Calcolo Numerico per Ingegneria. Corso estivo di Bressanone. Prof. L. Bergamaschi SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA del

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1 Calcolo Numerico per Ingegneria. Corso estivo di Bressanone. Prof. L. Bergamaschi SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA del Data l equazione x x = (a) Mostrare che essa ammette una e una sola soluzione ξ nell intervallo [, 2]. (b) Si dica quale dei due metodi di punto fisso: x k+ = x k, x k+ = + x k converge a ξ per ogni scelta del punto x [, 2]. Giustificare la risposta. (c) A partire dal punto iniziale x =. si calcolino 4 approssimazioni di ξ con il metodo di Newton-Raphson. Stimare la costante asintotica M e l errore alla quarta iterazione. (d) Considerando ora x = 2, si dica se il metodo della tangente fissa converge e, in caso affermativo, se tale metodo converge più o meno velocemente del metodo di punto fisso convergente del punto (b). Per rispondere ai quesiti del punto (d) non si eseguano iterazioni, ma si giustifichino le risposte. (a) Esistenza ed unicità in I = [, 2]. Essendo f continua ed avendosi f() = <, f(2) = 8 2 = > ; si ha che esiste un unica soluzione ξ nell intervallo dato. L unicità si dimostra osservando che f (x) = x 2 > è verificata per ogni x > e quindi in tutto l intervallo. Pertanto in I f è crescente. La soluzione è unica. (a) g (x) = x. Occorre vedere se g (x) <, per ogni x I. g (x) = x 2. Essendo g (x) positiva e crescente in I, il suo valore minimo è g () =. Dunque g (x) >, x I, pertanto questo metodo di punto fisso non puó convergere. g 2 (x) = + x, g 2(x) = ( + x) 2/. La funzione g 2 (x) è positiva e descrescente. Il suo valore massimo è dunque g 2 (2) = = <. Dunque g 2 (x) <, x I e quindi il metodo converge per ogni scelta di x.

2 (c) Ricordiamo il metodo di Newton: x k+ = x k f(x k) f (x k ). Abbiamo f(x) = x x, f (x) = x 2. Le iterazioni (e gli scarti) sono k x k s k Stima della costante asintotica M s 4 s 2 =.92. Stima dell errore: ε 4 Mε 2 Ms Il metodo della tangente fissa converge solo se la sua costante asintotica è minore di. Dunque M T F = f (ξ) f (x ) f (x 4 ) f (x ).62 < Il metodo converge. (d) Per confrontare tale metodo con il metodo di punto fisso g 2 (x) dobbiamo confrontare le costanti asintotiche. M P F g 2(x 4 ) Dalla diseguaglianza M P F < M T F si deduce che il metodo di punto fisso converge piú rapidamente. Non richiesto. Dai precedenti risultati segue che, per avere ε k ε < 2 occorrono k > k > 2 log M P F = log M T F = 6.9 k = 7 iterazioni, per il punto fisso; k = 7 iterazioni, per la tangente fissa; 2. Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b dove b = [, 6, 24] T, e della matrice A si conosce il fattore triangolare inferiore di Cholesky 2 M = 2. 2 (a) Usando la fattorizzazione di Cholesky, si risolva il sistema. (b) A partire da M si ricavi A. (c) Si dica perché il metodo di Gauss-Seidel converge alla soluzione di tale sistema. 2

3 (d) Si calcoli il raggio spettrale della matrice di iterazione del metodo di Jacobi. (e) A partire dal vettore iniziale x () = (,, ) T, si eseguano tre iterazioni con il metodo di Gauss Seidel. Usando la norma infinito degli errori, stimare il raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel. Commentare il valore ottenuto in relazione al risultato del punto (d). (a) Risolviamo I due sistemi triangolari My = b, y = ; y 2 = 8, y = 8 M T x = y, x = 4; x 2 = 2, x =. La soluzione è dunque x = 2. 4 (b) A = LL T = 2 2 = (c) A è ovviamente definite positiva perché esiste la sua fattorizzazione di Cholesky. Quindi Seidel converge (A è anche diagonalmente dominante in senso stretto). (d) Ricaviamo innanzitutto la matrice di iterazione del metodo di Jacobi: /2 E J = D (L + U) = 2/ 2/ 2/ Per calcolane gli autovalori determiniamo il polinomio caratteristico: λ /2 ( P (E J ) = det 2/ λ 2/ = λ λ 2 9 ). 2 2/ λ Lo spettro di E J : σ(e J ) = {, ± }; il raggio spettrale è dunque ρ(e) =. (e) Le generica iterazione si Gauss-Seidel si può scrivere come x (k+) = ( ) + x (k) 2 = x(k) 2 x (k+) 2 = ( ) 6 + x (k+) 2x (k) x (k+) = ( ) 24 2x (k) 2 Pertanto le iterazioni saranno: x () =, x () =.2, x (2) = , x () = ,.97792

4 Usando la soluzione vera precedentemente calcolata possiamo avere immediatamente. e () =.26, e (2) =.6, da cui ρ(e S ).26.6 =.6 = ρ(e J) 2, in perfetto accordo con il teorema di Young-Varga dato che A è tridiagonale.. Dato l integrale I = x 4.2 dx (a) Determinare il numero di suddivisioni n (numero di applicazioni della formula) in cui suddividere l intervallo [, ] in modo da ottenere un valore approssimato dell integrale mediante la formula di Cavalieri Simpson composta con un errore inferiore a 2 4. (b) Una volta calcolato il valore vero dell integrale, si calcoli l errore E S = I I S, commentando il risultato ottenuto. (c) Si approssimi l integrale impiegando la formula di Cavalieri Simpson composta con il valore di n appena calcolato e cifre decimali. Chiamare I S tale approssimazione. (a) Scriviamo la formula dell errore in valore assoluto dove M = max [,] f (4) (x). E n = (b a) f (4) (ξ) 288 n 4 = f (4) (ξ) 288 n 4 M 288 n 4 Calcolando la derivata quarta della funzione f si ha: f (x) = 4.2x.2, f (x) =.44x 2.2, f (x) = 29.68x.2, f 4 (x) =.482x.2 ; f 4 è positiva e crescente in [, ], quindi M = max f 4 (x) = max f 4 (x) = f 4 () =.482. Dunque E n n 4 Richiediamo che n 4 < 2 4 da cui n 4 > = 6.64 n > 2.8. Dovendo essere n intero: n = (b) Usiamo la formula di Cavalieri Simpson Composta con n = intervalli: L ampiezza di ogni intervallo è dunque h = b a n [, ] [,, 2 ] [ ] 2,,. = e i rispettivi punti medi sono c = + = 2 6, c 2 = 2, e c =. Applichiamo la formula di quadratura di Cavalieri Simpson in 6 ogni intervallo per ottenere l approssimazione con la formula composta: I S = (f() + 4f(/6) + f(/) + f(/) + 4f(/2) + f(2/) + f(2/) + 4f(/6) + f()) = 6 (f() + 4f(/6) + 2f(/) + 4f(/2) + 2f(2/) + 4f(/6) + f()) =

5 (c) Una primitiva della funzione integranda è F (x) = x.2 e quindi il valore vero dell integrale si.2 ottiene come: I = x.2.2 = Errore vero : E = I I S =.28 4 che è inferiore a 2 4 come richiesto.