UNITEXT La Matematica per il 3+2

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1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 83

2 Claudio Canuto Anita Tabacco Analisi Matematica II 2a edizione

3 Claudio Canuto Dipartimento di Scienze Matematiche Politecnico di Torino, Torino Italia Anita Tabacco Dipartimento di Scienze Matematiche Politecnico di Torino, Torino Italia UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, [email protected] e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti Layout copertina: Simona Colombo, Giochi di Grafica, Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany ( Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 Prefazione Questo volume costituisce il proseguimento della presentazione dei principali strumenti di base dell Analisi Matematica iniziata nel nostro libro Analisi Matematica I - anch esso pubblicato da Springer - a cui faremo riferimento nel testo come Vol. I. Gli argomenti qui trattati vengono tradizionalmente demandati, nella maggior parte delle sedi universitarie italiane, ad un secondo corso di Analisi Matematica. La scelta dei contenuti e delle modalità di presentazione per un tale insegnamento è assai più variegata e flessibile rispetto a quella per un corso di Analisi Matematica I, usualmente dedicato in massima parte alle funzioni reali di una variabile reale. Per questo motivo, abbiamo cercato di coprire un ventaglio sufficientemente ampio di argomenti, ben sapendo che il numero di crediti assegnati a un secondo corso di Analisi Matematica può non essere sufficiente a coprirli tutti. Al fine di facilitare un uso flessibile del testo abbiamo cercato, ove possibile, di rendere non troppo rigida la concatenazione degli argomenti, anche a costo di qualche ripetizione. L ordine di presentazione è quello che ci è sembrato il più naturale. Nei primi tre capitoli si completa lo studio delle funzioni di una variabile con le successioni e serie di funzioni, tra le quali le serie di potenze e di Fourier. Successivamente si passa ad esaminare le funzioni di più variabili e a valori vettoriali, studiandone le proprietà di continuità e sviluppandone il calcolo differenziale e integrale (dapprima sugli aperti misurabili di R n e quindi sulle curve e superfici). Infine alcuni dei concetti visti trovano applicazione nello studio dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Come per il primo volume, ci siamo posti l obiettivo di raggiungere la massima chiarezza espositiva nella nostra presentazione. Ogni pagina del testo contiene di norma uno, o al più pochi, concetti essenziali, evitando una eccessiva ricchezza di messaggi che potrebbe distrarre lo studente. Abbiamo scelto di presentare i teoremi sotto ipotesi sufficientemente generali ma di immediata leggibilità. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi e, ove possibile, da una loro illustrazione grafica; lo stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo.

5 VI Prefazione Un significativo numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite; essi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per la maggior parte di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Nel testo sono usate le seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ). Questa seconda edizione si arricchisce di due appendici, che fanno riferimento rispettivamente al calcolo differenziale e a quello integrale, le quali forniscono allo studente più motivato e interessato la giustificazione di vari risultati solo enunciati nei capitoli precedenti, insieme a utili complementi. Abbiamo invece completamente omesso quelle dimostrazioni in cui, a nostro avviso, gli aspetti tecnici sono prevalenti rispetto a quelli concettuali. Esse possono essere reperite su testi specialistici di cui forniamo l indicazione bibliografica. La preparazione del materiale raccolto ha tratto beneficio dall esperienza maturata nell insegnamento degli argomenti qui trattati presso il Politecnico di Torino, e dalle osservazioni e suggerimenti di colleghi e studenti, a cui va la nostra riconoscenza. È stata inoltre di grande aiuto la consultazione di testi relativi agli stessi temi, quali quelli di A. Bacciotti e F. Ricci, di C. Pagani e S. Salsa, e di G. Gilardi, oltreché di opere di impostazione anglosassone quali quelle di T. Apostol e di J. Stewart. Tutte le figure sono state realizzate mediante il programma MATLAB TM e rielaborate attraverso con l ausilio del pacchetto psfrag di pubblico dominio; siamo riconoscenti a Giuseppe Ghibò e a Francesco Longo per i contributi forniti a tale riguardo. Ringraziamo infine la dottoressa Francesca Bonadei, responsabile editoriale del programma di Matematica presso Springer Italia, per il costante incoraggiamento e per il caloroso sostegno nella preparazione della seconda edizione di questo volume. Torino, agosto 2014 Claudio Canuto, Anita Tabacco

6 Indice 1 Serie numeriche Richiamisullesuccessioni Serienumeriche Serieaterminipositivi Serieaterminidisegnoalterno Operazionialgebrichesulleserie Esercizi Soluzioni Serie di funzioni e di potenze Successionidifunzioni Proprietà delle successioni uniformemente convergenti Passaggio al limite sotto segno di integrale Passaggio al limite sotto segno di derivata Seriedifunzioni Seriedipotenze Operazioni algebriche sulle serie di potenze Derivazione e integrazione di serie di potenze Funzionianalitiche Serie di potenze in C Esercizi Soluzioni Serie di Fourier Polinomitrigonometrici CoefficientieseriediFourier FormaesponenzialedellaseriediFourier SeriediFourierederivazione ConvergenzadelleseriediFourier Convergenzaquadratica... 97

7 VIII Indice Convergenzapuntuale Convergenzauniforme DecadimentodeicoefficientidiFourier Funzioni periodiche di periodo T> Esercizi Soluzioni Funzioni tra spazi euclidei Vettori in R n Matrici Insiemi in R n e loro proprietà Funzioni:definizionieprimiesempi Continuitàelimiti Proprietà dei limiti e della continuità Curve in R m Superfici in R Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale per funzioni scalari Derivate parziali prime e gradiente Differenziabilitàedifferenziale Teorema di Lagrange e funzioni lipschitziane Derivateparzialisecondeematricehessiana Derivateparzialidiordinesuperiore Sviluppi di Taylor; convessità Convessità Estremi di una funzione; punti stazionari Puntidisella Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale per funzioni vettoriali Derivateparzialiematricejacobiana Differenziabilità e lipschitzianità Operatoridifferenzialinotevoli Operatoridelprimoordine Operatoridelsecondoordine Derivazionedifunzionicomposte Un applicazione: le funzioni definite mediante integrali Curveregolari Congruenzatracurve;orientazione Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea Elementidigeometriadifferenzialediuna curva Cambiamentidivariabile...241

8 Indice IX Cambiamentidivariabilenotevoli Superficiregolari Cambiamenti di parametrizzazione Superficiorientabili Bordodiuna superficie;superficichiuse Superfici regolari a pezzi Esercizi Soluzioni Applicazioni del calcolo differenziale Teoremadellafunzioneimplicita Invertibilitàlocalediunafunzione Curveesuperficidilivello Curvedilivello Superficidilivello Estremivincolati Metodo parametrico Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Esercizi Soluzioni Calcolo integrale per funzioni in più variabili Integrale doppio su rettangoli Integrale doppio su insiemi misurabili Proprietà dell integrale doppio Cambiamento di variabili negli integrali doppi Integrali multipli Cambiamenti di variabili negli integrali tripli Applicazioniedestensioni Massa,baricentroemomentidiinerzia Volumedeisolididirotazione Integrali di funzioni vettoriali Integrali multipli impropri Esercizi Soluzioni Calcolo integrale su curve e superfici Integrali curvilinei Baricentro e momenti di inerzia di una curva Integrali di linea Integrali superficiali Areadiunacalotta Baricentro e momenti di inerzia di una superficie Integrali di flusso ITeoremidiGauss,GreeneStokes...404

9 X Indice Aperti e superfici ammissibili e loro bordo IlTeoremadelladivergenzaodiGauss Il Teorema del rotore; Teorema di Green IlTeoremadiStokes Campiconservativiepotenziale Calcoloesplicitodelpotenziale Esercizi Soluzioni Equazioni differenziali ordinarie Esempiintroduttivi Definizionigenerali Equazioniscalaridelprimoordine Equazioni a variabili separabili Equazioniomogenee Equazionilineari EquazionidiBernoulli EquazionidiRiccati Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Esistenza e unicitàdelproblemadicauchy Esistenza e unicitàlocale Soluzionemassimale Esistenzaglobale Esistenzaglobaleunilaterale Integrali primi Sistemidiequazionilinearidelprimoordine Sistemaomogeneo Sistemanonomogeneo Sistemi lineari con matrice A costante Sistema omogeneo con A diagonalizzabile Sistema omogeneo con A non diagonalizzabile Sistemanonomogeneo Equazioni lineari scalari di ordine n Stabilità Sistemilineariautonomi Sistemipiani Cenno alla stabilità non lineare Esercizi Soluzioni...521

10 Indice XI Appendici A.1 Complementi sul calcolo differenziale A.1.1 Differenziabilità e Teorema di Schwarz A.1.2 Sviluppi di Taylor A.1.3 Derivazione sotto il segno di integrale A.1.4Teoremadellafunzioneimplicita A.2 Complementi sul calcolo integrale A.2.1Normedifunzioni A.2.2TeoremidiGauss,GreeneStokes A.2.3Formedifferenziali Definizioni e formule notevoli Indice analitico...571