Programma di Analisi Matematica 2

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Alfonso Milani
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1 Programma di Analisi Matematica 2 Corso di Laurea in Matematica A.A. 2015/16 1. Integrali impropri del primo tipo 2. Integrali impropri del secondo tipo 3. Teorema del confronto per gli integrali impropri 4. Equazioni differenziali lineari del I ordine 5. Teorema sulle soluzioni delle equazioni differenziali lineari del I ordine 6. Teorema di Cauchy per le equazioni lineari del I ordine 7. Interpretazione geometrica delle equazioni differenziali 8. Equazioni di Bernoulli 9. Equazioni differenziali a variabili separabili 10. Equazioni differenziali lineari del II ordine 11. Teorema sul legame fra le soluzioni del problema non-omogeneo e dell omogeneo associato 12. Teorema di unicità per le equazioni differenziali lineari del II ordine 13. Teorema sulle soluzioni delle equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine 14. Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine 15. Soluzioni di equazioni non omogenee particolari 16. Metodo di variazione delle costanti 17. Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti 18. Convergenza puntuale 19. Convergenza uniforme 20. Teorema sulla continuità della funzione limite 21. Teorema sullo scambio dei limiti 22. Teorema sul criterio di Cauchy uniforme 23. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale 24. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata 25. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata sotto ipotesi generali 26. Teorema del Dini sulla convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia 27. Convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia rispetto al punto 1

2 28. Convergenza puntuale ed uniforme di una serie di funzioni 29. Convergenza totale di una serie di funzioni 30. Criteri di Cauchy puntuale ed uniforme per la convergenza di una serie di funzioni 31. Relazione fra la convergenza totale, uniforme e puntuale di una serie di funzioni 32. Teorema sulla continuità di una somma di una serie di funzioni 33. Teorema sull integrazione di una serie di funzioni 34. Teorema di derivazione per le serie di funzioni. 35. Serie di potenze 36. Raggio di convergenza delle serie di potenze 37. Teoremi sul raggio di convergenza 38. Criterio di Cauchy-Hadamard 39. Criterio di D Alambert 40. Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata 41. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze 42. Serie di Taylor 43. Teoremi sulla convergenza della serie di Taylor 44. Funzioni periodiche 45. Introduzione alle serie di Fourier 46. Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier (senza dimostrazione) 47. Teorema sulla integrazione termine a termine della serie di Fourier (senza dimostrazione) 48. Diseguaglianza di Bessel (senza dimostrazione) 49. Teorema sulla convergenza uniforme della serie di Fourier (senza dimostrazione) 50. Introduzione agli spazi metrici 51. Esempi: distanza euclidea, metriche equivalenti su R n, metriche sullo spazio delle funzioni continue (nel caso di R n dimostrazione facoltativa della disuguaglianza triangolare). 52. Prime proprietà degli spazi metrici 53. Intorni circolari 54. Cenni di topologia, definizione di topologia indotta da una metrica 55. Insiemi aperti in uno spazio metrico 56. Proprietà degli insiemi aperti (senza dimostrazione) 57. Insiemi chiusi in uno spazio metrico 2

3 58. Proprietà degli insiemi chiusi 59. Definizioni di intorno di un punto, punti interni, interno di un insieme, punti di accumulazione e chiusura di un insieme 60. Proprietà dell interno e della chiusura di un insieme 61. Definizioni di punto di frontiera, frontiera di un insieme, dominio 62. Proprietà della frontiera di un insieme 63. Insiemi limitati 64. Diametro di un insieme limitato 65. Limiti di successioni in uno spazio metrico 66. Unicità del limite di una successione 67. Limiti di funzioni in spazi metrici 68. Definizione di funzione continua in spazi metrici 69. Definizione di funzione sequenzialmente continua in spazi metrici 70. Teorema di equivalenza tra continuità e continuità sequenziale (dimostrazione facoltativa) 71. Continuità delle funzioni Lipschitziane 72. Definizione di funzione distanza di un punto da un insieme 73. Lipschitzianità e continuità della funzione distanza di un punto da un insieme 74. Teorema di separazione di due insiemi chiusi e disgiunti mediante una funzione continua 75. Definizione di spazio vettoriale 76. Lo spazio vettoriale delle funzioni continue 77. Definizioni di norma e di spazio normato 78. Esempi di spazi normati 79. Diseguaglianza di Young (dimostrazione facoltativa) 80. Diseguaglianza di Holder (dimostrazione facoltativa) 81. Diseguaglianza di Minkowski (dimostrazione facoltativa) 82. p-norma su R n 83. Alcune norme sullo spazio delle funzioni continue 84. Metrica indotta da una norma 85. Invarianza per traslazione e omogeneità della metrica indotta da una norma 86. Successioni di Cauchy in spazi metrici 87. Spazi metrici completi e spazi di Banach 3

4 88. Esempi di spazi di Banach 89. Esempi di spazi non completi 90. Teorema delle contrazioni 91. Insiemi compatti in uno spazio metrico 92. Caratterizzazione dei compatti in R n 93. Teorema di Weierstrass generalizzato 94. Norme equivalenti 95. Teorema di equivalenza delle norme in R n 96. Funzioni uniformemente continue 97. Teorema di Cantor generalizzato 98. Insiemi connessi, connessi per poligonali 99. Teorema di equivalenza tra aperti connessi e aperti connessi per poligonali in R n (senza dimostrazione) 100. Teorema del valor medio in R n 101. Funzioni reali in più variabili 102. Definizione di derivata parziale, derivata direzionale e differenziale 103. Teorema del differenziale 104. Esempi e controesempi su derivabilità e continuità 105. Differenziabilità e continuità 106. Teorema sulla derivata direzionale di una funzione differenziabile 107. Definizione di curva in R n 108. Teorema di derivazione della funzione composta 109. Derivate successive 110. Teorema di Schwarz 111. Grafico di funzioni in due variabili 112. Curve di livello 113. Forme quadratiche 114. Definizioni di matrice definita, semidefinita e indefinita 115. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite (senza dimostrazione) 116. Teorema di caratterizzazione delle matrici 2x2 (senza dimostrazione) 117. Teorema delle funzioni a gradiente nullo 118. Estremi relativi 119. Teorema: massimi e minimi relativi: condizione necessaria del primo ordine 4

5 120. Definizione di matrice Hessiana 121. Teorema: massimi e minimi relativi: una condizione necessaria del secondo ordine 122. Corollario: massimi e minimi relativi: una condizione necessaria sulle derivate pure 123. Teorema: massimi e minimi relativi: una condizione sufficiente 124. Definizione di Hessiano 125. Teorema: massimi e minimi relativi in R 2 : una condizione sufficiente 126. Formula di Taylor in R n 127. Teorema: formula di Taylor col resto di Lagrange (caso n = k senza dimostrazione) 128. Teorema: formula di Taylor del secondo ordine col resto di Peano (dimostrazione facoltativa) 129. Definizioni di insieme convesso e funzione convessa 130. Teorema: criterio di convessità per le funzioni differenziabili (dimostrazione facoltativa) 131. Teorema: criterio di convessità per funzioni C Definizione di cono e di funzione omogenea 133. Teorema di Eulero (dimostrazione facoltativa) 134. Teorema sul gradiente di una funzione omogenea 135. Funzioni definite mediante integrali 136. Continuità delle funzioni definite mediante integrali (dimostrazione facoltativa) 137. Derivabilità delle funzioni definite mediante integrali (senza dimostrazione) 138. Funzioni armoniche 139. Principio del massimo per funzioni armoniche (senza dimostrazione) 140. Teorema di unicità per il problema di Dirichlet 141. Funzioni a valori vettoriali 142. Continuità e derivabilità delle funzioni vettoriali 143. Teorema di differenziabilià per le funzioni vettoriali (senza dimostrazione) 144. Teorema di rappresentazione delle funzioni composte vettoriali (senza dimostrazione) Testi consigliati: Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi matematica vol. 1, Liguori, (1998); Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi matematica Volume I: Funzioni di una variabile, Liguori, (1974); Nicola Fusco, Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi matematica vol. 2, Liguori, (1996); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica vol. 1/2, Liguori, (1995); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica vol. 2/1, Liguori, (1995); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica vol. 2/2, Liguori, (1995); Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Esercizi e problemi di analisi matematica vol. 1, Liguori, (1979); Carlo D. Pagani e Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Masson, (1998); 5

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