Problemi Termici nelle Strutture. Introduzione agli Elementi Finiti

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Alessandra Visconti
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1 Problemi Termici nelle Strutture Introduzione agli Elementi Finiti

2 INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI Gli elementi finiti nascono per risolvere problemi nell ambito dell ingegneria delle strutture. Tale tecnica è oggi ampiamente utilizzata anche in altri campi dell ingegneria per analizzare complessi problemi riguardanti: Termo-elasticità Fluidodinamica Interazione Fluido-Struttura Bio-ingegneria

3 INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI Problema fisico i PRE-PROCESS Generazione della geometria Definizione proprietà del materiale Creazione della MESH Imposizione i dei vincoli Applicazione dei carichi PROCESS Risoluzione numerica del problema POST-PROCESS Visualizzazione grafica dei risultati ottenuti

4 INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI Queste 3 fasi possono essere incluse all interno dll dello stesso pacchetto htt software come nel caso di ADINA o in software distinti come nel caso di PATRAN/NASTRAN

5 ADINA

6 ADINA

7 STEP 1 [CREAZIONE della GEOMETRIA] CREAZIONE GEOMETRIA Più punti definiscono 1 linea Più linee definiscono 1 superficie Più superfici definiscono 1 volume

8 STEP 2 [TIPOLOGIA MATERIALE]

9 STEP 3 [IMPOSIZIONE dei VINCOLI] Definizione della tipologia del vincolo e applicazione sugli enti geometrici creati Condizioni al Contorno B.C. Condizioni dii iiiili Iniziali I.C.

10 STEP 4 [IMPOSIZIONE dei CARICHI]

11 STEP 5 [SCELTA TIPOLOGIA ELEMENTO]

12 Elemento Conduction 1D 2 Nodi 1 D.O.F per nodo Richiede di specificare la sezione Elemento Conduction 2D Modello Assialsimmetrico: Flusso di calore assialsimmetrico Modello Piano: Flusso di calore nel piano YZ

13 Elemento Conduction 2D 3-9 Nodi 1 D.O.F per nodo Degenerazione da quadrilatero a triangolare Raccomandati 8-9 nodi

14 Elemento Conduction 3D 4-27 Nodi 1 D.O.F per nodo Raccomandati Degenerazione da esaedri a tetraedri

15 STEP 6 [CREAZIONE MESH] Selezione dell ente ente geometrico da discretizzare Proprietà della discretizzazione

16 STEP 7 [TIPOLOGIA di ANALISI] STAZIONARIO TRANSIENTE ANALISI agli AUTOVALORI

17 STEP 8 [SCELTA METODO INTEGRAZIONE TEMPORALE] Eulero indietro α = 1 (implicito) Eulero in avanti (esplicito) α = 0 1 Cran-Nicolson α = (implicito) 2

18 ALPHA-METODO du L equazione da discretizzare nel tempo sia la seguente: M + KU = 0 dt 1 1 MU Δt 1 + αku = MU 1 α KU Δt n+ 1 n+ n n Discretizzata assume l espressione: ( ) Eulero indietro (implicito) α = 1 1 Cran-Nicolson (implicito) α = 2 Eulero in avanti (esplicito) α = 0 Scelta del passo di Integrazione Temporale Introducendo la diffusività termica a = e il numero di Fourier ρc Fo at L Δ t = Fo = a 2 Δ x ( Δ ) 2 Metodo Esplicito Fo Δ 1 4 Δt ( Δx) 4a 2 Metodo Implicito Fo Δ 1 Δt ( Δx) a 2

19 STEP 9 [SCELTA DEL SOLUTORE] PRE-PROCESS PROCESS CONCLUSO

20 TRASFERIMENTO di CALORE: CONDUZIONE Postulato di Fourier T dq = n Equazione di Fourier T T ρc = div grad T + q t { } v è la conducibilità termica W m K rappresenta fisicamente la capacità del materiale di condurre calore In generale la conducibilità è funzione di (x,y,z,t) Ipotizzando il materiale termicamente isotropo e la conducibilità non sia funzione della temperatura T: T 2 T T T T ρc = T + q ρc = t t x y z v q v Il prodotto ρc rappresenta il termine capacitivo, una sorta di inerzia termica che dice quanto il materiale è reattivo ai cambi di temperatura in base alla somministrazione di calore. α = prende il nome di diffusività termica m 2 ρc s

21 TRASFERIMENTO di CALORE: CONDUZIONE Condizioni al contorno essenziali (Dirichlet) Assegno la temperatura ai bordi (esempio) T ( x = 0) = T T ( x = L) = Tˆ Condizioni al contorno naturali (Neumann) Assegno il flusso (esempio) T T x x=0 = q T Condizione Adiabatica (flusso nullo) = 0 x x=0 Condizioni iniziali Assegno il profilo di temperatura su tutto il dominio all istante iniziale t 0 (esempio) T ( x, y, z, t = 0) = f ( x, y, z)

22 PRINCIPIO DELLE TEMPERATURE VIRTUALI PRINCIPIO DELLE TEMPERATURE VIRTUALI ~ ~ ~ ~ + + = i i i S S S V B V T Q ds q dv q dv θ θ θ θ θ ~ ~ ~ ~ = z y x T θ θ θ θ ( ) T dv ρc θ θ & ~ Transitorio z y x x 0 0 ( ) V ρc θdv θ (inerzia termica) = z y & [ ]{ } [ ]{ } { } q c = + θ θ

23 UN SEMPLICE ESEMPIO Equazione di Fourier stazionaria monodimensionale T = 100 C Alluminio Acciaio T = 50 C Equazione di Fourier L = L m Alluminio Acciaio = Alluminio Acciaio W = 247 mk W = 52 mk d 2 T = 0 T=91.30 C 2 dx T x = 0 = 100 C B. C. T ( ) ( x = L) = 50 C B. C. Interfaccia dt dt 1 = 2 dx dx L T = x = T x 2 = L 2 +

24 SBARRETTA completamente COIBENTATA Equazione di Fourier stazionaria monodimensionale Alluminio Acciaio Equazione di Fourier T ρcρ c t Alluminio Acciaio = x T x T x 2 T 2 x= 0 x= L = 0 t B. C. πx L ( x, t = 0 ) = f ( x ) = 100sin I. C. T = = 0 t B. C. T=63.66 C L = L m Alluminio Acciaio = Alluminio Acciaio W = 247 mk W = 52 mk

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