ESPONENZIALE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

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1 ESPONENZIALE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI Prerequisiti: Obiettivi: Piano cartesiano funzione esponenziale e rappresentazione sul piano cartesiano concetto di limite definizione di derivata differenziale logaritmi e scala logaritmica valutazione dell errore capire il significato del rapporto incrementale trovare, in laboratorio, la funzione f : " # " che coincide con la sua funzione derivata, cioè risolvere l equazione differenziale f " = f. Descrizione sintetica dell attività Il lavoro viene proposto agli alunni di una classe 5 impianti ed apparati marittimi dell Istituto Nautico. E un lavoro curriculare da svolgere in parte in classe, in parte in laboratorio di informatica per un tempo totale di 2 ore, comprendente anche la verifica finale per valutare il raggiungimento degli obiettivi fissati. Scopo primario è quello di rendere più chiaro il concetto di rapporto incrementale e di introdurre le equazioni differenziali in modo più

2 coinvolgente per gli studenti che si sentono chiamati a costruire una soluzione invece cha ad apprendere un procedimento risolutivo. Si rivede l uso della scala logaritmica usata dagli studenti nelle materie tecniche. Si fa una valutazione dell errore, procedimento tipico delle materie di indirizzo. Prima fase L insegnante riprende il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale. L insegnante propone di individuare una funzione f : " # " che in ogni punto del suo dominio sia uguale alla sua derivata prima, cioè f ( x + h)! f ( x) risolvere l equazione lim = f ( x). h" h Si attribuisce ad h un valore finito (piccolo a piacere) tramite il quale si ottiene un espressione approssimata per l equazione differenziale; successivamente si attribuiscono ad h valori sempre più piccoli ottenendo così, di volta in volta, espressioni sempre più precise. Seconda fase Si osserva che, noto il valore della funzione in x, è possibile determinarlo in x + h. Infatti prescindendo dal limite si ha: f ( x + h)! h f ( x) = f ( x) da cui f (x + h) = (h +1) f (x). La procedura necessita di una condizione iniziale. Si sceglie di fissare f () =1, dare ad h incrementi successivi di,1 e calcolare i valori corrispondenti assunti da f (x) ad ogni incremento di h. Successivamente si svolgono alcune lezioni in laboratorio in cui gli studenti, usando Excel, costruiscono una tabella che riporta i valori di x

3 e i corrispondenti valori di f (x). Questi sono ottenuti a partire dal valore x = a cui corrisponde f (x) =1, e assegnando ad x i valori ottenuti con successivi incrementi di h =,1. Si può quindi disegnare il grafico delle coppie di valori trovati. Terza fase Si cerca di individuare graficamente quale sia la forma della funzione che meglio approssima la serie di punti della tabella. Si considera la funzione y = f (x) = a x entrambi i membri, si ha: e applichiamo il logaritmo a Y = Log(y) = Log(a x ) = xlog(a). Questa è l equazione di una retta di coefficiente angolare m = Log(a), sul piano (x,y), cioè una retta in scala logaritmica. Si osserva che se una serie di punti in un piano (x, y) sono descrivibili da un esponenziale allora i valori (x,log(y)) sono disposti su una retta di coefficiente angolare m. In laboratorio si aggiunge una terza colonna con i valori dei logaritmi dei valori calcolati di f (x) e se ne fa la rappresentazione cartesiana. Il grafico è evidentemente una retta di cui si può calcolare il coefficiente angolare. A tal fine si consideri ad esempio la riga 21 del foglio Excel visibile successivamente: x f (x) Log( f (x)),2 1,2219,86427,86427 m = =, quindi a =1 m =1, " 2,7.,2 Si costruiscono altre tabelle con valori sempre più piccoli di h che a! e, il numero di Nepero. e si osserva Si inserisce parte del foglio Excel prodotto da un alunno secondo le precedenti indicazioni. Si allega il lavoro in Excel.

4 1,1 1,1,4321,2 1,21,8643,3 1,331,12964,4 1,464,17285,5 1,511,2167,6 1,6152,25928,7 1,72135,325,8 1,82857,34571,9 1,93685,38892,1 1,14622,43214,11 1,115668,47535,12 1,126825,51856,13 1,13893,56178,14 1,149474,6499,15 1,16969,64821,16 1,172579,69142,17 1,18434,73463,18 1,196147,77785,19 1,2819,8216,2 1,2219,86427,21 1,232392,9749,22 1,244716,957,23 1,257163,99392,24 1,269735,13713,25 1,282432,1834,26 1,295256,112356,27 1,3829,116677,28 1,321291,12998,29 1,33454,12532,3 1,347849,129641,31 1,361327,133963,32 1,374941,138284,33 1,38869,14265,34 1,42577,146927,35 1,41663,151248,36 1,43769,155569,37 1,44576,159891,38 1,459527,164212,39 1,474123,168534,4 1,488864,172855,41 1,53752,177176,42 1,51879,181498,43 1,533978,185819,44 1,549318,1914,45 1,564811,194462,46 1,58459,198783,47 1,596263,2315,48 1,612226,27426,49 1,628348,211747,5 1,644632,21669,51 1,66178,2239,52 1,677689,224711,53 1,694466,22933,54 1,71141,233354,55 1,728525,237676,56 1,74581,241997,57 1,763268,246318,58 1,7891,2564,59 1,79871,254961,6 1,816697, Log(f(x)) f(x) ,9,8,7,6,5,4,3,2,1 grafico dei valori,5 1 1,5 2 2,5 x Grafico del logaritmo dei valori,5 1 1,5 2 2,5 x grafico dei valori Serie1

5 Quarta fase L insegnante propone di determinare il valore esatto del parametro a con tecniche formali. Si riscrive l equazione di partenza nella forma lim( f ( x + h)! (1 + h) f ( x)) =. h" Fino ad ora si sa che la soluzione è una funzione esponenziale del tipo y = a x di cui si vuole determinare a. Nell equazione precedente si sostituisce f (x) con a x e si ha: da cui [ ] = a x lim[ ] = lim h " a (x +h ) # (1+ h)a x ( + ) = h lima! lim 1 h h " h ". h " a h # (1+ h) Estraendo la radice h-esima si ottiene: 1 & 1 # a = lim 1 $ +! h( k ('% k " ( + h) h = lim 1 = e = 2, k Quindi abbiamo ottenuto che la soluzione è la funzione f (x) = e x. L insegnante chiede agli allievi di fare il grafico della soluzione esatta e confrontarlo con il grafico approssimato. Gli studenti dal confronto delle due curve notano che esse si discostano all aumentare di x e capiscono che ciò dipende dal fatto che gli errori commessi ad ogni passo si accumulano. Quinta fase L insegnante propone di valutare l errore. Al primo passo x = e f () =1 l errore è uguale alla differenza fra il valore esatto della funzione e +h e il valore approssimato calcolabile f ( + h) = f ()(1+ h). Segue che: E(1) = e +h " f ( + h) = e h " f ()(1+ h) = e h " (1+ h). Per h =,1 si ha E(1) = 5 "1 #5. Al passo n-esimo la variabile indipendente assume il valore x = nh e

6 la soluzione esatta vale e +nh = e nh, quella approssimata è f ( + nh) = f ( + (n "1)h)(1+ h) =... = f ()(1+ h) n. L errore n-esimo è quindi: E(n) = e nh " (1+ h) n. Ad esempio per n =1, l errore è E(1) =,13.