UNITEXT La Matematica per il 3+2

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1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 77

2 Alfio Quarteroni Riccardo Sacco Fausto Saleri Paola Gervasio Matematica Numerica 4 a edizione

3 Alfio Quarteroni CMCS-MATHICSE École Polytechnique Fédérale de Lausanne Lausanne, Switzerland Fausto Saleri MOX, Dipartimento di Matematica F. Brioschi Politecnico di Milano Milano, Italia Riccardo Sacco Dipartimento di Matematica F. Brioschi Politecnico di Milano Milano, Italia Paola Gervasio DICATAM Università degli Studi di Brescia Brescia, Italia UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti Immagine di copertina: Ricostruzione dei fogli di collagene nel tessuto cardiaco ottenuta tramite un algoritmo di Laplace Dirichlet. A cura di Simone Rossi, CMCS-EPFL Layout di copertina: Beatrice B., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago T E X-Production GmbH, Germany ( Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 A Fausto

5 Prefazione La matematica numerica è quel ramo della matematica che propone, sviluppa, analizza ed applica metodi per il calcolo scientifico nel contesto di vari campi della matematica, quali l analisi, l algebra lineare, la geometria, la teoria dell approssimazione, la teoria delle equazioni funzionali, l ottimizzazione, le equazioni differenziali. Anche altre discipline, come la fisica, le scienze naturali e biologiche, l ingegneria, l economia e la finanza, frequentemente originano problemi che richiedono di essere risolti ricorrendo al calcolo scientifico. La matematica numerica è pertanto situata alla confluenza di diverse discipline di grande rilievo nelle moderne scienze applicate, e ne diventa strumento essenziale di indagine qualitativa e quantitativa. Tale ruolo decisivo è pure accentuato dallo sviluppo impetuoso ed inarrestabile di computer ed algoritmi, che rendono oggi possibile affrontare con il calcolo scientifico problemi di dimensioni tanto elevate da consentire la simulazione di fenomeni reali, fornendo risposte accurate con tempi di calcolo accettabili. La corrispondente proliferazione di software numerico, se per un verso rappresenta una ricchezza, per l altro pone spesso l utilizzatore nella condizione di doversi orientare correttamente nella scelta del metodo (o dell algoritmo) più efficace per affrontare il problema di suo specifico interesse. È infatti evidente che non esistono metodi o algoritmi efficaci ed accurati per ogni tipo di problema. Scopo principale del testo è chiarire i fondamenti matematici alla base dei diversi metodi, analizzarne le proprietà di stabilità, accuratezza e complessità algoritmica ed illustrare, attraverso esempi e controesempi, i vantaggi ed i punti deboli di ogni metodo. Per tali verifiche viene utilizzato il programma MATLAB R. Tale scelta risponde a due primarie esigenze: la semplicità di approccio e la diffusione ormai universale di tale linguaggio che lo rende oggi accessibile virtualmente su ogni piattaforma di calcolo. Ogni capitolo è integrato da esempi ed esercizi che pongono il lettore nella condizione ideale per acquisire le conoscenze teoriche necessarie per decidere quali metodologie numeriche adottare. Questo volume è indirizzato in primo luogo agli studenti delle facoltà scientifiche, con particolare attenzione ai corsi di laurea in Ingegneria, Matematica, Fisica e Scienze dell Informazione. L enfasi data ai metodi moderni per il calcolo scientifico e al relativo sviluppo di software, lo rende interessante anche per ricercatori e utilizzatori nei campi professionali più disparati.

6 VIII Prefazione Il contenuto del testo è organizzato in undici capitoli. I primi due di essi sono dedicati a richiami di algebra lineare e all introduzione dei concetti generali di consistenza, stabilità e convergenza di un metodo numerico e degli elementi di base dell aritmetica discreta. I successivi capitoli sono dedicati alla risoluzione di sistemi lineari (Capitoli 3 e 4), al calcolo di autovalori (Capitolo 5), alla risoluzione di equazioni e sistemi non lineari (Capitolo 6), all approssimazione polinomiale (Capitolo 7), all integrazione numerica (Capitolo 8), all approssimazione ed integrazione mediante polinomi ortogonali (Capitolo 9) e alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e di problemi ai limiti (Capitoli 10 e 11). Segue infine l indice per la consultazione dei programmi MATLAB sviluppati all interno del volume. Questi programmi sono anche disponibili all indirizzo calnum/programs.html. Si è ritenuto utile per il lettore evidenziare le formule principali in un riquadro e le intestazioni dei programmi MATLAB mediante una striscia grigia, che ne racchiude il titolo e una sintetica descrizione. Con vivo piacere, ringraziamo la Dr.ssa Francesca Bonadei, di Springer- Verlag Italia, per il suo costante stimolo ed incessante sostegno durante l intera fase di preparazione del volume. Un ringraziamento speciale a Stefano Micheletti, per la straordinaria disponibilità e il validissimo aiuto. Vogliamo inoltre riconoscere il prezioso contributo di Alessandro, Edie, Elena, Francesco, Lorella, Luca, Paola 2, Simona, che si sono lasciati trascinare in questa avventura. Milano, 24 giugno 1998 Alfio Quarteroni Riccardo Sacco Fausto Saleri Prefazione alla seconda edizione Questa seconda edizione del volume si differenzia dalla prima soprattutto in quanto contiene un capitolo dedicato all approssimazione di problemi ai limiti, con metodi alle differenze finite e agli elementi finiti. Inoltre, rispetto alla prima edizione, il capitolo relativo all ottimizzazione è stato ridotto alla sola analisi dei sistemi non lineari, e per questo fatto confluire nell attuale Capitolo 6. MATLAB è un trademark di The MathWorks, Inc. Per ulteriori informazioni su MA- TLAB e altri prodotti MathWorks, inclusi i MATLAB Application Toolboxes per la matematica, la visualizzazione e l analisi, contattare: TheMathWorks, 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760, Tel: , Fax: , info@mathworks. com, www:

7 Prefazione IX Naturalmente, col senno del poi, tutti i capitoli del libro sono stati ampiamente riveduti e corretti. Con vivo piacere, ringraziamo la Dr.ssa Francesca Bonadei e la Dr.ssa Carlotta D Imporzano, di Springer-Verlag Italia, per il loro costante stimolo ed incessante sostegno durante l intera fase di preparazione del volume, nonché Jean-Frédéric Gerbeau, Paola Gervasio e Stefano Micheletti per il loro validissimo aiuto. Infine, vogliamo riconoscere il prezioso contributo di Alessandro, Edie, Elena, Francesco, Lorella, Luca, Paola e Simona. Milano, gennaio 2000 Alfio Quarteroni Riccardo Sacco Fausto Saleri Prefazione alla terza edizione Questa terza edizione del volume si differenzia dalle due precedenti per una revisione generale dei programmi e per l aggiunta di un capitolo, il dodicesimo, dedicato all approssimazione di problemi ai valori iniziali ed ai limiti con metodi alle differenze finite e agli elementi finiti. Nella memoria e nel ricordo di un Amico, dedichiamo il libro a Fausto. Milano, gennaio 2008 Alfio Quarteroni Riccardo Sacco Prefazione alla quarta edizione Questa quarta edizione contiene numerose integrazioni in quasi tutti i Capitoli. Diverse sezioni sono inoltre state rivisitate con lo scopo di rendere più chiari concetti ed argomenti di considerevole complessità. Per la risoluzione di alcuni esercizi proposti in questo testo (e di numerosi altri) il lettore interessato può consultare Quarteroni A. (2013) Matematica Numerica. Esercizi, Laboratori e Progetti, 2a Ed. Springer-Verlag Italia, Milano. Ricordiamo infine ai lettori che tutti i programmi presentati in questo volume possono essere scaricati dalla pagina web Milano e Brescia, dicembre 2013 Alfio Quarteroni Riccardo Sacco Paola Gervasio

8 Indice 1. Elementi di analisi delle matrici Spazi vettoriali Matrici Operazioni su matrici Inversa di una matrice Matrici e trasformazioni lineari Traccia e determinante Rango e nucleo di una matrice Matrici di forma particolare Matrici diagonali a blocchi Matrici trapezoidali e triangolari Matrici a banda Autovalori e autovettori Trasformazioni per similitudine La decomposizione in valori singolari (SVD) Prodotto scalare e norme in spazi vettoriali Norme matriciali Relazione tra norme e raggio spettrale di una matrice Successioni e serie di matrici Matrici definite positive, matrici a dominanza diagonale e M-matrici Esercizi I fondamenti della matematica numerica Buona posizione e numero di condizionamento di un problema Stabilità di metodi numerici Le relazioni tra stabilità e convergenza Analisi a priori e a posteriori Sorgenti di errore nei modelli computazionali Rappresentazione dei numeri sul calcolatore

9 XII Indice Il sistema posizionale Il sistema dei numeri floating-point Distribuzione dei numeri floating-point Aritmetica IEC/IEEE Arrotondamento di un numero reale nella sua rappresentazione di macchina Operazioni di macchina effettuate in virgola mobile Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti Analisi di stabilità per sistemi lineari Ilnumerodicondizionamentodiunamatrice Analisi a priori in avanti Analisi a priori all indietro Analisi a posteriori Risoluzione di sistemi triangolari Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni Analisi degli errori di arrotondamento Calcolo dell inversa di una matrice triangolare Il metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazione LU Il MEG interpretato come metodo di fattorizzazione L effetto degli errori di arrotondamento Aspetti implementativi della fattorizzazione LU Forme compatte di fattorizzazione Altri tipi di fattorizzazione Fattorizzazione LDM T Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di Cholesky Matrici rettangolari: fattorizzazione QR Pivoting Il calcolo dell inversa Sistemi a banda Matrici tridiagonali Aspetti computazionali Sistemi a blocchi Fattorizzazione LU a blocchi Inversa di una matrice a blocchi Sistemi tridiagonali a blocchi Accuratezza della soluzione generata dal MEG Calcolo approssimato di K(A) Aumento dell accuratezza Lo scaling Raffinamento iterativo

10 Indice XIII 3.12 Sistemi indeterminati Esercizi Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi Convergenza di metodi iterativi Metodi iterativi lineari I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel Risultati di convergenza per il metodo di rilassamento Il caso delle matrici a blocchi Forma simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e SOR Aspetti implementativi Metodi di Richardson stazionari e non stazionari Analisi di convergenza per il metodo di Richardson Matrici di precondizionamento Il metodo del gradiente Il metodo del gradiente coniugato Il metodo del gradiente coniugato precondizionato MetodibasatisuiterazioniinsottospazidiKrylov Il metodo di Arnoldi per sistemi lineari Il metodo GMRES Criteri di arresto per metodi iterativi Un criterio basato sul controllo dell incremento Un criterio basato sul controllo del residuo Esercizi Approssimazione di autovalori e autovettori Localizzazione geometrica degli autovalori Analisi di stabilità econdizionamento Stime a priori Stime a posteriori Il metodo delle potenze Calcolo dell autovalore di modulo massimo Calcolo dell autovalore di modulo minimo Aspetticomputazionaliediimplementazione Metodi basati sulle iterazioni QR L iterazione QR nella sua forma di base Il metodo QR per matrici in forma di Hessenberg Matrici di trasformazione di Householder e di Givens Riduzione di una matrice in forma di Hessenberg Fattorizzazione QR di una matrice in forma di Hessenberg

11 XIV Indice Aspetti implementativi del metodo Hessenberg-QR Implementazione delle matrici di trasformazione Il metodo QR con shift Metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche Il metodo di Jacobi Il metodo delle successioni di Sturm Esercizi Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari Condizionamento di un equazione non lineare Un approccio geometrico per la ricerca delle radici Il metodo di bisezione I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton Il metodo delle iterazioni di punto fisso Risultati di convergenza per alcuni metodi di punto fisso Radici di polinomi algebrici Il metodo di Horner e la deflazione Il metodo di Newton-Horner Il metodo di Muller Criteri d arresto Tecniche di post-processing per metodi iterativi La tecnica di accelerazione di Aitken Tecnicheperiltrattamentodiradicimultiple Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari Il metodo di Newton e le sue varianti Metodi di Newton modificati Metodi quasi-newton e metodi ibridi o poli-algoritmi Metodi quasi-newton di tipo secanti Metodi di punto fisso Esercizi Interpolazione polinomiale Interpolazione polinomiale di Lagrange L errore di interpolazione Limiti dell interpolazione polinomiale su nodi equispaziati e controesempio di Runge Stabilità dell interpolazione polinomiale Forma di Newton del polinomio interpolatore Alcune proprietà delle differenze divise di Newton L errore di interpolazione usando le differenze divise Interpolazione composita di Lagrange Interpolazione di Hermite

12 Indice XV 7.5 L estensione al caso bidimensionale Interpolazione polinomiale semplice Interpolazione polinomiale composita Funzioni spline Spline cubiche interpolatorie B-spline Curve spline di tipo parametrico Esercizi Integrazione numerica Formule di quadratura interpolatorie Laformuladelpuntomedioodelrettangolo La formula del trapezio La formula di Cavalieri-Simpson Formule di Newton-Cotes Formule di Newton-Cotes composite L estrapolazione di Richardson Il metodo di integrazione di Romberg Integrazione automatica Algoritmi di integrazione non adattivi Algoritmi di integrazione adattivi Estensioni Integrali di funzioni con discontinuità di tipo salto Integrali di funzioni illimitate su intervalli limitati Integrali su intervalli illimitati Integrazione numerica in più dimensioni Il metodo della formula di riduzione Quadrature composite bidimensionali Esercizi I polinomi ortogonali nella teoria dell approssimazione Approssimazione di funzioni con serie generalizzate di Fourier I polinomi di Chebyshev I polinomi di Legendre Integrazione ed interpolazione Gaussiana IntegrazioneedinterpolazioneconnodidiChebyshev IntegrazioneedinterpolazioneconnodidiLegendre Integrazione Gaussiana su intervalli illimitati Programmi per l implementazione delle formule Gaussiane Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati I minimi quadrati discreti Il polinomio di migliore approssimazione

13 XVI Indice 9.9 I polinomi trigonometrici di Fourier La trasformata rapida di Fourier Approssimazione delle derivate di una funzione Metodi alle differenze finite classiche Differenze finite compatte La derivata pseudo-spettrale Esercizi Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie Il problema di Cauchy Metodi numerici ad un passo Analisi dei metodi ad un passo La zero-stabilità Analisi di convergenza L assoluta stabilità Le equazioni alle differenze I metodi a più passi (o multistep) I metodi di Adams I metodi BDF Analisi dei metodi multistep Consistenza Le condizioni delle radici Analisi di stabilità e di convergenza per i metodi multistep L assoluta stabilità nei metodi multistep Metodi predictor-corrector Metodi Runge-Kutta Derivazione di un metodo Runge-Kutta esplicito Adattività del passo per i metodi Runge-Kutta Regioni di assoluta stabilità per i metodi Runge-Kutta Ilcasodeisistemidiequazionidifferenzialiordinarie I problemi stiff Esercizi Approssimazione di problemi ai limiti Un problema modello Il metodo delle differenze finite Analisi di stabilità con il metodo dell energia Analisi di convergenza Le differenze finite per problemi ai limiti a coefficienti variabili Il metodo di Galerkin Formulazione debole di problemi ai limiti

14 Indice XVII Una breve introduzione alle distribuzioni Proprietà del metodo di Galerkin Analisi del metodo di Galerkin Il metodo degli elementi finiti Aspetti implementativi Problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante Esercizi Problemi ai valori iniziali e ai limiti di tipo parabolico e iperbolico L equazione del calore Approssimazione a differenze finite dell equazione del calore Approssimazione ad elementi finiti dell equazione del calore Analisi di stabilità perilθ-metodo Metodi a elementi finiti spazio-temporali per l equazione del calore Equazioni iperboliche: un problema di trasporto scalare Sistemi di equazioni iperboliche lineari L equazione delle onde Il metodo delle differenze finite per equazioni iperboliche Discretizzazione dell equazione scalare Analisi dei metodi alle differenze finite Consistenza Stabilità La condizione CFL Analisi di stabilità alla von Neumann Dissipazione e dispersione Approssimazione ad elementi finiti di equazioni iperboliche Discretizzazione spaziale con elementi finiti continui e discontinui Discretizzazione temporale Esercizi Riferimenti bibliografici 511 Indice dei programmi MATLAB 519 Indice analitico 523