Metodi a più passi. Esempi

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1 . Esempi Metodo del punto medio y(t n+1 ) = y(t n 1 ) + t n+1 t n 1 f (t, y(t)) dt = y(t n 1 ) + 2hf (t n, y(t n )) + O(h 3 ) u n+1 = u n 1 + 2hf (t n, u n ) Metodo di Simpson y(t n+1 ) = y(t n 1 ) + t n+1 t n 1 f (t, y(t)) dt = y(t n 1 ) + 2h 6 [f (t n 1, y(t n 1 )) + 4f (t n, y(t n )) + f (t n+1, y(t n+1 ))] +O(h 5 ) u n+1 = u n 1 + h 3 [f (t n 1, u n 1 ) + 4f (t n, u n ) + f (t n+1, u(t n+1 ))]

2 Un metodo si dice a q passi (q 1) se u n+1 dipende da u n+1 q ma non da valori di u k per k < n + 1 q. Per innescare un metodo a più passi servono q condizioni iniziali. Poichè il problema di Cauchy ne fornisce una sola, per assegnare le condizioni mancanti si utilizzano metodi espliciti ad un passo di ordine elevato. Un generico metodo a p + 1 passi è della forma u n+1 = a j u n j + h b j f (t n j, u n j ) + hb 1 f (t n+1, u n+1 ) j=0 j=0 Se b 1 0 lo schema è implicito

3 Per un metodo a più passi, l errore di troncamento locale è definito da τ n+1 (h) := 1 y(t n+1 ) a j y(t n j ) h b j f (t n j, y(t n j )) h j=0 j= 1 e l errore di troncamento globale è definito da τ(h) = max p n N τ n(h) Come per i metodi a un passo, un metodo a più passi si dice consistente se τ(h) 0 per h 0

4 Dato il metodo a p + 1 passi u n+1 = a j u n j + h b j f (t n j, u n j ) n = p,..., N 1 j=0 j= 1 u n = w n n = 0,... p consideriamo anche la successione data da z n+1 = a j z n j + h b j f (t n j, z n j ) + δ n+1 n = p,..., N 1 j=0 z n = w n + δ n j= 1 n = 0,... p Il metodo si dice stabile se esiste h 0 > 0 e una costante C > 0 tali che per ogni h (0, h 0 ] se δ n < ɛ per 0 n N. z n u n Cɛ per 0 n N

5 Sia u n+1 = a j u n j + h j=0 un metodo multistep e sia ρ(r) = r p+1 b j f (t n j, u n j ) j= 1 a j r p j. Il metodo multistep soddisfa la condizione delle radici se tutte le radici di ρ(r) sono contenute nel cerchio unità centrato nell origine e le radici che si trovano sul bordo sono radici semplici. Per un metodo multistep consistente la condizione delle radici è equivalente alla stabilità. j=0 Stabilità + consistenza convergenza (se l errore sui dati iniziali tende a zero per h che tende a zero.)

6 I metodi di Adams Sia (Π p f )(t) il polinomio di grado p che interpola la funzione f (t, y(t)) in p + 1 punti. tn+1 y(t n+1 ) = y(t n ) + f (t, y(t)) dt y(t n ) + t n tn+1 t n (Π p f )(t) dt Se i nodi di interpolazione sono t n, t n 1,..., t n p lo schema è esplicito e si ha un metodo di Adams-Bashforth. Se i nodi sono t n+1, t n,..., t n+1 p lo schema è implicito e si ha un metodo di Adams-Moulton.

7 Metodi di Adams-Bashforth Per p = 0 (metodo ad un passo) tn+1 y(t n+1 ) y(t n ) + f (t n, y(t n )) dt t n u n+1 = u n + hf (t n, u n ) Eulero esplicito Per p = 1 (metodo a due passi) (Π 1 f )(t) = f (t n, y(t n )) t t n 1 t t n + f (t n 1, y(t n 1 )) t n t n 1 t n 1 t n u n+1 = u n + h 2 [3f (t n, u n ) f (t n 1, u n 1 )]

8 Metodi di Adams-Moulton Per p = 0 (metodo ad un passo) tn+1 y(t n+1 ) y(t n ) + f (t n+1, y(t n+1 )) dt t n u n+1 = u n + hf (t n+1, u n+1 ) Eulero implicito Per p = 1 (metodo ad un passo) t t n (Π 1 f )(t) = f (t n+1, y(t n+1 )) + f (t n, y(t n )) t t n+1 t n+1 t n t n t n+1 u n+1 = u n + h 2 [f (t n+1, u n+1 ) + f (t n, u n )] Crank-Nicolson Per p = 2 (metodo a due passi) u n+1 = u n + h 12 [5f (t n+1, u n+1 ) + 8f (t n, u n ) f (t n 1, u n 1 )]

9 I metodi di Adams Per i metodi di Adams a q passi ρ(r) = r q r q 1 quindi le radici sono r 0 = 1 e r 1 = 0 con moltiplicità q 1. Sono pertanto metodi stabili. In generale i metodi di Adams-Bashforth a q passi sono consistenti di ordine q e i metodi di Adams-Moulton a q passi di ordine q + 1.

10 I metodi predictor-corrector La risoluzione di un problema di Cauchy non lineare con un metodo implicito richiede la risoluzione di una equazione non lineare. Ad esempi usando il metodo di Crank-Nicolson u n+1 = u n + h 2 [f (t n+1, u n+1 ) + f (t n, u n )] u n+1 = Ψ(u n+1 ) Per risolvere questa equazione si può usare una iterazione di punto fisso della forma u (k+1) n+1 = Ψ(u (k) n+1 ).

11 I metodi predictor-corrector La condizione di convergenza di questo metodo di punto fisso comporta una limitazione sul passo di discretizzazione. Bisogna fornire anche un buon dato iniziale u (0) n+1. Questo può essere fatto usando un metodo multistep esplicito. Per contenere il costo computazionale si itera poi per un numero fissato m di iterazioni. In questo modo il metodo implicito correge il valore di u n+1 predetto dallo schema multistep esplicito. il metodo che si ottiene è detto metodo predictor-corrector.

12 I metodi predictor-corrector. Esempio Predictor u n+1 = u n + h 2 (3f n f n 1 ) Corrector u n+1 = u n + h 12 (5f n+1 + 8f n f n 1 ) f m := f (t m, u m ), f (k) m := f (t m, u (k) m ) (P) u (0) n+1 = u(1) n + h (1) 2 (3f n f (1) n 1 ) (E) f (0) n+1 = f (t n+1, u (0) n+1 ) (C) u (1) n+1 = u(1) n + h (0) (1) 12 (5f n+1 + 8f n f (1) n 1 ) (E) f (1) n+1 = f (t n+1, u (1) n+1 ) Questa procedura viene indicata come procedura PECE.

13 I metodi predictor-corrector. Esempio Se lo schema predictor è di ordine k e lo schema corrector è di ordine k allora il metodo predictor-corrector PECE si comporta come un metodo di ordine min(k, k + 1). In questo esempio il metodo predictor-corrector risulta essere di ordine 3: Adams-Bashforth a due passi predictor di ordine k = 2. Adams-Moulton a due passi corrector di ordine k = 3.

14 I metodi predictor-corrector. Esempio Più economica è la procedura PEC: (P) u (0) n+1 = u(1) n + h (0) 2 (3f n f (0) n 1 ) (E) f (0) n+1 = f (t n+1, u (0) n+1 ) (C) u (1) n+1 = u(1) n + h (0) (0) 12 (5f n+1 + 8f n f (0) n 1 )

15 . Esercizi Verificare che il metodo di Adams-Bashforth u n+1 = u n + h 2 [3f (t n, u n ) f (t n 1, u n 1 )] è consistente di ordine 2. Verificare che lo schema PECE che usa Eulero esplicito come metodo predictor e Crank-Nicolson come metodo corrector è il metodo di Heun. Verificare che il metodo a più passi è convergente. u n+1 = 4 3 u n 1 3 u n 1 + 2h 3 f (t n+1, u n+1 )