A. Quarteroni R. Sacco R Saleri MATEMATICA NUMERICA. Springer

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Gabriela Adamo
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1 A. Quarteroni R. Sacco R Saleri MATEMATICA NUMERICA Springer

2 Prefazione XIII 1. Elementi di analisi delle matrici Spazi vettoriali Matrici y Operazioni su matrici ' Inversa di una matrice Matrici e trasformazioni lineari Operazioni sulle matrici partizionate a blocchi Traccia e determinante.' Rango e nucleo di una matrice Matrici particolari Matrici diagonali a blocchi Matrici trapezoidali e triangolari Matrici a banda Autovalori e autovettori Trasformazioni per similitudine La decomposizione in valori singolari (SVD) Prodotto scalare tra vettori e norme vettoriali Norme matriciali Relazione tra le norme ed il raggio spettrale di una matrice Successioni e serie di matrici Matrici definite positive, a dominanza diagonale e M-matrici Esercizi Stabilità, condizionamento e analisi dell'errore Buona posizione e numero di condizionamento di un problema Stabilità di metodi numerici Le relazioni tra stabilità e convergenza Analisi a priori ed a posteriori 43

3 VI Indice 2.4 Sorgenti di errore nei modelli computazionali Rappresentazione dei numeri II sistema posizionale _ II sistema dei numeri floating-point Distribuzione dei numeri floating-point Aritmetica IEC/IEEE Arrotondamento di un numero reale nella sua rappresentazione di macchina Operazioni di macchina effettuate in virgola mobile Operazioni floating-point fra matrici Test d'accuratezza Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti Analisi di stabilità per sistemi lineari II numero di condizionamento di una matrice Analisi a priori in avanti Analisi a priori all'indietro Analisi a posteriori Risoluzione di sistemi triangolari Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni Analisi degli errori di arrotondamento Calcolo dell'inversa di una matrice triangolare II metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazione LU II MEG interpretato come metodo di fattorizzazione L'effetto degli errori di arrotondamento Aspetti implementativi della fattorizzazione LU Forme compatte di fattorizzazione Altri tipi di fattorizzazione Fattorizzazione LDM T ' Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di Cholesky Matrici rettangolari: fattorizzazione QR Pivoting II calcolo dell'inversa Sistemi a banda Matrici tridiagonali Aspetti computazionali Sistemi a blocchi Fattorizzazione LU a blocchi Inversa di una matrice a blocchi Sistemi tridiagonali a blocchi Matrici sparse L'algoritmo di Cuthill-McKee 102

4 VII Decomposizione in sottostrutture Nested dissection Accuratezza della soluzione generata dal MEG Calcolo approssimato di K 00 (A) Aumento dell'accuratezza Ili Scaling Ili Raffinamento iterativo Sistemi indeterminati Sistemi sovradeterminati Sistemi sottodeterminati Applicazioni Analisi di una struttura iperstatica Regolarizzazione di una griglia di discretizzazione Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi Generalità Costruzione di metodi iterativi lineari I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss- Seidel Risultati di convergenza per il metodo di rilassamento II caso di una matrice a blocchi Forma simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e di SOR Aspetti implementativi Metodi iterativi stazionari e non stazionari Analisi di convergenza per i metodi stazionari Matrici di precondizionamento II metodo del gradiente II metodo del gradiente coniugato II metodo del gradiente coniugato, precondizionato Metodi di tipo gradiente per sistemi non simmetrici Criteri di arresto Un criterio basato sul controllo dell'incremento Un criterio d'arresto basato sul controllo del residuo Applicazioni Analisi di urta.rete elettrica di resistori Studio con differenze finite della flessione di una trave Esercizi 166

5 Vili Indice 5. Approssimazione di autovalori e autovettori Localizzazione geometrica degli autovalori Analisi di stabilità e condizionamento Stime a priori Stime a posteriori II metodo delle potenze Calcolo dell'autovalore di modulo massimo Calcolo dell'autovalore di modulo minimo Aspetti computazionali e di implementazione Metodi basati sulle iterazioni QR II metodo QR II metodo QR per matrici in forma di Hessenberg Matrici di trasformazione di Householder e di Givens Riduzione di una matrice in forma di Hessenberg Fattorizzazione QR di una matrice in forma di Hessenberg La tecnica dello shift Aspetti di implementazione delle matrici di trasformazione Metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche II metodo di Jacobi II metodo delle successioni di Sturm II metodo di Lanczos Applicazioni Calcolo delle frequenze naturali di una rete RLC Determinazione del carico critico di una trave Esercizi Ricerca di radici di equazioni non lineari Condizionamento di un'equazione non lineare Un approccio geometrico per la ricerca delle radici II metodo di bisezione I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton II metodo di Dekker-Brent II metodo delle iterazioni di punto fisso Risultati di convergenza per alcuni metodi di punto fisso Radici di polinomi algebrici II metodo di Horner e la deflazione II metodo di Newton-Horner II metodo di Muller Criteri d'arresto Tecniche di post-processing per metodi iterativi La tecnica di accelerazione di Aitken Tecniche per il trattamento di radici multiple Applicazioni Analisi dell'equazione di stato di un gas reale 247

6 IX Analisi di un circuito elettrico non lineare Esercizi Metodi per sistemi non lineari e problemi di ottimizzazione Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari II metodo di Newton e le sue varianti Metodi di tipo secanti Metodi di punto fisso Ottimizzazione non vincolata Metodi di tipo gradiente: caso generale Metodi di tipo gradiente per funzioni quadratiche Metodi di tipo Newton per la minimizzazione di funzioni Metodi quasi-newton Metodi di tipo secanti Ottimizzazione vincolata II metodo di penalizzazione II metodo dei moltiplicatori di Lagrange.., Applicazioni Risoluzione di un sistema non lineare nella simulazione di dispositivi a semiconduttore Regolarizzazione di una griglia di discretizzazione con una procedura non lineare Esercizi Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Interpolazione polinomiale L'errore di interpolazione Limiti dell'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati e controesempio di Runge Stabilità dell'interpolazione polinomiale Forma di Newton del polinomio interpolatore Alcune proprietà delle differenze divise di Newton L'errore di interpolazione usando le differenze divise Interpolazione composita di Lagrange Interpolazione di Hermite L'estensione al caso bidimensionale Interpolazione polinomiale semplice Interpolazione polinomiale composita Funzioni spiine monodimensionali (univariate) Spiine cubiche interpolatorie B-spline Curve spiine di tipo parametrico Curve di Bézier e B-spline parametriche Applicazioni 321

7 8.8.1 Studio con elementi finiti della flessione di una trave incastrata Ricostruzione geometriche da TAC Esercizi Integrazione numerica Formule di quadratura interpolatorie La formula del punto medio o del rettangolo La formula del trapezio La formula di Cavalieri-Simpson Formule di Newton-Cotes Formule di Newton-Cotes composite Formule di quadratura di Hermite L'estrapolazione di Richardson II metodo di integrazione di Romberg Integrazione automatica Algoritmi di integrazione non adattivi Algoritmi di integrazione adattivi : Integrali generalizzati (o impropri) Integrali di funzioni con discontinuità di prima specie Integrali di funzioni con discontinuità di seconda specie Integrali su intervalli illimitati, Integrazione numerica in più dimensioni II metodo della formula di riduzione Quadrature composite bidimensionali Metodi di integrazione di tipo Monte Carlo Applicazioni Calcolo della superficie di un ellissoide Calcolo della forza del vento sull'albero di una barca Esercizi I polinomi ortogonali nella teoria dell'approssimazione Approssimazione di funzioni con serie generalizzate di Fourier I polinomi di Chebyshev... : I polinomi di Legendre I polinomi di Jacobi Integrazione ed interpolazione Gaussiana Integrazione ed interpolazione di Chebyshev Integrazione ed interpolazione di Legendre Integrazione Gaussiana su intervalli illimitati Programmi per l'implementazione delle formule Gaussiane Approssimazione-di una funzione nel senso dei minimi quadrati I minimi quadrati discreti II polinomio di migliore approssimazione I polinomi trigonometrici di Fourier 394

8 XI La trasformata rapida di Fourier Approssimazione delle derivate di una funzione Metodi alle differenze finite classiche Differenze finite compatte La derivata pseudo-spettrale Applicazioni Calcolo della radiazione da corpo nero Risoluzione dell'equazione di Schrodinger Esercizi Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie II problema di Cauchy Metodi numerici ad un passo Analisi dei metodi ad un passo La zero-stabilità Analisi di convergenza L'assoluta stabilità Le equazioni alle differenze :' I metodi a più passi (o multistep) I metodi di Adams I metodi BDF Analisi dei metodi multistep Consistenza Le condizioni delle radici Analisi di stabilità e di convergenza per i metodi multistep L'assoluta stabilità nei metodi multistep I metodi predictor-corrector Metodi di tipo Runge-Kutta Derivazione di un metodo RK esplicito Adattività del passo per i metodi RK Metodi RK impliciti Regioni di assoluta stabilità per i metodi RK II caso dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie I problemi stiff Applicazioni Studio del movimento di un pendolo senza attrito Un modello semplificato della turbolenza atmosferica Esercizi 467 Bibliografìa 471 Indice dei programmi MATLAB 481 Indice analitico 483

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