Programma di Istituzioni di matematica per il corso di Laurea in Biologia.

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1 Programma di Istituzioni di matematica per il corso di Laurea in Biologia. N.B. La suddivisione del programma si riferisce ai capitoli del testo di riferimento: "Matematica per le scienze della vita" (II edizione), di Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei, editrice Ambrosiana. Alcuni degli argomenti piu' elementari del cap. 1 sono stati svolti per cenni, come richiamo dai programmi di scuola media superiore. I capitoli 1, 2, 3, 6 sono stati svolti da C. M. Scoppola. I capitoli 4, 5, 7, 8, 9 sono stati svolti da E. Rosatelli I capitoli 10, 11,12 sono stati svolti da A. Attanasio (canale A) e A. Villani (canale B) 1.1 Il linguaggio degli insiemi: appartenenza, insieme vuoto, sottoinsiemi, cardinalita', unione, intersezione, proprieta' dell'unione e dell'intersezione, differenza simmetrica, insieme complementare, prodotto cartesiano. Esempi ed 1.2 Numeri naturali, interi e razionali. La radice quadrata di 2 non e' razionale. Numeri reali. Altri esempi di umeri irrazionali. Approssimazione decimale per eccesso e per difetto. Proprieta' delle potrenze. potenze intere, razionali, reali. Unita' immaginaria, numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi. Coniugato. Modulo di un numero complesso. Esempi ed 1.3 La retta reale. Ordinamento. Intervalli chiusi e aperti. Modulo (o valore assoluto) di un numero reale. Il piano cartesiano. Equazione della circonferenza. Distanza tra punti del piano. Rappresentazione sul piano dei numeri complessi. Esempi ed 1.4 Permutazioni. Fattoriale. Disposizioni con ripetizione. Disposizioni semplici. Coefficienti binomiali. Combinazioni. Il binomio di Newton. Parti di un insieme.esempi ed 1.5 Percentuali. Unita' di misura. Multipli, sottomultipli delle unita' di misura e prefissi corrispondenti. Ordini di grandezza. Approssimazione. Esempi ed 2.1 Grandezze scalari e vettoriali. Segmenti orientati. Spostamenti. Componenti di un vettore. vettori nel piano e nello spazio. Modulo di un vettore. Esempi ed 2.2 Operazioni con i vettori: somma, moltiplicazione per uno scalare. Versori. Espressione parametrica di una retta per l'origine. Differenza di vettori, interpretazione geometrica della somma e della differenza. Combinazioni lineari di

2 vettori. Media di vettori. Esempi ed 2.3 Misura degli angoli: gradi, radianti. Seno, coseno, tangente. Coefficiente angolare di una retta. Coordinate polari nel piano. Esempi ed 2.4 Prodotto scalare di due vettori. vettori ortogonali. Componenti di un vettore, proiezioni ortogonali. Prodotto vettoriale di due vettori nello spazio. Esempi ed 2.5 Equazione della retta nel piano. Rette parallele. Sistemi di equazioni lineari. Criteri per l'esistenza di (nessuna, una, infinite) soluzioni di sistemi lineari. Piani nello spazio. metodo di sostituzione per la soluzione di sistemi lineari. Esempi ed 3.1 Vettori riga e vettori colonna. Trasformazioni lineari di vettori. Omotetie. Matrici due per due. Prodotto righe per colonne. Matrice identica. Rotazioni. Riflessioni. Simmetrie. Matrici di dimensione qualunque. Matrici simmetriche. Matrice trasposta. Esempi ed 3.2 Operazioni tra matrici: somma e moltiplicazione per uno scalare. Combinazioni lineari di matrici. Prodotto righe per colonne, tra matrici e tra matrici e vettori. Matrici e trasformazioni lineari. Composizione di trasformazioni lineari e prodotto di matrici. Il prodotto di matrici non e' commutativo. Trasformazioni lineari invertibili e trasformazioni inverse. Calcolo della matrice inversa. Esempi ed 3.3 Determinante di una matrice due per due. Matrici invertibili e singolari. Determinanti di matrici tre per tre. Regola di Sarrus. Matrice complementare, regola di Laplace. Determinanti di matrici quadrate qualsiasi. Matrici singolari e trasformazioni. Calcolo dell'inversa di una matrice non singolare. Autovettori e autovalori di trasformazioni lineari. Esempi ed Autovalori e autovettori di omotetie e simmetrie. Calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico. Autovalori e autovettori di matrici simmetriche. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Esempi ed 4.1 Fenomeni, modelli, funzioni. Crescita di una pianta. Pressione nei fluidi incomprimibili. Funzioni composte. Esempi e 4.2 Il grafico di una funzione. Variabile dipendente e indipendente. Domini e immagini. Funzione lineare. Germinazione. Funzioni a gradino. Traslazioni di funzioni. Potenze pari, dispari e simmetrie. Esempi e 4.3 Funzioni crescenti e decrescenti, massimi e minimi. Aspetti grafici delle equazioni e delle Disequazioni. Funzioni ed equazioni. Funzione inversa. Esempi ed

3 4.4 Funzioni di più variabili. Distanza tra due punti. Domini di funzioni di più variabili. Cartine geografiche. Isobare. Curve di livello. Esempi ed 5.1 Il mondo delle leggi lineari. Rapporti di variazioni. Coefficiente angolare ed inclinazione. Rette parallele. Gradi Celsius e Fahrenheit. Disequazioni di primo grado. Esempi ed 5.2 Leggi quadratiche. Aspetti geometriche delle leggi quadratiche. Parabola per tre punti assegnate. Equazioni e disequazioni di secondo grado. Intersezioni con gli assi. Esempi ed 5.3 Funzioni di potenza e dimensioni della vita. Dominio di alcune funzioni potenza. Andamento a potenza di linee, superfici e volumi. Esempi ed 6.1 Crescita di popolazioni batteriche e funzioni esponenziali. Decadimento radioattivo. Carateristiche del grafico delle funzioni esponenziali: monotonia, positivita'. Modello malthusiano. Esempi ed 6.2 Logaritmi. Caratteristiche di una funzione logaritmo: monotonia. Regole di calcolo con i logaritmi, cambiamento di base, basi 2, 10, e. Equazioni esponenziali. Equazioni di tipo malthusiano, cambiamento di base nei logaritmi. Equazioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Grandezze espresse in scala logaritmica, esempi. Grafici in scala logaritmica. Scala doppia logaritmica. Esempi ed 6.3 Funzioni periodiche. Seno, coseno, tangente. Funzioni inverse. Equazioni trigonometriche. Calcolo del periodo. Equazioni trigonometriche. Disequazioni trigonometriche. Forma trigonometrica e esponenziale dei numeri complessi. Esempi ed 7.1 Il problema del comportamento asintotico. Destino finale di una popolazione malthusiana. Funzioni divergenti. Funzioni non monotone, divergenti e non. Convergenza a 0. Andamento asintotico delle funzioni elementari. Esempi ed 7.2 Calcolare i limiti. Algebra del limiti. Limiti di prodotti di funzione. Limite di funzione composta. Limite del logaritmo. Asintoti di una funzione. Funzioni continue. Limiti di funzioni continue. Esempi ed 7.3 Velocità di divergenza e convergenza. Limite della differenza e del prodotto. Confronto di esponenziali e potenze. Infinitesimi. Ordini di infinitesimo. Esempi ed 7.4 Successioni e serie. Limiti di successioni. Progressione geometrica. Somma dei primi n numeri primi. Somma di una progressione geometrica. Le serie. Esempi ed 7.5 Leggi di ricorrenza. Crescita limitata. Sistema dinamico lineare omogeneo. Sistema dinamico lineare non omogeneo. Popolazioni strutturate. Esempi ed

4 8.1 Tasso di variazione medio ed istantaneo. Rapporto incrementale. La derivata. Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico. Derivata del valore assoluto. Esempi ed 8.2 Le regole per derivare. Derivata delle funzioni lineari, quadratiche e delle funzioni potenza. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di somme, prodotti e rapporti. Derivata di funzione composte. Derivata di funzioni non elementari. Limiti con la regola di de L'Hopital. Esempi ed 8.3 Derivate, istruzioni per l'uso. Approssimazioni. Intervalli di crescita e decrescita. Massimi e minimi di una funzione. Studio di funzione. Esempi ed 8.4 Calcolo differenziale in più variabili. Calcolo di derivate parziali. Apprassimazioni al primo ordine. Calcolo del gradiente. Esempi ed 8.5 Modelli di evoluzione con tempo continuo. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. E.d.o. Lineare del primo ordine omogenea e non omogenea. Analisi qualitativa. Esempi ed 9.1 Dalla derivata alla funzione. Primitiva di una funzione. L'area delimitata da una parabola. L'integrale definito. Dalla velocità alla posizione. Esempi ed 9.2 Integrare. Integrali elementari. Calcolo dell'area al di sotto di un grafico. Calcolo dell'area tra due grafici. Integrali impropri. Integrazione per parti. Esempi ed 9.3 Differenziare. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Densità media delle carote di ghiaccio. Metodo della sostituzione della variabile. Esempi ed 9.4 Altri integrali. Integrali doppi. Densità media e baricentro. Calcolo del lavoro di una forza. Differenziali esatti e non. Esempi ed 10. Eventi e loro algebra. Definizione e prime leggi della probabilità. Principali proprietà della misura di probabilità. Spazi di probabilità uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza. Teorema di Bayes e sue applicazioni. Test diagnostici: sensibilità, specificità e predittività. Disposizioni, permutazioni e combinazioni. Coefficiente binomiale. 11. Variabili aleatorie e funzione di ripartizione: definizione e principali proprietà. Variabili aleatorie discrete: la distribuzione bernoulliana, binomiale e di Poisson. Variabili aleatorie continue: la densità esponenziale uniforme e normale. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria. Cenni alla legge dei grandi numeri e al teorema del limite centrale. 12. Tipologia delle informazioni statistiche. Distribuzioni di frequenza semplici e in

5 classi. L istogramma e altre rappresentazioni grafiche. Sintesi dei dati: indici di posizione e di variabilità. Media, Moda, Varianza e Deviazione Standard. Problemi di stima. La logica inferenziale e il modello statistico: parametri e stimatori. Distribuzione campionaria della media e della varianza in un modello normale. Intervallo di confidenza sul valore atteso di una legge normale. Applicazioni del teorema del limite centrale. Stima puntuale e intervallo di confidenza per la probabilità di successo in un esperimento binomiale. Ipotesi a confronto. Ipotesi nulla e alternativa (?). Verifica di un ipotesi nulla puntuale: errore di prima specie e potenza del test (?). Il p-value. Confronto tra valori attesi in un modello normale. Lo studio per gruppi paralleli: formalizzazione delle ipotesi a confronto, e la statistica t. Le tabelle di contingenza. L indipendenza in distribuzione e il test (?). Le tabelle 2x2: stima del rischio relativo. Studi prospettici e retrospettivi. Lo studio caso-controllo.