Matematica generale con il calcolatore

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1 Matematica generale con il calcolatore

2 M. Impedovo Matematica generale con il calcolatore

3 MICHELE IMPEDOVO Istituto Metodi Quantitativi Università Bocconi - Milano In copertina: definizione con Mathcad della matrice di un immagine digitale (Modificata da REVOLVER, The Beatles, 1966) Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 2005 ISBN Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dall Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: New Press, Como

4 Indice Introduzione Calcolo numerico e calcolo simbolico Numeri Discreto e continuo Variazioni: modello additivo e modello moltiplicativo Numeri casuali Algoritmi e simulazioni: il metodo Monte Carlo Campioni da una popolazione Campioni senza reinserimento Campioni ordinati Permutazioni Campioni non ordinati La distribuzione binomiale Campioni con reinserimento L'approssimazione di Stirling Modelli discreti Sequenze e successioni Legge generale e legge ricorsiva Successioni lineari e successioni esponenziali Capitalizzazione semplice e capitalizzazione composta Tassi equivalenti Ammortamento a quota capitale costante Successioni potenza Confronto tra potenze ed esponenziali Successioni polinomiali Successioni convergenti e divergenti Successioni limitate Il numero e Confronto tra comportamenti asintotici Confronto tra successioni divergenti Confronto tra successioni convergenti Somme e serie Il simbolo di sommatoria Media e varianza Variabili statistiche e variabili aleatorie Somme di potenze... 77

5 VI Indice La distribuzione geometrica Valore attuale netto (VAN) di un'operazione finanziaria Ammortamento a rata costante Serie Serie convergenti e divergenti La serie armonica La serie delle potenze con esponente negativo La serie esponenziale (o geometrica) Numeri decimali periodici Rendite perpetue La convergenza della serie Valore atteso di una variabile aleatoria infinita (discreta) La serie dei fattoriali Modelli continui Le funzioni elementari Composizione di funzioni Funzioni inverse Funzioni circolari Funzioni lineari Interpolazione lineare Modelli economici lineari Break-even point Punto di inversione delle preferenze Equilibrio del mercato Funzioni lineari a tratti La retta dei minimi quadrati Funzioni quadratiche La pendenza in un punto di una funzione quadratica Convessità e concavità Il modello del monopolista Funzioni potenza Approssimazione della pendenza locale Modelli con le funzioni potenza Funzioni esponenziali Il logaritmo Cambiamenti di base Proprietà del logaritmo Il logaritmo decimale e l'ordine di grandezza Grafici in scala logaritmica Riconoscimento di funzioni potenza e funzioni esponenziali La funzione di Gauss Trasformazioni lineari Limiti e comportamenti asintotici Asintoti Funzioni continue Risolvere equazioni Algoritmo di bisezione Il tasso interno di un'operazione finanziaria

6 Introduzione VII 5. Derivate e integrali Funzioni derivabili Funzioni non derivabili La derivata in un punto La funzione derivata La derivata delle funzioni elementari La derivata delle funzioni potenza La derivata delle funzioni esponenziali La derivata della somma e del prodotto di funzioni La derivata delle funzioni composte La derivata del quoziente di due funzioni Derivata della funzione inversa La derivata delle funzioni circolari Funzioni crescenti e decrescenti Gestione ottima di magazzino Interpretazioni della derivata Tasso istantaneo di variazione Elasticità Elasticità della domanda Algoritmo di Newton Il teorema del valor medio Le derivate di ordine successivo Funzioni convesse e concave Polinomi di Taylor L'errore dei polinomi di Taylor Integrali La definizione di integrale definito Confronto tra approssimazioni Il teorema fondamentale del calcolo Calcolo di antiderivate Proprietà degli integrali definiti La media di una funzione su un intervallo Integrali impropri Integrali impropri e serie Variabili aleatorie continue La distribuzione normale La distribuzione esponenziale La distribuzione uniforme Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria continua Simulazioni di variabili aleatorie continue La media campionaria La funzione integrale La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua Modelli discreti a più dimensioni Vettori Combinazioni lineari di vettori Vettori linearmente indipendenti Prodotto scalare tra vettori

7 VIII Felix Klein 6.2 Matrici Matrici e immagini digitali Il prodotto matrice-vettore Il prodotto matrice-matrice Matrice inversa determinante di matrici 2 x Matrice inversa determinante di matrici n x n Rango di una matrice Sistemi lineari Imposte e donazioni Arbitraggi Polinomi di Taylor Algoritmo di Gauss Algoritmo di Cramer Interpolazione e approssimazione polinomiale Cubic spline Matrici e funzioni lineari Grafica vettoriale Il modello input-output di Leontief Catene di Markov Matrici di Leslie Modelli continui a più dimensioni Funzioni reali di un vettore La derivata prima Derivabilità e differenziabilità Il vettore gradiente e le curve di livello La derivata seconda Ottimizzazione Valutazioni numeriche Il metodo dei minimi quadrati Algoritmi di ottimizzazione Ottimizzazione con vincoli Funzione di Cobb-Douglas con vincolo lineare Il metodo del moltiplicatore di Lagrange Modelli dinamici SDD lineari di dimensione Assorbimento di farmaci Vivere di rendita Costituzione di capitale Modello di Malthus discreto Diagramma di fase SDC lineari di dimensione Equivalenza tra modelli discreti e modelli continui Modello di Malthus continuo Dinamica del mercato: un modello fisico Diagramma di fase SDD non lineari di dimensione Algoritmo di Newton

8 Introduzione IX Equazione logistica discreta Crescita logistica con prelievo costante Successioni caotiche Modelli di simulazione Il gioco di Collatz SDC non lineari di dimensione Equazioni differenziali a variabili separabili Diagramma di fase Equazione logistica continua Algoritmo di Eulero SDD di dimensione n Numeri complessi e autovalori di una matrice Catene di Markov Matrici di Leslie Epidemia SIR Triangolo di Sierpinski Insieme di Mandelbrot SDC di dimensione n Teorema di linearizzazione Il modello preda-predatore Due marche in competizione Bibliografia Indice analitico