ISTRUZIONI PER LA CONSEGNA DEI FILE MATLAB

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1 Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi - Allievi AEROSPAZIALI Proff. S. Micheletti, S. Perotto A.A. 20/202, Appello 28 Gennaio 203 NOME... COGNOME... MATRICOLA... DOCENTE... AULA... PC... Ver.A I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà punito a termini di legge dal titolare del diritto. ISTRUZIONI PER LA CONSEGNA DEI FILE MATLAB ˆ i file da consegnare sono: un file script che contiene le istruzioni per svolgere tutti gli esercizi. un file per ciascuna function di cui viene richiesta l implementazione. ˆ il nome del file script dovrà essere composto dalle iniziali del nome e cognome e dal numero di matricola: {AB_23456.m} ˆ il nome della function dovrà essere composto dal nome della funzione e dal numero di matricola: {nomefunction_23456.m} ˆ i file vanno caricati nella cartella di consegna dell aula e non nell area pubblica. ˆ il titolo (o nome logico ) da attribuire deve essere il numero di matricola, per tutti i file. Es. 2 3 T M Es T M

2 PRIMA PARTE devono sostenere questa parte:. gli studenti con codice CALCOLO NUMERICO A 2. gli studenti con codice CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI Esercizio -A Si consideri la matrice tridiagonale 00 00: A = π 00 π 00 π 00 π π (M) Si costruisca in Matlab la matrice A e si calcoli il termine noto b R 00 tale per cui la soluzione del sistema lineare Ax = b sia x = [2, 2,..., 2] T. 2. (T+M) Enunciare le condizioni affinché la fattorizzazione LU di una matrice possa essere effettuata senza applicare la tecnica del pivoting e verificarle in particolare per la matrice A. 3. (M) Si implementi in Matlab la function [x,l,u] = soluzionelu 23456(A,b) che implementa l algoritmo di fattorizzazione LU per la matrice A e gli algoritmi di sostituzione in avanti e all indietro per risolvere il sistema lineare Ax = b. La function riceve in input la matrice A ed il vettore termine noto b e restituisce in output la soluzione x e le matrici L e U della fattorizzazione. 4. (T+M) Si risolva il sistema lineare Ax = b con l algoritmo implementato al punto 3. Si calcolino i residui normalizzati e gli errori relativi in norma 2. Il residuo normalizzato risulta essere un buono stimatore dell errore relativo per il sistema considerato? Si commenti il risultato alla luce della teoria. 2

3 Esercizio 2-A Si consideri la funzione f(x) = sin(e x2 ) sin().. (M) Si rappresenti il grafico della funzione sull intervallo [, 2] e si mettano in evidenza gli zeri della funzione. 2. (T+M) Si enuncino le ipotesi necessarie per l applicazione dell algoritmo di bisezione per la ricerca degli zeri e si verifichino tali ipotesi per le radici individuate al punto. Calcolare, se possibile, le radici della funzione f con l algoritmo di bisezione utilizzando la function bisez, con una tolleranza di (M) Per il calcolo delle radici per le quali non sia stato possibile applicare l algoritmo di bisezione, si applichi il metodo di Newton implementato nella function newton, con un massimo numero di iterazioni pari a 00 ed una tolleranza di (T+M) Si enuncino i risultati di convergenza del metodo di Newton. Si risolva nuovamente il punto 3. Utilizzando il metodo di Newton modificato, dopo aver calcolato la molteplicità della radice ricercata. Si confronti il risultato rispetto al risultato ottenuto in 2 alla luce della teoria. 3

4 Esercizio 3-A - (T) Quale formula di quadratura di ottiene partendo da un interpolazione costante a tratti? Se ne forniscano, in particolar modo: ˆ la formula semplice e composita; ˆ l interpretazione geometrica (grafica); ˆ a formula dell errore nel caso semplice e composito. Si enuncino le definizioni di grado di esattezza e ordine di accuratezza, specificandone i valori per la formula in oggetto. Rispetto a tale formula, il metodo dei trapezi risulta più o meno accurato? Motivare la risposta. 4

5 SECONDA PARTE devono sostenere questa parte:. gli studenti con codice INTEGRAZIONE DI CALCOLO NUMERICO E COMPLE- MENTI DI ANALISI 2. gli studenti con codice CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI Esercizio 4-A Si consideri il seguente problema di Cauchy: { y (t) = 2(sin t + cos t)e t y, t (0, π] y(0) = 0, () la cui soluzione esatta è data da y(t) = e t sin 2 t.. (T) Si fornisca la definizione di assoluta stabilità per un generico metodo one-step. Riportare il risultato di stabilità per il metodo di Eulero esplicito considerando il problema modello: { y (t) = λy(t), t (0, ), λ < 0 (2) y(0) = 0 Se ne disegni la corrispondente regione di assoluta stabilità. 2. (M) Si scriva una function in Matlab R che implementa il metodo di Crank-Nicolson per la risoluzione di un generico problema di Cauchy. La firma di tale function dovrà essere: Descrizione degli input: function [u h,t h] = cn 23456(I, y 0,n,f);. ˆ I vettore di due elementi ([t0, T]) rappresentanti l istante iniziale e finale; ˆ y 0 dato iniziale del problema di Cauchy; ˆ f function che descrive il problema di Cauchy dichiarata come anonymous function con due argomenti, f = f(t, y); ˆ n numero di sottointervalli in cui dividere l intervallo temporale, e che assume il valore di default pari a 00. Descrizione degli output: 5

6 ˆ u h soluzione calcolata ˆ t h istanti temporali considerati. 3. (M) Tramite la function implementata al punto 2 risolvere il problema () utilizzando la discretizzazione temporale di default. Rappresentare in un medesimo grafico la soluzione esatta e la soluzione approssimata. 4. (M+T) Si considerino i seguenti passi di discretizzazione temporale n = [ ]; utilizzando la soluzione esatta del problema, valutare l errore commesso in norma infinito. Riportare poi i risultati ottenuti in un grafico in scala logaritmica e discutere l andamento dell errore al variare dell ampiezza del passo di discretizzazione ricavando graficamente l ordine di convergenza. Esercizio 5-A Si consideri il seguente problema di diffusione-reazione: u (x) + p(x)u(x) = f(x), x ( π ) u = 0 ( 2 ) 3 u 2 π = 0 ( π 2, 3 ) 2 π (3) con il termine di reazione p(x) = cos 2 x e forzante f(x) = e x2 [( 3 4x 2 ) cos x + cos 3 x 4x sin x ]. La soluzione esatta del problema (3) è data da u = e x2 cos x.. (M+T) Sia x i = ih, i = 0,..., n + una partizione di nodi equispaziati dell intervallo [a, b] con passo h = (b a)/(n + ). Si introduca una discretizzazione alle differenze finite del secondo ordine per il problema (3). Si ricavi il sistema lineare associato e si costruiscano in Matlab la corrispondente matrice e il termine noto (per generici valori dei dati). 6

7 2. (M) Considerare i seguenti passi di discretizzazione h = [0.05, 0.025, 0.025, , , ] * pi ; avendo definito l errore di discretizzazione spaziale e n = max j=,..n u(x j ) u j, verificare sperimentalmente in un grafico in scala logaritmica l ordine di convergenza (N.B. per la risoluzione del sistema lineare si utilizzi il comando \ di Matlab R ). Esercizio 6-A - (T) Si descriva un algoritmo per l approssimazione dell autovalore dominante di una generica matrice A di dimensione n n. Se ne forniscano in particolare: ˆ l idea di base; ˆ l algoritmo; ˆ le proprietà di convergenza. 7