RENDITE. Ricerca del tasso di una rendita

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1 RENDITE Ricerca del tasso di una rendita Un problema che si presenta spesso nelle applicazioni è quello di calcolare il tasso di interesse associato a una rendita quando siano note le altre grandezze 1 e cioè l ammontare delle rate, la durata e il valore attuale (o il montante) della rendita stessa. Se ci riferiamo per comodità al caso della definizione fondamentale del valore attuale di una rendita posticipata, dalla condizione si trova immediatamente V 0 = R a n i, a n i = V 0 R, (1) dove il rapporto V 0 /R è una grandezza nota. Ci si può perciò ricondurre al caso della definizione fondamentale del valore attuale di una rendita unitaria posticipata a n i = (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) n ; (2) si tratta di risolvere tale equazione rispetto ad i, noto il valore di a n i. 1 Il problema della ricerca del tasso di interesse associato ad una rendita appare per la prima volta nel 1556 nel Trattato Generale di Nicolò Fontana, matematico italiano meglio noto con il nome di Tartaglia. In tale opera si riporta il seguente quesito che fu realmente proposto a Tartaglia nella città di Bari: un mercante consegnò ducati con l accordo di esser completamente ripagato con la restituzione di 618 ducati alla fine di ogni anno per 9 anni. A quale tasso di interesse composto il mercante ha impiegato il suo denaro? La risposta corretta offerta da Tartaglia deve esser stata trovata con un metodo del tipo sbaglia e prova; a quell epoca, infatti, non erano stati ancora inventati i logaritmi (Nepero 1614) e non erano state pubblicate le prime tavole finanziarie (Trenchant 1582). 1

2 2 Appunti di matematica finanziaria Tale equazione può essere riscritta come equazione di grado n in v = (1 + i) 1 a n i = v + v v n. (3) Se le radici del polinomio si possono determinare algebricamente, allora il tasso i può essere calcolato analiticamente. Tale metodo, ovviamente, è praticabile solo per piccoli valori di n. Negli altri casi il tasso i può essere individuato con notevole precisione ricorrendo a un algoritmo numerico di ricerca delle radici di un equazione non lineare. Gli algoritmi di questo tipo si basano su una procedura di tipo iterativo che, data una stima iniziale della radice cercata, consente di ottenere delle approssimazioni via via migliori. Si deve sottolineare che una scelta oculata della stima iniziale del tasso della rendita consente di ridurre il numero di iterazioni necessarie per ottenere, mediante una procedura iterativa, una stima accurata del tasso i cercato. A tal proposito si possono interpolare i valori riportati nei prontuari per i calcoli finanziari oppure si può utilizzare la seguente approssimazione basata sulla sola conoscenza di a n i e di n i 0 = 2 (n a n i) a n i (n + 1). (4) Per migliorare la stima della radice cercata, può risultare utile la proprietà d a n i d i = d [ (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) n] = d i = (1 + i) 2 2(1 + i) 3... n(1 + i) n 1 < 0, (5) che evidenzia come il valore attuale attuale di una rendita sia funzione decrescente del tasso di attualizzazione; si veda a tale proposito la figura 1. Esempio 3.1 L acquisto di un automobile può essere effettuato mediante il finanziamento parziale di euro che vengono restituiti con 24 versamenti mensili posticipati, ciascuno di 500 euro. Si richiede di trovare il tasso di costo del finanziamento. Dopo aver osservato che a 24 i12 = /500 = 20, un approssimazione del tasso di costo mensile è calcolabile con la formula (4) i 0 12 = 2(n a n i 12 ) a n i12 (n + 1) = 2(24 20) = = 0.016;

3 Rendite V0/R i* i Figura 1: Andamento del valore attuale di una rendita unitaria a rata posticipata al variare del tasso di interesse. a tale valore corrisponde un tasso annuo del %. Tale approssimazione può essere considerata come il punto iniziale i 0 di un metodo iterativo. Possiamo a tale scopo sfruttare la proprietà (5). Poiché a 24 i il tasso di costo cercato è minore di i 0. Scelto i 1 = si ha a 24 i ; poiché in corrispondenza di i 1 si ha un valore di a 24 i1 appena superiore a 20, una scelta ragionevole per il valore successivo del tasso può essere i 2 = ; per tale tasso si ha a 24 i Il procedimento è illustrato nella figura 2. Con qualche altra iterazione si trova che il tasso cercato è , che corrisponde a un tasso del % su base annua. Si noti che per tale esempio la stima iniziale fornita dall equazione (4) su base annua differisce dal tasso cercato per più di un punto percentuale. La procedura iterativa applicata nell esempio 3.1 può essere più o meno efficiente, a seconda di come viene scelta la successione di punti i 0, i 1,.... Esistono diversi algoritmi iterativi che cercano di definire tale successione di punti in modo da ottenere una rapida convergenza. Uno dei metodi più noti e utilizzati a tale scopo, considerato tra i più efficienti in quanto spesso presenta una convergenza molto veloce alla radice i cercata, è il metodo di Newton.

4 4 Appunti di matematica finanziaria f(i) V0/R i2 i i* i0 Figura 2: Esempio di ricerca del tasso di interesse di una rendita mediante una procedura iterativa. Il metodo di Newton per la ricerca delle radici di un equazione f(x) = 0 (6) richiede che la funzione f sia derivabile rispetto alla variabile x e si basa su approssimazioni successive di f mediante rette. Più precisamente, si richiede la scelta di un punto iniziale x 0 ; la funzione f viene quindi approssimata tramite la retta tangente al grafico della funzione nel punto (x 0, f(x 0 )) y(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (7) e si ricerca la soluzione dell equazione y(x) = 0. Nell ipotesi che f (x 0 ) 0, tale soluzione è data dal punto x 1 definito come segue x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). (8) Si osservi che quando f (x 0 ) = 0 la retta tangente è parallela all asse delle ascisse e quindi l equazione y(x) = 0 o è verificata per ogni x o non lo è mai per nessun valore di x.

5 Rendite i i1 0.1 i* f(i) Tangente in (i0,f(i0)) Tangente in (i1,f(i1)) Figura 3: Esempio di ricerca del tasso di interesse di una rendita mediante il metodo di Newton. Il metodo di Newton prevede di scegliere come punto successivo ad x 0 il valore x 1 definito nella (8). In generale, dato il punto x k, con k = 0, 1,..., il punto x k+1 viene definito come x k+1 = x k f(x k) f (x k ). (9) In molti casi il metodo di Newton converge rapidamente alla radice cercata, ma richiede particolare attenzione in quanto la convergenza non è sempre garantita. Esempio 3.2 Si consideri la rendita che prevede il pagamento di 30 rate annuali posticipate di euro ciascuna e si supponga che venga proposta la cessione della rendita in cambio del valore attuale di V 0 = euro. Si calcoli il tasso tecnico della rendita. Tale tasso tecnico è la soluzione i dell equazione f(i) = 0 dove f è la funzione f(i) = R a n i V 0. (10) Se scegliamo come punto iniziale i 0 = 0.04, utilizzando il metodo di Newton

6 6 Appunti di matematica finanziaria troviamo i 1 = i 0 f(i 0) f(0.04) = 0.04 = 0.04 f (i 0 ) f (0.04) = Il procedimento iterativo è rappresentato graficamente nella figura. Il valore di f nel punto i 1 è f(i 1 ) = e pertanto i 1 non approssima in maniera adeguata la radice i cercata. Reiterando il metodo di Newton si ottiene il punto i 2 i 2 = i 1 f(i 1) f (i 1 ) f( ) = = f ( ) = Procedendo con una nuova iterazione si ottiene il punto i 3 i 3 = i 2 f(i 2) f (i 2 ) f( ) = = f ( ) = , che fornisce già un ottima approssimazione della radice cercata, uguale a i = Ricerca del numero di rate Un altro problema di natura pratica connesso con l operazione di rendita è quello di ricercare il numero massimo di prelievi di uguale importo P che si possono effettuare prima di esaurire un deposito iniziale S, investito all inizio del primo periodo al tasso di interesse i. Se si suppone che i prelievi avvengano alla fine di ciascun periodo deve essere rispettata la limitazione S P a n i, (11) cioè Con alcuni passaggi si ottiene S P 1 (1 + i) n. (12) i S i 1 (1 + i) n P (1 + i) n 1 S P i

7 Rendite 7 e quindi si ha n log(1 + i) log (1 SP ) i n log (1 S P i) log (1 + i). (13) In numero massimo di prelievi n che è possibile effettuare è pertanto n = log (1 S i) P, (14) log (1 + i) dove x indica la parte intera del numero reale x, cioè il più grande intero minore o uguale di x. Si osservi che, salvo casi particolari, dopo aver effettuato l ultimo prelievo rimarrà a disposizione una certa somma di denaro che rappresenta la differenza fra il montante della somma depositata e il montante dei prelievi. Si osservi, inoltre, che se P S i (15) il deposito non si esaurirà mai; in tal caso, infatti, il prelievo è non superiore all interesse maturato e pertanto l ammontare del deposito non scende mai al di sotto del capitale inizialmente versato. La situazione è rappresentata nella figura 4. Esempio 3.3 Un investitore deposita presso una società finanziaria euro accordandosi per un tasso annuo del 15% e convenendo che un suo familiare, per far fronte a un certo tipo di spese, possa ritirare alla fine di ciascun anno euro. Ci si chiede dopo quanti anni il deposito si esaurisce. Inoltre si vuole trovare qual è l importo massimo che si può prelevare ogni anno in modo da garantire un numero illimitato di prelievi di uguale ammontare. Sostituendo i valori nella precedente relazione (14) si ha n log 0.46 = = = 5. log 1.15 Pertanto possono essere effettuati 5 prelievi annui. Dopo l ultimo prelievo il deposito non si esaurisce, ma rimane a disposizione l importo S (1 + i) n P s n i =

8 8 Appunti di matematica finanziaria S t Figura 4: Andamento nel tempo del montante di un deposito di importo S con prelievo periodico di ammontare Si. Per quanto concerne il massimo importo costante che permette di effettuare un numero illimitato di prelievi, questo risulta uguale a Si = euro. A volte sorge il problema di ricercare il numero minimo di versamenti di importo costante R da effettuare per costituire un prefissato montante finale M ; si pensi ad esempio al problema di costituire un capitale necessario per l acquisto di un abitazione. Indichiamo con i il tasso di interesse periodale corrisposto sul deposito in cui i versamenti vengono fatti confluire e con n il numero di versamenti. Supponiamo inoltre che i versamenti siano posticipati. La condizione da soddisfare è Con alcuni passaggi si trova R s n i M. (16) (1 + i) n 1 i M R (17) (1 + i) n M R i + 1 (18)

9 Rendite 9 e quindi si ha n log ( M R i + 1) log(1 + i). (19) Il numero minimo di versamenti n che consente di accumulare un importo non inferiore a M è quindi ( log M n R = i + 1), (20) log(1 + i) dove x indica in più piccolo intero maggiore o uguale di x.