Nuovo Aritmetica Oggi

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1 mm Aritmetica Oggi B D_x8 D //0 8 Pagina Aritmetica Oggi a cura di Luigi Ferrando Piano dell opera Geometria C ISBN Geometria nello spazio Il piano cartesiano completo e la geometria analitica Aritmetica A + Tavole numeriche ISBN Gli insiemi e il linguaggio matematico I numeri e le operazioni aritmetiche Risoluzione di problemi Multipli e divisori Le frazioni Algebra ISBN I numeri relativi Gli insiemi numerici Calcolo letterale Equazioni e disequazioni Probabilità Dagli insiemi alle strutture Il pensiero razionale e la logica matematica Aritmetica B ISBN Dalle frazioni ai numeri reali Proporzionalità e applicazioni Introduzione alle funzioni e piano cartesiano Statistica e probabilità Aritmetica e geometria con un clic ISBN Il computer Il sistema operativo e la gestione dei file L aritmetica con Excel La geometria dinamica con Geogebra La realizzazione di presentazioni Le reti informatiche e internet Geometria B I materiali on-line Sul sito sono presenti, scaricabili gratuitamente, le sintesi dei vari argomenti ed esercizi guidati per ciascuna unità. Questo simbolo identifica i libri di testo realizzati in formato misto, ovvero cartaceo e digitale Il corso è dotato di una serie di materiali specificamente progettati per l uso della LIM in classe. Nuovo Aritmetica Oggi B Prezzo di vendita al pubblico,4 (defiscalizzato,04) IB G G 8 tti O 0co A 46 is IC - ar ET 4 I. M M -4 N M RIT -88 TRI A 8 E VO P O N U ISB N Questo volume, sprovvisto del talloncino a lato, è da considerarsi copia SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati art., c., L. 6/4). Fuori campo applicazione I.V.A. (D.P.R. 6//, n. 6, art., co, lett. d.) Nuovo Mario Mariscotti Nuovo Aritmetica Oggi Geometria A ISBN Le nozioni fondamentali della geometria Classificazione dei poligoni La circonferenza e il cerchio ISBN Equivalenza di superfici piane Il teorema di Pitagora Le costruzioni e le trasformazioni geometriche Similitudini piane I teoremi di Euclide Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Mario Mariscotti Nuovo Aritmetica Oggi a cura di Luigi Ferrando

2 internet Redattore responsabile Monica Tecnico responsabile Progetto grafico Copertina Impaginazione Disegni Martinelli Gian Battista Vivalda Carla Devoto, Nadia Maestri Simona Corniola, Nadia Maestri A.G.I. Bologna Leprechaun, Moreno Chiacchiera Art Director Nadia Maestri Si ringrazia il prof. Santo Rinaldi per la consulenza prestata nella realizzazione dell opera. Proprietà letteraria riservata 0 De Agostini Scuola SpA Novara ª edizione gennaio 0 Printed in Italy Foto copertina Todd Davidson, images.com/corbis L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 4/ sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del % di ciascun volume/ fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, comma 4, della legge aprile 4 n.6. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al % del presente volume/fascicolo, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO Corso di Porta Romana, 8 0 Milano . [email protected]; Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento di funzionamento tecnico dei supporti multimediali del corso o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica [email protected]. Stampa DEAPRINTING Novara Ristampa Anno

3 Indice Dalle frazioni ai numeri reali Unità Frazioni e numeri decimali I numeri razionali Dalle frazioni ai numeri decimali Numeri decimali limitati Frazioni decimali Frazioni ordinarie 4 Numeri decimali illimitati 4 Numeri decimali periodici semplici 4 Numeri decimali periodici misti Dai numeri decimali alle frazioni Frazione generatrice di un numero decimale limitato Frazione generatrice di un numero periodico semplice Frazione generatrice di un numero periodico misto 8 6 Operazioni con numeri decimali Mappa di riepilogo ESERCIZI 4 Scheda di verifica 4 Scheda di recupero 6 Scheda di potenziamento 8 Online sintesi ed esercizi guidati Unità Estrazione di radice Estrazione di radice 0 Radice quadrata Radici quadrate esatte o approssimate 4 Riconoscimento di un quadrato e calcolo della sua radice Proprietà delle radici quadrate 6 Radice quadrata di un numero naturale, non quadrato, approssimata a meno di 0,, 0,0 ecc. per difetto o per eccesso Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 4 Uso delle tavole numeriche per il calcolo della radice quadrata di un numero 8 Osservazioni sulla radice quadrata di una frazione 6 Cenni sulla radice cubica L insieme dei numeri irrazionali assoluti 8 L insieme dei numeri reali assoluti 8 Un po di storia Estrazione della radice quadrata Mappa di riepilogo 4 ESERCIZI 44 Scheda di verifica Scheda di recupero Scheda di potenziamento Online sintesi ed esercizi guidati Proporzionalità e applicazioni. Introduzione alle funzioni e piano cartesiano Unità 4 Rapporti e proporzioni Rapporto fra due numeri 6 Rapporto fra due grandezze omogenee 64 Rapporto fra due grandezze non omogenee 6 4 Proporzioni 66 Proprietà fondamentale delle proporzioni 68 6 Altre proprietà delle proporzioni 6 Proprietà dell invertire 6 Proprietà del permutare 6 Proprietà del comporre 0 Proprietà dello scomporre 0 III

4 INDICE Calcolo del termine incognito di una proporzione 8 Calcolo del termine incognito applicando altre proprietà delle proporzioni Proprietà del comporre e dello scomporre Calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il rapporto 4 Proprietà del permutare e del comporre 4 Successione di rapporti uguali Mappa di riepilogo 6 ESERCIZI 8 Scheda di verifica 0 Scheda di recupero Scheda di potenziamento Online sintesi ed esercizi guidati Unità Funzioni, proporzionalità e piano cartesiano Grandezze costanti e grandezze variabili 6 Che cos è una funzione 6 Funzioni matematiche e funzioni empiriche Il piano cartesiano 8 4 Rappresentazione grafica di funzioni Grandezze direttamente proporzionali 4 6 Rappresentazione cartesiana della proporzionalità diretta Grandezze inversamente proporzionali 8 Rappresentazione cartesiana della proporzionalità inversa 8 Un po di storia Cartesio Mappa di riepilogo ESERCIZI Scheda di verifica Scheda di recupero Scheda di potenziamento Online sintesi ed esercizi guidati Unità 6 Applicazioni della proporzionalità Problemi del tre semplice 40 Problemi del tre semplice diretto 40 Problemi del tre semplice inverso 4 Problemi del tre composto 4 Applicazioni della regola pratica 4 4 Ripartizione semplice 46 Ripartizione semplice diretta 4 Ripartizione semplice inversa 4 Ripartizione composta 4 Ripartizione composta diretta 4 Ripartizione composta inversa 4 Ripartizione composta mista 0 Problema di società 6 Percentuale La matematica finanziaria Interesse Calcolo dell interesse 6 Mappa di riepilogo 8 ESERCIZI 60 Scheda di verifica 8 Scheda di recupero 80 Scheda di potenziamento 8 Online sintesi ed esercizi guidati Statistica e probabilità Unità Statistica e rappresentazione grafica dei dati La statistica 84 Rilevamento dei dati 8 Frequenze 86 4 Tassi percentuali 8 Elaborazione dei dati 88 6 Indicatori statistici 88 Media aritmetica 88 Media aritmetica ponderata 88 Mediana o dato centrale 8 Moda o dato più frequente 0 IV

5 INDICE Rappresentazione grafica dei dati 0 Diagrammi a righe Istogrammi Areogrammi 4 Ideogrammi 4 Diagrammi cartesiani 6 8 Interpretazione dei dati o ricerca delle cause. I dati e le previsioni 6 Un po di storia Cenni sull origine e sull evoluzione della statistica Mappa di riepilogo 8 ESERCIZI 00 Scheda di verifica 4 Scheda di recupero 8 Scheda di potenziamento 0 Online sintesi ed esercizi guidati Unità 8 Probabilità di un evento Avvenimenti casuali o eventi aleatori Introduzione allo studio della probabilità Probabilità di un evento aleatorio 4 Valori della probabilità Evento contrario di un dato evento aleatorio 6 6 Eventi aleatori incompatibili e compatibili Eventi aleatori totali e loro probabilità 8 Grafi ad albero e applicazioni Applicazioni della probabilità alla genetica Determinazione del sesso 4 Gli ibridi 4 Il daltonismo Un po di storia Le origini del calcolo delle probabilità Mappa di riepilogo 6 ESERCIZI 8 Scheda di verifica 4 Scheda di recupero 4 Scheda di potenziamento 48 Online sintesi ed esercizi guidati Glossario Soluzioni agli esercizi di verifica e di potenziamento V

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7 Unità Dalle frazioni ai numeri reali TEMA Il numero UNITÀ Frazioni e numeri decimali UNITÀ Estrazione di radice Numeri decimali, frazioni e radici quadrate fanno parte della nostra vita quotidiana.

8 UNITÀ Frazioni e numeri decimali PREREQUISITI OBIETTIVI Concetti di frazione e di numero razionale Capacità di operare con le frazioni Conoscenze Acquisire il concetto di numero decimale limitato e di numero decimale illimitato Riconoscere i numeri decimali limitati, illimitati e periodici e le frazioni corrispondenti Competenze Trasformare una frazione in un numero decimale Costruire la frazione generatrice di un numero decimale Eseguire operazioni ed espressioni con i numeri decimali I numeri razionali Ogni frazione rappresenta il quoziente esatto fra il numeratore e il denominatore. Quando il numeratore è multiplo del denominatore, siamo in presenza di una frazione apparente e il quoziente sarà un numero naturale La divisione non è però un operazione interna all insieme dei numeri naturali e il quoziente esatto fra numeratore e denominatore di una frazione qualsiasi è, come sappiamo, elemento dell insieme dei numeri razionali Q, di cui l insieme dei numeri naturali è sottoinsieme. I numeri decimali che sono quozienti fra due numeri naturali appartengono quindi all insieme dei numeri razionali e sono rappresentabili tramite frazioni. Dalle frazioni ai numeri decimali Come abbiamo detto, ogni frazione rappresenta il quoziente fra il numeratore e il denominatore. Eseguendo la divisione si presenta sempre uno dei tre casi seguenti. I quozienti sono numeri naturali perché le frazioni sono apparenti.. I quozienti sono numeri decimali limitati perché hanno un numero limitato e cioè finito di cifre decimali. 0,6 4 4, 4. I quozienti sono numeri decimali illimitati perché hanno un numero illimitato e cioè infinito di cifre decimali., ,... Q N

9 Unità Numeri decimali limitati Senza eseguire la divisione è possibile stabilire se una frazione ridotta ai minimi termini si può trasformare in un numero decimale limitato. Frazioni decimali Per comprendere quando una frazione dà origine a un numero decimale limitato consideriamo tutte le frazioni che hanno come denominatore una potenza di. Queste frazioni sono chiamate frazioni decimali. Per esempio, sono frazioni decimali le frazioni 8 4,, 0. Se eseguiamo le divisioni fra numeratore e denominatore, otteniamo rispettivamente 8, , 4. 0, 4 0. I quozienti sono tutti numeri decimali limitati. Possiamo quindi affermare che Una frazione decimale si può sempre trasformare in un numero decimale limitato. Frazioni ordinarie Le frazioni il cui denominatore è un numero diverso da una potenza di si dicono frazioni ordinarie. Per comprendere quando una frazione ordinaria dà origine a un numero decimale limitato, consideriamo le seguenti frazioni ordinarie irriducibili 4,, 0 8 Se eseguiamo le divisioni, notiamo che i quozienti sono tutti numeri decimali limitati. 0 0, , 4 0, Scomponiamo i denominatori delle frazioni in fattori primi 0 # 8 Possiamo notare che le scomposizioni contengono solo i fattori e o solo uno di essi. Dal momento che le scomposizioni in fattori primi non contengono altri fattori, possiamo moltiplicare denominatore e numeratore per uno stesso numero in modo da trasformare queste frazioni in frazioni decimali. Possiamo perciò eseguire le seguenti trasformazioni # , # ( # ) # # ( # ) 0 # # 0, # ( # ). 4 4# 4# , # ( # ) 0

10 Frazioni e numeri decimali Vale quindi la seguente regola Una frazione ordinaria irriducibile si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene soltanto i fattori e o solo uno di essi. Esercizi p. 4 4 Numeri decimali illimitati Quando una frazione non può essere trasformata in una frazione decimale equivalente, il numero decimale da essa generato è illimitato. Numeri decimali periodici semplici Consideriamo le seguenti frazioni irriducibili e trasformiamole in numeri decimali. 40 0,... 40,666..., ,... Esaminando i quozienti rileviamo che sono tutti numeri decimali illimitati e che subito dopo la virgola vi è una cifra o un gruppo di cifre che si ripete illimitatamente. La cifra o il gruppo di cifre che precede la virgola si chiama parte intera. Questi numeri si dicono numeri decimali periodici semplici; la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si dice periodo e per indicarlo si pone un trattino su di esso.,6 parte intera,6 periodo Quindi scriviamo 40 0, 6, 6, 0, Scomponiamo in fattori primi il denominatore di ciascuna frazione # Osserviamo che le scomposizioni in fattori primi dei denominatori contengono fattori diversi da e da e non è quindi possibile trovare una frazione decimale equivalente alle frazioni date; in tutte le scomposizioni non compaiono i fattori e. Ricaviamo la seguente regola Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo fattori primi diversi da e da. 4

11 Unità Numeri Parte intera Periodo 0, 0,6 6,6 6 0, 0 Numeri decimali periodici misti Consideriamo le seguenti frazioni irriducibili e trasformiamole in numeri decimali , , ,8... 0, Esaminando i quozienti rileviamo che sono tutti numeri decimali illimitati e che fra la virgola e il periodo c è una cifra o un gruppo di cifre che non si ripete, che si chiama antiperiodo. Questi numeri si dicono numeri decimali periodici misti. periodo 4,6666 4,6 parte intera antiperiodo Possiamo scri vere 8 46, 0, 8 86, 0, 8 6 Scomponiamo in fattori primi il denominatore di ciascuna frazione 6 # # # # # Osserviamo che compaiono i fattori primi e unitamente ad altri fattori. Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i fattori primi e (entrambi o uno solo di essi) unitamente ad altri fattori. Numeri Parte intera Antiperiodo Periodo 4, ,8 0 8, , 8 0 8

12 Frazioni e numeri decimali I seguenti prospetti riassumono le considerazioni formulate. NUMERI RAZIONALI FRAZIONI APPARENTI Numeri naturali FRAZIONI NON APPARENTI Numeri decimali limitati illimitati periodici semplici periodici misti Fattori del denominatore della frazione ordinaria irriducibile Tipo di numero decimale e o o DECIMALE LIMITATO fattori diversi da e da DECIMALE PERIODICO SEMPLICE e o o e qualche altro fattore DECIMALE PERIODICO MISTO Controlla se hai capito Fra le seguenti frazioni, indica quelle che si possono trasformare in un numero decimale limitato, in un numero periodico semplice o in un numero periodico misto Frazione Numero decimale limitato Numero periodico semplice Numero periodico misto V 4 8 6

13 Unità Dai numeri decimali alle frazioni Abbiamo imparato a riconoscere le frazioni e a trasformarle in numeri decimali; ci occupiamo ora del problema inverso. Vogliamo cioè trovare la frazione da cui il numero decimale ha avuto origine, che si dice frazione generatrice del numero decimale. Frazione generatrice di un numero decimale limitato Prendiamo per esempio il numero decimale limitato,. Possiamo scriverlo come, + # + # + # Possiamo quindi concludere che La frazione generatrice di un numer o decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero naturale ottenuto sopprimendo la virgola nel numero dato e per denominatore la cifra seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero considerato. ESEMPI 6, 06, 0, Frazione generatrice di un numero periodico semplice Le regole per ottenere la frazione generatrice di un numero periodico sono laboriose e la loro dimostrazione richiede concetti che ancora non abbiamo affrontato. Con l aiuto di un esempio chi intende approfondire l argomento può comprendere il meccanismo attraverso il quale si giunge a definire la regola di trasformazione dal numero periodico alla sua frazione generatrice. Supponiamo di dover trovare la frazione generatrice del numero periodico semplice,. Procediamo nel modo seguente, separando la parte intera dal periodo, + 0, Osserviamo che 0, # 0, e otteniamo, + # 0, Eseguendo la divisione fra il numeratore e il denominatore della frazione 0,e la nostra uguaglianza diventa, otteniamo, + # Se il periodo fosse stato composto di due cifre avremmo notato come 0,0, 0,00 e così via. Possiamo affermare quindi che Il denominatore della frazione generatrice sarà composto da tanti quante sono le cifre del periodo.

14 Frazioni e numeri decimali Per trovare il numeratore della frazione generatrice possiamo utilizzare le regole delle operazioni con le frazioni e ottenere # +, + # Prima di eseguire i calcoli utilizziamo un piccolo artificio matematico che ci permette di trovare la regola generale. Consideriamo che - e scriviamo # ( - ) +, Utilizziamo ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e otteniamo # - + -, Quindi otteniamo che Il numeratore della frazione generatrice è il risultato della differenza fra il numero ottenuto scrivendo la parte intera seguita dal periodo e la parte intera. Nel nostro caso -, Vale la seguente regola generale La frazione generatrice di un numer o decimale periodico semplice ha per numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo la parte intera seguita dal periodo (cioè sopprimendo la virgola) diminuito della parte intera e per denominatore il numero naturale formato da tanti quante sono le cifre del periodo. ESEMPI 0 0, , - - -,, , 0, Frazione generatrice di un numero periodico misto Supponiamo di dover trasformare nella sua frazione generatrice il numero decimale periodico misto 8,. Osserviamo che moltiplicando per una potenza di dieci con esponente uguale al numero delle cifre dell antiperiodo otteniamo un numero periodico semplice, 8 # 0 8, Di conseguenza, considerando che la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione otteniamo,8 8, 0 8, # 0

15 Unità Il numero 8, è un numero periodico semplice di cui siamo già in grado di calcolare la frazione generatrice. 8-8, 8 8, # # , 00 Ricaviamo quindi la seguente regola La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha per numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo la parte intera seguita dall antiperiodo e dal periodo (sopprimendo cioè la virgola), diminuito del numero naturale formato dalla parte intera seguita dall antiperiodo e per denominatore il numero naturale formato da tanti quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. ESEMPI -, , , , Controlla se hai capito. Calcola la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici semplici Numero periodico Frazione Numero periodico Frazione,, 0 0,8 4,0. Calcola la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici misti Numero periodico Frazione Numero periodico Frazione 6, 0, 0 0, 400, 6 Operazioni con numeri decimali Per eseguire le operazioni con numeri decimali possiamo seguire uno dei seguenti metodi. Eseguire le operazioni con numeri decimali secondo le regole note.. Trasformare i numeri nelle corrispondenti frazioni generatrici, eseguire i calcoli e trasformare poi il risultato (frazione) in numero decimale. Operazioni con i numeri decimali limitati. Se i numeri decimali sono tutti limitati, è indifferente seguire un metodo oppure l altro.

16 Frazioni e numeri decimali Per esempio.,6 +, + 0,8 metodo metodo, 600, 0, 8 8, + +., - 6,8, 00 6, 8 4,8.,8 #,4, 8 4, 8 0 8,8 - # 6. 8, 6 +, + 0, , , - 6, , # 4, 8 #, 4 # 0 # , , 6, , 6, # 0 6 4, , ,, #, #,,., 4, 4, 4. b l. Operazioni con numeri decimali periodici. Per eseguire operazioni con i numeri periodici occorre calcolare la loro frazione generatrice ed eseguire le operazioni con le frazioni per poi trasformare il risultato nel corrispondente numero intero o decimale. Per esempio - 4., +, , 0 0

17 Unità , -, - - -, , # 6, # # 8, , 6, # 06, , b - l b l b l, 6 Esercizi p.

18 DALLE FRAZIONI AI NUMERI REALI MAPPA DI RIEPILOGO Frazioni e numeri decimali Il quoziente fra il numeratore e il denominatore di una frazione può dare origine a numeri decimali. Se il denominatore di una frazione irriducibile scomposto in fattori primi contiene solo potenze di, di o di entrambi, la frazione sarà generatrice di numeri decimali limitati. Numeri decimali limitati hanno un numero finito di cifre dopo la virgola. Esempi a. 08, infatti # b. 0, 6 8 infatti 8 Se il denominatore di una frazione irriducibile scomposto in fattori primi contiene potenze diverse da o da, la frazione sarà generatrice di numeri periodici. Numeri periodici hanno un gruppo di cifre dopo la virgola che si ripete all infinito (periodo). Esempio Parte intera Antiperiodo Periodo 8 8 0, 4 0, 4... infatti 8 # # Se la scomposizione sizione in fattori primi del denominatore NON contiene potenze di o di, sono Numeri periodici semplici (il periodo viene subito dopo la virgola). Se la scomposizione sizione in fattori primi del denominatore contiene ANCHE potenze di o di, sono Numeri periodici i misti (tra la virgola e il periodo c è una cifra o un gruppo di cifre che non si ripete, ovvero l antiperiodo).

19 Unità La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha Numeratore il numero naturale ottenuto sopprimendo la virgola nel numero dato. Denominatore la cifra seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero considerato. Esempi a., b., 0 La frazione generatrice di un numero periodico semplice è la frazione che ha Numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo la parte intera seguita dal periodo (cioè sopprimendo la virgola) diminuito della parte intera. Denominatore e iln numero naturale formato da tanti quante sono le cifre del periodo. La frazione generatrice di un numero periodico misto è la frazione che ha Numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo la parte intera seguita dall antiperiodo e dal periodo (cioè sopprimendo la virgola) diminuito del numero formato dalla parte intera seguita dall antiperiodo. Denominatore e il numero naturale formato da tanti quante sono le cifre del periodo e da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. a. b. Esempi 0 0, - -, a. b. Esempi -, 0 6-6,

20 ESERCIZI Frazioni decimali e numeri decimali parr. --, p. Conoscenze Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa a. Un numero razionale ha sempre un numero finito di cifre dopo la virgola. b. I numeri naturali sono numeri razionali. c. I numeri periodici hanno un numero finito di cifre dopo la virgola. d. Il quoziente fra due numeri naturali può dare origine a un numero periodico. Spiega il significato di frazione decimale e scrivi cinque frazioni decimali. Spiega il significato di frazione ordinaria e scrivi cinque frazioni ordinarie. 4 Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa a. è una frazione decimale. 0 b. 8 è una frazione decimale. c. Ogni frazione decimale si può trasformare in numero decimale. d. Ogni numero decimale si può trasformare in frazione ordinaria. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa a. Una frazione decimale si può trasformare in un numero decimale limitato. b. Una frazione ordinaria si può sempre trasformare in una frazione decimale a essa equivalente. c. Se il denominatore di una frazione ordinaria irriducibile è multiplo di, la frazione si può trasformare in un numero decimale limitato. d. Dato un numero decimale limitato non è sempre possibile trasformarlo in una frazione decimale. Competenze Fra ciascuna delle seguenti coppie di numeri sostituisci al simbolo il segno oppure!. 6 0,; 0,00; 0,; 0,; 0, ,0; 0,;,; 0,; 0, ,0; 0,; 0,0;,4;, , 0,0; 0, ;, ;,6 ;, Riconosci quali fra le seguenti frazioni sono decimali e quali sono ordinarie. 8 8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6... Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni decimali ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

21 Unità ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Scrivi sotto forma di frazioni decimali i seguenti numeri decimali. 8 0,; 0,6; 0,;,4; 0,06;,0;,0; 0,6 0,;,; 0,4;,6; 0,; 0,00;,8; 8,0 0 0,06;,4; 0,00;,6;,; 8,4;,6; 0,,0; 0,00; 8,8; 0,; 4,; 0,6;,4; 6,0 0,; 0,0; 8,; 0,8; 6,8; 0,00; 6,8; 8,0 Scrivi sotto forma di numeri decimali e poi sotto forma di frazioni decimali. a. 6 decimi; 4 millesimi; unità e decimi; 4 centomillesimi b. centesimi; decimillesimi; e 4 centesimi; unità e millesimi c. 8 millesimi; 8 milionesimi; 8 e millesimi; 6 milionesimi 4 a. 6 unità e centesimi; decimi e 4 centesimi; centesimi b. decimi e millesimi; decimo e 0 centesimi; decimi c. 4 decimi e 0 centesimi; 6 centesimi e 0 millesimi; unità e 0 centesimi Esercizio svolto Scrivi due numeri decimali compresi fra, e,,,,, 6 Scrivi due numeri decimali compresi fra a. 8, e 8,6 b., e, c., e,8 Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali,8;,0;,08;,;,;,04;, [,08,...] 8 Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri decimali,6; 4,8;,8;,8;,4;,6;, [,6,8...] Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali 4,;,8;,4; 6,8;,; 8,;,0 0 Rappresenta su una semiretta r di origine O, avente come unità di misura un segmento lungo cm, i seguenti numeri decimali 0,; 0,; 0,; 0,;,;,;,;,6

22 Frazioni e numeri decimali Completa le seguenti tabelle Divisione Numero decimale Frazione decimale Divisione Numero decimale Frazione decimale 0 0, , , ,6. Esegui le seguenti operazioni, scegliendo se operare sui numeri decimali o se trasformarli in frazioni decimali. 0,00 +,08;,6 + 4, + 0,04;,6 +,06 +, ,06-0,006;,4-0,8;,8-6,4; 4, -,;, - 0,6 0,6 # 0,8;, #,; 0,08 # 4,; 0,00 #,4;, # 0,0 6, # 0,;, # 6,8; 4,4 # 8,; 6,8 # 4,;,4 # 0,,4 0,8;, 0,4;,,6;,68 6,4; 8, 0,6 8 0, ;, ; 0, ;, ; 0,00 ;, ;, ; 0,0 Stabilisci quali delle seguenti frazioni si possono trasformare in numeri decimali limitati ed esegui, quando è possibile, tale trasformazione ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Esegui le seguenti operazioni dopo aver applicato le proprietà delle potenze. 4 0, # 0, ;, #,; 0,4 # 0,4; 0, # 0, ;, #,, #, 44,6,6 ; (, ) ; 8, 8, ; (, ) ; 0, 8 0, ;,, 4 4, #, ; 0, 0, ; (0, ) ;, #, ;,, ;,, Calcola il valore delle seguenti espressioni. 46 (, + 4, +,) #,4-8, [6,] 4 (,4 +,) # - (, -,) # 4 [,] 48,44 -,6 # (,4 #, -, #,) [] 4 (6 + # 0,) - [( -, #,) - ( -,4 #,8)] [] 0 [0, +, ( - 0,)] (, -, # 4) - 0,6 6 D

23 Unità ( -, #,) - [4, #, -, # (4, - 0,8 # 4,)] [,00] [(,,,, ) # , 6] -b -0, l # 6, 4 D 4 ( -0, -0, -0, ) - D # 06, + b + 6 l D 0 4 [( #, -,8) - 0,6 # 0,] (,6 #, -, # 0,) [] 0, ( -,) + [0,8-0, # (,4,4) (, +,,) - 0,064] # [,4] 6 08, + 0, + 0, + D 60 ( 4-0, 8) # 6 ( - 0, ) # 0, + 0, -04, # - [] ( 06, + 0, )(, -8, ) - + [ 0, + ( 04, -0, )] 0, 8 +, # 0, - (, - 0, ) ( + 0, ) [] , ( -04, ) - # ( 0, + 0, # ), 0, ( 0, ) , & 4, - b- l D [( 0, + 0, ) + 0, ] 0 0, 0 b - +, l, # 40 D [] Numeri decimali periodici e loro frazioni generatrici parr. 4--6, p. 4 Conoscenze 6 Segna la risposta esatta in ciascuno dei seguenti casi se il denominatore, scomposto in fattori primi, di una frazione irriducibile, contiene i fattori a. o dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto b. e dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto c. e dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto d. e dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto e. e dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto f. e dà origine a un numero decimale limitato periodico semplice periodico misto 6 Indica se ciascuna delle seguenti scritture è vera o falsa a.,,... 0,0 0,0... b.,,... 0, 0,0 c., 44, 4,,... d. 0, 0,... 8, 8,...

24 Frazioni e numeri decimali 6 Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa a. Esiste sempre la frazione generatrice di un numero decimale. b. La frazione è la generatrice di un numero decimale periodico misto. c. La frazione è la generatrice di un numero decimale periodico semplice. d. Una frazione apparente si può trasformare in un numero decimale limitato. e. Il numeratore della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice, avente la parte intera uguale a zero, è uguale al periodo del numero stesso. 64 Completa la seguente tabella Numero decimale periodico 8,, 4 06,, 6, 0, 46, 08 Parte intera Antiperiodo Periodo Competenze Stabilisci, senza effettuare la divisione, a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni (se numero decimale limitato o decimale periodico semplice o misto) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Determina i numeri decimali periodici generati dalle seguenti frazioni, riconoscendo, prima di eseguire la divisione, se il numero ottenuto sarà periodico semplice o periodico misto ; ; ; [ 04, ; 04646, ;, ; 08, ] 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; [ 06, ; 06, ; 08, ;, ] [ 0, ;, 6; 0, 4;, 48] [0,6; 0,6;, 4; 0, 68] [ 0, ; 0, ;, 08;, 6] [ 0, 8;, 46;, ; 0, ] [, ;, 46; 0, 6;, 06] [ 48, ;, ; 048, ; 08, ] 8

25 Unità Determina le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali periodici. ;, 4;, 8;, 6, 8 4 ; ; ; D 8 ;, ;, ;, 04, ; ; ; D 4 84;, 48;, 6;, 46, ; ; ; D ;, 0;, 008;,, 8 ; ; ; D 4 8 ;, 04;, 8;, 4, 8 4 ; ; ; D 8 6;, 8;, 6;, 46, 6 64 ; ; ; D ;, 08;, 6;, 86, 6 4 ; ; ; D 0 8 Spiega perché ciascuna delle seguenti frazioni, i cui termini sono scomposti in fattori primi, si può trasformare in numero decimale limitato; esegui quindi tale trasformazione. 84 Esercizio svolto Spiega perché la seguente frazione, i cui termini sono scomposti in fattori primi, si può trasformare in numero decimale limitato; esegui quindi tale trasformazione # # # # # # # # # Il denominatore della frazione scomposto in fattori primi è... b, 0l # 4# 0 8 # # # # ; ; # # # # # # # ; # # # # # # 4 # # # 86 # # ; # # # # # # # # # # # # ; 4 ; # # # # # # # Spiega perché ciascuna delle seguenti frazioni, i cui termini sono scomposti in fattori primi, si può trasformare in numero decimale periodico semplice; esegui quindi tale trasformazione. # # # # # # 8 ; ; ; # # # # # 88 # ; # # # # # # # # # ; ; # # # # Spiega perché ciascuna delle seguenti frazioni, i cui termini sono scomposti in fattori primi, si può trasformare in numero decimale periodico misto; esegui quindi tale trasformazione. # # # # # # 8 ; ; ; # # # # # 0 # # # # # # ; ; ; # # # # # # # # # # #

26 Frazioni e numeri decimali Verifica le seguenti uguaglianze 0 a. 0, ;, ;, ;, 4;, 6; 0, 0, b. 0, 0, ;,, ; 0, 06, ;, 4, ; 4, ;, 6, 68 Spiega perché i seguenti numeri decimali non sono periodici 0,0...; 0, ; 0, Determina, inoltre, la legge di formazione di ciascuno di tali numeri. In ciascuna delle seguenti frazioni sostituisci al simbolo un numero opportuno, in modo che la frazione si possa trasformare in un numero naturale ; ; ; ; 0 ; 4 ; ; 40 4 In ciascuna delle seguenti frazioni sostituisci al simbolo un numero opportuno, in modo che la frazione si possa trasformare in un numero decimale limitato ; ; ; 44 ; 6 ; 4 ; ; In ciascuna delle seguenti frazioni sostituisci al simbolo un numero opportuno, in modo che la frazione si possa trasformare in un numero decimale periodico semplice ; 4 ; 4 ; 8 ; ; 4 ; 0 ; 66 6 In ciascuna delle seguenti frazioni sostituisci al simbolo un numero opportuno, in modo che la frazione si possa trasformare in un numero decimale periodico misto ; ; ; 4 ; 6 ; 4 ; 0 ; 0 Individua qual è il maggiore dei seguenti numeri decimali, e, [Il primo] 8 Calcola la differenza fra il maggiore e il minore dei seguenti numeri decimali 6, e 6, 00, D 8 Individua il maggiore e il minore dei seguenti numeri decimali,; ;,, 0 Individua il maggiore e il minore dei seguenti numeri decimali 0;, 0;, 0, Fra ciascuna delle seguenti coppie di numeri decimali sostituisci al simbolo l opportuno segno oppure. 0,4 0, 4;,, ; 6,0 6, ;,, 0, 0, ; 0, 6 0,66; 4, 4,4; 6, 6, 8 Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali periodici ;, ;, ;, ;, ;,, 4 Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri decimali periodici 060;, 060;, 0600;, 060;, 060;, 060,

27 Unità Segna la risposta esatta in ciascuno dei seguenti casi a. l approssimazione per difetto a meno di 0,0 del numero 0, è 0, 0,00 0,0 b. l approssimazione per eccesso a meno di 0,00 del numero 4, è,44,4,44 c. l approssimazione per difetto a meno di 0,0 del numero, è,,, Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali e calcolane i valori approssimati per difetto e per eccesso, a meno di una unità, a meno di 0,, a meno di 0,0 e a meno di 0,00. 6 Esercizio svolto Trasforma la seguente frazione in numeri decimali e calcolane i valori approssimati per difetto e per eccesso, a meno di una unità, a meno di 0,, a meno di 0,0 e a meno di 0,00,..., A meno di una unità A meno di 0, A meno di 0,0 A meno di 0,00 per difetto,,, per eccesso,,4,4 4 8 ; ; ; ; 0 ; ; ; ; ; ; ; 8 4 ; ; ; 8 ; ; ; ; ; ; ; 6 Esegui le seguenti operazioni con numeri decimali periodici. 0, + 4, 6, D 06, +, 6 8, D, + 4, 6, D 0 0, + 4, + 04, 40 44, D 0 4, + 6, + 46, 0, 68D 6, - 4, 8, D 6 6, -, 0, D, - 4,, D 8, - 06, + 4, - 0, 6 66, D 8, # 6, 4, D 68, # 4,. 46, D, 40, 4, D, 4, [],86 0,06 [4] 4 0, 0, , D 6, ;, 64 4, ; 4, D 6 066,. 60 0, 4400D 0.,, 6 44, D 8 ( 04, - 84, ) 6, 4D

28 Frazioni e numeri decimali Calcola il valore delle seguenti espressioni con numeri decimali. ( Per calcolare il valore delle espressioni contenenti numeri decimali, sostituisci a ciascun numero la corrispondente frazione generatrice ed esegui le operazioni su queste frazioni, trasformando il risultato nuovamente in numero decimale o eventualmente naturale.) (, +, +, ) # 06, [4] ( 0, , 6-0, ) #, 0, D 0,8-0, # [, - (0,8, 6+ 0,)] # ( - 0,) + 0, # 0, 0, D 8 [ - ( -0,6)( -0,)][ - (0, 6, )] -, [0] {[( 6, + # 004, ) # ( -0, -, ) + 06, ]( +, # 006, )} #, [] 4 {(, 6+ ) # ( + 0, 6) - [(, 6+,) -,]} {[0, # ( + 0, 6) + 6,] 0,+ 4} [0] [(0, +,) # (0,46+ 0,0) ( +,)] [(0,8-0,) # (0, + 0,8) (0, 6+ 0,8)] # (0,64 0,8) [] 8, - 0,, 08-0, 6, # c- m + 086, # b- l, D 0, ( 04, + 8, ) # 8, 068, 0, + 6, + 0, 0, + 06,, -, (, +, ) # (, -, ), + 0, -046,, - 8, 6, # 0, 0, + 0, + ( 0, + 0, ) -08,, - 6, 0, 6-0, 46 ( 0, + 0, -0, ) #. ( 0, + 0, 6-0, 4) # 0, 486, D [6] [] 0, D [] [] [6] (0,+ ) 0, -0, 4 44 ( -0, 4) 0,6 -, 6, D 4 ( 046, + 0, ) - ( 0, + 008, + 0, ) < F, D (, + 06, ) # ( 06, -0, ), 6-, + ( + 0,46 0,) [0, + (0, 6#,), ] 46 0, # [, # ( + 0, ) +, - ( 4+ 06, ) ] 0, D 4 [ 04, # 46, + 0, # ( 6, - 0, ) + 06, ] #, # { 08, - [, - ( 008, + 0, )] -006, } [] (0, ,),6 + 0, ( 6, 0, ) 0, (0,6 0,46) # - # - (, -, 6) 04, # 46, []

29 Unità Traduci ciascuna delle seguenti frasi in espressione aritmetica e calcolane il valore. 4 Dividi la somma di, e di 0, per 0., [] 0 Sottrai da, la frazione e moltiplica la differenza ottenuta per la somma di 0, e 06., 4 08, D 8 Dividi la somma di 04, e di 006, per la differenza fra 08, e 0., 46, D Sottrai 0, dalla somma di, e 0.,, D Moltiplica per 0, la somma di 06, e 0, e dividi per il risultato ottenuto. 0, D 4 Dividi la somma di 0, e 08, per. 0, D 6 Moltiplica la somma di 0, e 04, per la somma di e. 0, D Dividi la somma di 0, e 06, per la differenza fra 08, e 0., [] Dividi la somma di 0, e 0, per e addiziona 0., 4, D 4

30 Frazioni e numeri decimali VERIFICA Esegui i seguenti esercizi e valuta la tua preparazione in base al punteggio riportato. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa a. Un numero decimale limitato può essere sempre trasformato in frazione. b. Un numero periodico semplice ha un numero finito di cifre dopo la virgola. c. Un numero periodico misto ha un numero infinito di cifre dopo la virgola. d. Non esistono frazioni generatrici di numeri periodici misti. e. Se il denominatore di una frazione irriducibile può essere espresso come prodotto solo di potenze di e di, allora la frazione è generatrice di un numero decimale limitato. f. Se la scomposizione in fattori primi del denominatore di una frazione irriducibile contiene potenze di numeri diversi da e da, allora la frazione è generatrice di un numero periodico. g. Moltiplicando un numero periodico misto per una potenza di, è sempre possibile ottenere un numero periodico semplice. ( punto per ogni risposta corretta) Punti.../ Per ciascuna delle seguenti frazioni indica se si tratta della frazione generatrice di un numero decimale limitato, di un numero periodico semplice o di un numero periodico misto Frazione generatrice Numero decimale Frazione generatrice Numero decimale ( punto per ogni risposta corretta) Punti.../ Trasforma i seguenti numeri decimali limitati in frazioni decimali e, se possibile, riducile ai minimi termini Numero decimale Frazione decimale Frazione ridotta ai minimi termini Numero decimale, 6,008 0,04 0,0 Frazione decimale Frazione ridotta ai minimi termini ( punto per ogni risposta corretta) Punti.../8 4 Trasforma i seguenti numeri periodici, semplici e misti, in frazioni e, se possibile, riducile ai minimi termini Numero decimale Frazione generatrice Frazione ridotta ai minimi termini Numero decimale Frazione generatrice Frazione ridotta ai minimi termini 0,,, 00, ( punto per ogni risposta corretta) Punti.../8 4

31 Unità Esegui le seguenti operazioni fra numeri decimali limitati, scegliendo se svolgerli direttamente o trasformare prima i numeri decimali in frazioni. Il risultato può essere scritto come numero decimale o frazione irriducibile. a. 0,6 + 0,6... b., 0,0... c. 0,0 #,0... d.,4 -,4... ( punti per ogni risposta corretta) Punti.../8 6 Esegui le seguenti operazioni fra numeri periodici e decimali limitati a. 0, + 0, b. 0, - 6, c., #... d. 00, 0,... ( punti per ogni risposta corretta) Punti.../8 Risolvi la seguente espressione [ + 0, 8#, -, +, # ( 0, 8+, )] # 0, (4 punti se la risposta è corretta, un errore di distrazione punti) Punti.../4 Confronta le tue risposte con quelle riportate in fondo al volume e attribuisci a ciascuna risposta il punteggio corrispondente. Calcola il punteggio che hai conseguito e confrontalo con i valori a fondo pagina. Se il tuo punteggio non è soddisfacente, esegui gli esercizi della scheda Recupero. Altrimenti, puoi metterti alla prova con la scheda Potenziamento. Le soluzioni sono a pagina Valutazione Punteggio totale.../

32 Frazioni e numeri decimali RECUPERO Se non hai superato con successo la verifica, esegui i seguenti esercizi. Completa le seguenti definizioni utilizzando le parole riportate qui sotto Irriducibile Finito Fattori e Decimale Frazioni e numeri decimali limitati sono spiegati nei paragrafi e. a. I numeri decimali limitati hanno un numero... di cifre decimali. b. Una frazione... si può trasformare in un numero decimale limitato. c. Una frazione ordinaria... si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene soltanto i... o solo uno di essi. Una frazione decimale è A Una frazione che ha per numeratore un numero decimale. B Una frazione impropria. C Una frazione che ha per denominatore una potenza di. D Una frazione che ha per numeratore una potenza di. Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni decimali Per risolvere questo esercizio è importante studiare attentamente il paragrafo. 4 Completa il seguente testo sottolineando il termine corretto fra quelli proposti a. Un numero decimale che ha infinite cifre dopo la virgola è detto numero decimale limitato/illimitato. b. Un numero decimale illimitato in cui le cifre dopo la virgola si ripetono è detto periodico/antiperiodico. c. L insieme di cifre che si ripetono in un numero periodico è detto antiperiodo/ periodo. d. Un numero decimale in cui il periodo si ripete subito dopo la virgola è detto periodico semplice/periodico misto. Completa la seguente tabella Numeri Parte intera Periodo Che cosa si intende per numero periodico è spiegato nel paragrafo 4. Una tabella molto simile si trova nel paragrafo 4. 0, 4, 00, 6 Completa la seguente tabella Numeri Parte intera Antiperiodo Periodo Una tabella molto simile si trova nel paragrafo 4., 0, 04,, 6

33 Unità Scomponi in fattori primi il denominatore delle seguenti frazioni ordinarie irriducibili e stabilisci se danno origine a un numero decimale limitato, un numero periodico semplice o un numero periodico misto Frazione 6 Denominatore scomposto in fattori primi 6 # 4 Decimale limitato Periodico semplice Periodico misto Le regole per stabilire se una frazione dà origine a un numero decimale limitato oppure a un numero periodico le trovi riassunte nello schema del paragrafo 4 della teoria. In questo esercizio le frazioni sono già ridotte ai minimi termini. 8 Trasforma i seguenti numeri decimali limitati in una frazione decimale 0,...,4...,0... 0, ,00... Come trasformare i numeri decimali limitati in frazioni decimali è spiegato nel paragrafo. Trasforma i seguenti numeri periodici semplici nelle corrispondenti frazioni generatrici , 08, ,, Trasforma i seguenti numeri periodici misti nelle corrispondenti frazioni generatrici , 00, ,, Esegui i seguenti calcoli trasformando i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici per poter eseguire i calcoli 0, + 0,48 4, - 08, 0, # 0, 0, 0, Per risolvere questo esercizio segui attentamente gli esempi a pagina 8. Per risolvere questo esercizio segui attentamente gli esempi a pagina. Come eseguire i calcoli con i numeri decimali è spiegato con esempi alla pagina.

34 Frazioni e numeri decimali POTENZIAMENTO Se hai superato con successo la verifica, puoi eseguire i seguenti esercizi. Possibile o impossibile Utilizzando il ragionamento e cercando qualche esempio che possa aiutarti, stabilisci se è possibile che a. La somma di due numeri periodici, semplici o misti, dia come risultato un numero decimale limitato. Esempi Possibile Impossibile b. Il prodotto di due numeri periodici semplici dia un numero decimale limitato. Possibile Impossibile Esempi c. Un numero periodico, elevato al quadrato oppure al cubo, dia come risultato un numero decimale limitato. Possibile Impossibile Esempi d. Il quoziente fra due numeri periodici sia un numero decimale limitato. Possibile Impossibile Esempi 8

35 Unità Tra qualche secondo saranno esattamente le,8! Uno studente di matematica veniva spesso preso in giro per il suo orologio da polso che era un po appariscente, così decise di replicare per le rime a tutti coloro che, per burlarsi di lui, gli chiedevano l ora annunciava l ora esatta utilizzando i numeri decimali. Così, per esempio, quando erano le quattro meno un quarto del pomeriggio, egli annunciava con vigore «Sono le,, non un secondo di più!» Posiziona in modo corretto le lancette sugli orologi in corrispondenza dell ora indicata. Ancora un pezzettino! A una festa sono presenti invitati compreso il festeggiato. La torta, per semplicità, viene divisa in parti uguali, fette vengono distribuite e ne rimane una sul tavolo. Dopo dieci minuti gli invitati affermano di avere ancora appetito, così dividono la fetta rimasta in dieci parti, ne prendono nove e lasciano sul tavolo un decimo della fetta. Dieci minuti dopo si ripete la stessa situazione e gli invitati si dividono nello stesso modo la torta rimasta e ne lasciano un pezzettino. Quanto tempo impiegheranno per mangiare tutta la torta? Completa la seguente tabella Tempo (minuti) Boccone di torta che spetta a ciascuno Torta fino a ora mangiata da ciascuno Torta mangiata complessivamente 0 0, 0, # 0, # 0,0 + 0, # b + l 0, È corretto affermare che a ciascuno spetta un numero periodico di torta? Le soluzioni sono a pagina