, +,, ( + 0, ) ( 0, ) + 0, 0, :, :,, : :, [] + + : 0, + 0, + + 0, :, :, 0 0 +,, 0, + 0, 0, 0, + + (, ) :, + + : 0, ( ) + (, ) + 0, + : 0, + 0, (, ) + + [] [] , :(, ) +,, + ( ) 0 : 0, : 0, : ,, : +, : 0,, 0, : +, :, + : + + ( ), +,, : 0,, 0, ( ) ( ),, 0, 0,,, +, 0, + 0, + 0, 0 [] 0 0 0,, + : 0, : 0,, :, ( ) 0, : 0, + 0, : 0, 0, 0 ( 0, 0, ): 0, 0, [(, ) 0, + ( + 0, ) ] ( ) ( ), : 0, +, : 0, 0 0 (, ) : 0, 0 []

36 Calcolo mentale ESERCIZI calcolo mentale Trasforma mentalmente le frazioni in numeri decimali. Esempio 00 = 00, Trasforma mentalmente i numeri decimali in frazioni. Esempio, = 00,, 0, 0,0,00 0,0,,,,, 0,, 0,, 0,0 0,,0 Calcola a mente i quozienti, approssimando a meno di un unità. Esempio : 0 ª : 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 0 : 0 0 : 0 : 00 : 00 : 00 0 : 00 0 : 00 : 00 : 00 : 00 : 000 : 000 : 000 : 000 : : 0 : : : 00 : 000 : 00 :

37 AUTOVERIFICA autoverifica interattiva nel CD Qual è la frazione generatrice di un numero periodico misto? a una frazione apparente b una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene solo i fattori primi o o entrambi c una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, non contiene come fattori primi né né d una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene i fattori primi o o entrambi, insieme ad altri fattori Osserva la rappresentazione grafica: A O Quale numero è rappresentato dal punto A? a b c d 0, Qual è il numero la cui frazione generatrice è? 0 a 0, c 0, b 0, d 0, Qual è la frazione generatrice del numero,? a b c 0 d Qual è il risultato dell espressione?, + 0, + 0, a, c, b d Qual è il risultato dell espressione?, +,, + 0, ( ) a, c, Qual è la frazione generatrice del numero,? b d, soluzioni a p. a 00 b 0 c d 0 L insieme dei numeri razionali assoluti gode di una proprietà che non vale per l insieme dei numeri naturali. Quale? a la sottrazione gode della proprietà commutativa b l addizione gode della proprietà invariantiva c la divisione è un operazione interna all insieme d la moltiplicazione non è un operazione interna all insieme 0 Qual è il risultato dell espressione? 0, +,, 0, +, : a, c b, d 0 Qual è il risultato dell espressione?, + 0, : 0, 0, : 0, +, : 0, a, c b, d,

38 esercizi interattivi per il recupero nel CD ESERCIZI per il recupero Numeri periodici Per recuperare la conoscenza del concetto di numero periodico Completa la tabella. numero periodico semplice o misto? periodo antiperiodo, misto,,,, 0,,,, Scrivi i quozienti sotto forma di numeri decimali limitati o illimitati e indica le loro caratteristiche. : =... numero decimale limitato numero decimale illimitato numero periodico semplice periodo: numero periodico misto periodo: antiperiodo:... : =... numero decimale limitato numero decimale illimitato numero periodico semplice periodo: numero periodico misto periodo: antiperiodo:... : =... numero decimale limitato numero decimale illimitato numero periodico semplice periodo: numero periodico misto periodo: antiperiodo:... : =... numero decimale limitato numero decimale illimitato numero periodico semplice periodo: numero periodico misto periodo: antiperiodo:... Confronta i numeri delle seguenti coppie e scrivi sui puntini il simbolo <, > o =.,..., 0,... 0, Esempi, <,, >,,...,,..., 0,... 0,,...,,..., 0,... 0, 0,...,,..., Per recuperare la conoscenza del concetto di numero razionale Completa le frasi. L insieme costituito da tutte le frazioni equivalenti tra loro costituisce..... L insieme delle classi di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro è l insieme dei numeri..... L insieme dei numeri razionali assoluti è rappresentato dal simbolo

39 ESERCIZI per il recupero UNITÀ I numeri razionali assoluti In base ai denominatori delle seguenti frazioni irriducibili, stabilisci se corrispondono a numeri decimali limitati o periodici semplici o misti. Esempio 0 è un numero decimale limitato perché 0 = (non ci sono altri fattori oltre e ) è un numero periodico semplice perché = (mancano i fattori e ) è un numero periodico misto perché = (ci sono ANCHE fattori diversi da e ) Dalla frazione al numero Per recuperare il collegamento tra frazioni e numeri decimali Completa le frasi. La frazione generatrice di un numero naturale è una frazione..... La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero decimale limitato dà luogo esclusivamente a potenze di... o di... La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico semplice non dà luogo a potenze di... o di... La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico misto dà luogo ad altre potenze oltre a quelle di... e di... Rappresenta ognuno dei seguenti numeri naturali sotto forma di tre frazioni diverse.... = = = = = = = = = = = = Trasforma le frazioni in numeri decimali Esempio = = = 0 0 Esempi = : 00=, 00 = : =,

40 ESERCIZI per il recupero UNITÀ I numeri razionali assoluti Dal numero alla frazione Per recuperare il collegamento tra numeri decimali e frazioni Trasforma i numeri in frazioni irriducibili. 0,0,00 0,0, 0 ; ; 0 ; 0 Esempio,0 = 0 00 = ,,,,0 ; ; ;, 0, 0,0 0, 00, 0,, 0,0 ; ; ;,,,, 0, 0,,, ; ; ;,,, 0, 00 0, 0,0 0,, ; ; ;,,0 0,,0 0,,, 0,0 ; ; ; 0,0,,00 0, , 0,0,,00 ; ; ;,0, 0,, ; ; ; ; ; ; 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 00 ; ; ; Esempio, = - = =,, 0,, ; ; ; 0,,, 00, ; ; ;, 0, 0,, ; ; ;,, 0, 0, 0 0 ; ; ; 0, 0, 0,, 0, 00, 00,, 00 ; ; 0 ; ; ; 0 ; Esempio, = - = = , 0,, 0, ; ; ; 0 Scrivi le potenze di numeri decimali sotto forma di potenze delle frazioni generatrici, riducile ai minimi termini e calcola le potenze., 0,00 0,, 0 0, 0, 0, 0,0 Esempio, = - = = = 0,,, 0, 000 ; ; ;, 0,, 0, 0 ; ; ; 00, 00, 00, 00,, 0, 0, 0, ; ; ; ; ; ; 0

41 ESERCIZI per il recupero UNITÀ I numeri razionali assoluti Rappresentazione grafica dei numeri razionali assoluti Per recuperare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali assoluti Rappresenta graficamente le frazioni. Esercizio guidato Rappresenta le frazioni, e con unità grafica u = 0 mm. Ragionamento L unità grafica è lunga 0 mm, perciò calcoliamo: di 0 mm = mm A partire dall origine O, contiamo mm e segniamo il punto che rappresenta. O u = 0 mm Operiamo in modo analogo per rappresentare. di 0 mm =... mm A partire dall origine O, conta mm e segna il punto che rappresenta. O u = 0 mm Per rappresentare la frazione calcoliamo: di 0 mm =... mm Perciò a partire dall origine O, conta. mm e segna il punto che rappresenta. O u = 0 mm 0 Rappresenta la frazione con unità grafica u = 0 mm. Rappresenta la frazione Rappresenta la frazione con unità grafica u = 0 mm. con unità grafica u = 0 mm. Rappresenta la frazione con unità grafica u = 0 mm. 0 Rappresenta la frazione Rappresenta la frazione con unità grafica u = 0 mm. con unità grafica u = 0 mm.

42 ESERCIZI per il recupero UNITÀ I numeri razionali assoluti Espressioni con numeri decimali limitati e con frazioni Per recuperare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Calcola il valore delle espressioni. Esercizio guidato, + 0, (0, + 0, : ), = =, + 0, (0, +...), = =, + 0,..., = =, =, altri esercizi guidati nel CD,, +,, [,] 0 (, 0,, +,) : (, +,) 0, [0,] (, + 0,,) 0, (,, + 0, ) [0] [(,, +,) +, : 0,] 0, [0] [(, + 0,,),] + (,,) 0, [0,] {, + [(, 0,0 ) +,] : 0,,},, + 0, [] Esercizio guidato {[( 0,, : ) ] [, 0, ] +,} : 0, = = {[(... 0,, : ) ] [,...] +,} : 0, = = {[(......) ] [...] +,} : 0, = = {[... ]... +,} : 0, = = {......} : 0, = = {...} : 0, = =... = 0 Esercizio guidato = = 0 0 = =, +,, + 0, = = = = 0 +, 0, +, [] ,, 0 0 0, +, 0,

43 0 ESERCIZI per il potenziamento Trasformazioni da frazione a numero e da numero a frazione Per potenziare la conoscenza del concetto di numero razionale assoluto Trasforma i numeri in frazioni irriducibili.,,,, esercizi interattivi per il potenziamento nel CD ; ; ;,0, 0 0, 0, 0 0 ; ; ; Risolvi l espressione. [( ) ], 0,, + 0,, + 00, : 0, Ora, trasforma l espressione sostituendo i numeri decimali con le frazioni, poi risolvila. Infine trasforma la frazione ottenuta in numero decimale. È lo stesso risultato che hai già calcolato all inizio? [,; sì] Esegui le operazioni con le frazioni, poi trasforma le frazioni in numeri decimali, e ripeti l operazione. Infine confronta i risultati : Nelle frazioni, alcuni termini sono stati sostituiti dalle rispettive scomposizioni in fattori primi. Stabilisci a quale tipo di numero dà origine ciascuna frazione, senza eseguire i calcoli (ricordati però di ridurre le frazioni ai minimi termini). numero decimale numero decimale numero decimale limitato periodico semplice periodico misto

44 ESERCIZI per il potenziamento UNITÀ I numeri razionali assoluti Rappresentazione grafica dei numeri razionali assoluti Per potenziare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali assoluti Rappresenta con unità grafica u = cm le frazioni: Rappresenta con unità grafica u = cm le frazioni: 0 Proprietà delle operazioni con i numeri razionali assoluti Per potenziare la conoscenza delle proprietà delle operazioni Alle seguenti operazioni applica la proprietà commutativa nei casi in cui è possibile. + : Applica la proprietà distributiva. + + La potenza di un numero decimale è uguale alla stessa potenza della frazione generatrice di quel numero decimale? Scrivi un esempio. Espressioni Per potenziare l abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti Scrivi sotto forma di espressione, poi risolvi. Il quoziente del quadrato di 0, e della differenza tra, e il prodotto di 0 e 0,0. [0,0] Il quadrato della differenza dei quadrati di 0, e 0,. [0,0] Calcola il valore delle espressioni., + 0, : 0, 0 ( 0, 0, ) :( 0, ) +, {[( 0, + 0, 0, ) : ( 0, + 0, ) ] [(,, ) 0, ], + (, 0, )} [] + 0, + 0,,, ( ) [] 0 0, : + :, ( 0 ), 0 0 +, +, 0, [] 0 0 +, :, + (, ) : 0, 0 []

45 ESERCIZI per il potenziamento UNITÀ I numeri razionali assoluti 0 + ( 0, 0, ) (,, +, ) : 0 0 :,, 0 :, [] 0 0, (, ) +, 0 ( ) ( ), :, : : , +, +, (, ) : : ( 0, + 0, ): 0, 0, 0 +, :, 0, + ( + 0, ) ( ) + 0 0, + (, +, ) :,, + 0, :( 0, ) 0, 0, + + Calcolo letterale Per sviluppare le abilità nel calcolo letterale Calcola il valore dell espressione letterale per i valori assegnati. a + b : a 0, [( ) ] a = e b = 0, [,0] a = 0, e b = 0, a = 0, e b = [] Calcola il valore di ciascuna espressione letterale per i valori assegnati. ( ) = = 0 a + 0, + b a e b 0, [,] ( ) ( ) ( ), b + a b a + + a 0 ( a b 0, ) a a b b + b + [( a + b) : ( b a) ] a =, e b =, [00] a = e b = 0, [] a = 0, e b = 0, []

46 AllenaMENTE pensiero razionale Crucinumero 0 altri giochi nel CD Orizzontali., +, , 0 +, ( 0 ) +, (, +, ) 0, + ( + ) + 0,, : 0, +,, [ ( )] +, +, 0 Verticali., (, +, ),. (, +, + 0, ). 0, 0. (,) + 0, ( 0, ), (, +, ), : + 00, 0, 0 ( ) + (, ). :, Il labirinto del saggio Scopri una massima di Einstein. Partendo dal numero 0 in basso a sinistra, arriva al numero 0 in alto a destra, passando una volta sola su tutte le caselle e seguendo i numeri in ordine crescente. A R A D U P R E,,0 0,0 0 P N U C A T A I,,0,,,0 C È E E E S, 0, 0 0,,, 0 0, 0,,, , E O M F O S A T N Z N U L O L M E I O N A S soluzioni a p. 0 Indovinello storico Risolvi questo indovinello attribuito a Pitagora in risposta a chi gli chiedeva quanti fossero i suoi alunni. Diceva Pitagora: In questo momento sono tutti al lavoro: la metà dei miei discepoli sta studiando geometria, un quarto di loro studia le leggi della natura; un settimo di loro discute di filosofia, tre stanno studiando musica. Quanti sono in tutto gli alunni di Pitagora?

47 M A T E M A T I C A C O N I L P C I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Abbiamo già visto nelle Unità e come operare con le frazioni in Excel, quindi non dovresti avere problemi a svolgere gli esercizi che seguono. In ogni caso, accanto agli esercizi abbiamo riportato un piccolo promemoria per aiutarti a ricordare. Esercizi con carta e penna con il PC Trasforma i numeri decimali inseriti nelle tabelle che seguono in frazioni irriducibili. Al posto delle frazioni improprie scrivi i corrispondenti numeri misti (come mostrato dall esempio). Completa a mano le tabelle e poi controlla i risultati con Excel. Procedura Formatta la colonna B come frazione a cifre (Formato Celle Numero categoria: Frazione tipo: Fino a tre cifre Ok) Inserisci nella cella B la formula per copiare il contenuto della cella A (= A) e poi copia per trascinamento la formula nelle altre celle da B a B. La procedura è la stessa utilizzata nell esercizio precedente. Devi però formattare la colonna A come numero decimale con cifre dopo la virgola.