APPUNTI DI MODELLI NUMERICI PER I CAMPI

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Adolfo Mori
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1 APPUNTI DI MODELLI NUMERICI PER I CAMPI Giovanni Miano UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II POLO DELLE SCIENZE E DELLE TECNOLOGIE FACOLTÀ DI INGEGNERIA

3 Indice 1. Richiami sui problemi di campo 1.1 Equazioni algebriche lineari 1.2 Equazioni algebriche nonlineari 1.3 Equazioni differenziali a derivate ordinarie 1.4 Equazioni differenziali a derivate parziali 1.5 Equazioni integrali 1.6 Problemi ben posti 1.7 Equazione di diffusione Problema della diffusione del calore Equazione di diffusione scalare Unicità della soluzione 1.8 Equazione di Poisson Un problema di elettrostatica in un dominio limitato Unicità della soluzione Integrale di Coloumb Formulazione variazionale dell equazione di Poisson 1.9 Formulazioni differenziali di problemi di elettromagnetismo Equazione delle onde vettoriale Equazione di Helmholtz vettoriale Unicità della soluzione Propagazione nello spazio vuoto 1.10 Formulazioni integrali di problemi di elettromagnetismo Un problema di elettrostatica Un problema di scattering elettromagnetico 2. Differenze finite 2.1 Differenze finite: problemi monodimensionali Problema di Dirichlet Il problema dell errore Relazione tra l operatore!d 2 / dx 2 e la matrice L N Problema di Neumann 2.2 Differenze finite: problemi bidimensionali Formulazione del problema Costruzione della matrice L N 2.3 Equazione di Poisson non lineare 2.4 Equazione di Helmholtz 2.9 Equazione di diffusione lineare 2.10 Equazione di propagazione lineare 2.11 Equazione di diffusione non lineare 2.12 Equazione di propagazione non lineare

4 3. Metodo di galerkin-elementi finiti 3.1 Formulazione debole e metodo dei residui pesati Formulazione debole dell equazione di Poisson monodimensionale Formulazione debole dell equazione di Poisson in 3D 3.2 Metodo di Galerkin Problema di Dirichlet Problema di Neumann Analisi del metodo di Galerkin 3.3 Metodo degli elementi finiti Problemi monodimensionali Problemi bidimensionali Analisi del metodo di Galerkin 3.4 Equazione di Poisson non lineare 3.5 Equazione di Helmholtz 3.6 Equazione di diffusione lineare 3.7 Equazione di propagazione lineare 3.8 Equazione di diffusione non lineare 3.9 Equazione di propagazione non lineare 3.10 Altri metodi di soluzione 3.11 Equazioni integrali di Fredholm 4. Equazioni algebriche lineari 4.1 Esistenza e unicità della soluzione 4.2 Regola di Cramer 4.3 Sistemi triangolari 4.4 Il metodo della fattorizzazione di Gauss Esistenza della fattorizzazione LU Matrice di permutazione 4.5 Errori di arrotondamento 4.6 Matrici sparse, matrici bandate 4.7 Il problema del condizionamento e della stabilità numerica Condizionamento di un sistema lineare Proprietà del numero di condizionament Analisi dell errore 4.8 Metodi iterativi Metodo di Jacobi Metodo di Gauss-Seidel Analisi dell errore Metodi di rilassamento 4.9 Il problema della convergenza Criterio di convergenza Metodo di Jacobi Metodo di Gauss-Seidel Velocità di convergenza Stima dell errore

5 4.10 Metodi del gradiente La funzione energia I metodi di discesa Il metodo del gradiente Il metodo del gradiente coniugato 4.11 Il metodo del gradiente coniugato Coniugazione Coniugazione di Gram-Schmidt Metodo del gradiente coniugato 5. Equazioni algebriche non lineari 5.1 Equazioni scalari Metodo della bisezione Metodo di Newton Raphson Metodo di Picard 5.2 Proprietà di convergenza Metodo della bisezione Metodo di Picard Metodo di Nnewton Raphson 5.3 Sistemi di equazioni algebriche non lineari Metodo di Picard Metodo di Newton Raphson 5.4 Proprietà di convergenza Metodo di Picard Metodo di Newton Raphson 6. Equazioni differenziali a derivate ordinarie 6.1 Equazioni differenziali del primo ordine Esistenza e unicità della soluzione Stabilità delle soluzioni Criteri di stabilità 6.2 Metodi alle differenze finite Metodo di Eulero esplicito Metodo di Eulero implicito Metodo di Crank-Nicolson Considerazioni finali 6.3 Errore globale e stabilità numerica Comportamento dell errore globale Stabilità numerica 6.4 Sistemi di equazioni differenziali lineari Metodo di Eulero esplicito Metodo di Eulero implicito Metodo di Crank-Nicolson 6.5 Sistemi di equazioni differenziali non lineari Strabilità delle soluzioni Stabilità numerica

6 7. Interpolazione e integrazione 7.1 Interpolazione Interpolazione polinomiale Interpolazione mediante splines 7.2 Integrazione numerica monodimensionale Formula dei rettangoli Formula del punto medio Formula dei trapezi Formula di Simpson Formula di Gauss 7.3 Cenni sull integrazione numerica in più dimensioni A1. Appendice 1: Matrici 1.1 Definizioni e concetti preliminari 1.2 Proprietà spettrali delle matrici Segno della parte reale degli autovalori di una matrice Autovalori reali e ortogonalità degli autovettori Diagonalizzazione 1.3 Decomposizione a valori singolari (SVD) A2. Appendice 2: Norma di vettori e matrici 2.1 Norma di un vettore 2.2 Norma di una matrice A3. Appendice 3: Problema di Dirichlet per l equazione di Poisson 2D e soluzione col metodo degli elementi finiti mediante MatLab Problemi

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