Numeri e Crittografia

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1 Numeri e Crittografia

2 s. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia ~ Springer

3 S. LEONESI Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze e Tecnologie Università di Camerino, Camerino C. TOFFALORI Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze e Tecnologie Università di Camerino, Camerino Springer-Verlag fa parte di Springer Science+ Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 2006 ISBN lo ISBN Quest'opera è protetta dalla legge sul diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest'opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d'autore, ed è soggetta all'autorizzazione dell'editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. I:utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest'opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum, Bollate (Mi)

4 Indice Introduzione... VII 1 Dalla Crittografia ai Numeri Giulio Cesare e Sherlock Holmes L'ABC della Crittografia Esistono Criptosistemi Perfetti? Crittografia a Chiave Pubblica Problemi del millennio Teoria dei Numeri e Crittografia Primi e Composti Divisori, resti e quozienti Una parentesi computazionale Il Teorema Fondamentale dell'aritmetica Il Teorema dei Numeri Primi Riconoscere i Primi? Generare i Primi Numeri e Misteri Potenze, Radici e Logaritmi Introduzione L'Aritmetica dell'orologio Radici Quadrate e Resti Cinesi Potenze Il Piccolo Teorema di Fermat La funzione cjj e il Teorema di Eulero Campi finiti Logaritmi discreti I simboli di Legendre e di Jacobi La Legge di Reciprocità Quadratica di Gauss Ancora Radici Quadrate... 81

5 VI Indice 3.12 Curve Ellittiche, per finire Il Problema della Primalità Dagli antichi Greci ad AKS Gli Pseudoprimi di Carmichael Variazioni sul Piccolo Teorema di Fermat Primi e N P L'Algoritmo di Solovay-Strassen L'Algoritmo di Miller-Rabin AKS: l'algoritmo di Agrawal-Kayal-Saxena Variazioni su AKS Il Problema della Fattorizzazione Introduzione Il Metodo p-l Il Metodo p Fattorizzazione alla Fermat Fattorizzazione e Curve Ellittiche Riflessioni finali Ancora Crittografia Crittografia a Chiave Pubblica Il Logaritmo Discreto e il Criptosistema di Diffie-Hellman Doppi Lucchetti Il Problema dello Zaino Il Criptosistema RSA Attacchi arsa Crittografia e Curve Ellittiche Firme digitali Protocolli a Conoscenza Zero Testa o Croce telefonico Poker al telefono Riferimenti bibliografici Indice analitico

6 Introd uzione L'Aritmetica, o Teoria dei Numeri, è una delle discipline più antiche della Matematica. I numeri che tratta sono quelli che si chiamano naturali 0, 1, 2,... e che adoperiamo sin da bambini per contare. Apparentemente semplici e innocui, nascondono tuttavia alcuni dei misteri più difficili e appassionanti dell'intera Matematica. La Crittografia si interessa invece di nascondere a occhi indiscreti il contenuto di comunicazioni riservate. Corrisponde a esigenze largamente diffuse nella nostra società; infatti la possibilità di usare strumenti telematici per acquisti, o per transazioni di denaro, o addirittura per esprimere il voto elettorale, richiede protocolli capaci di garantire la segretezza dei dati trasmessi e la privacy personale. La Teoria dei Numeri può soccorrere la Crittografia in queste sue esigenze; proprio grazie ai misteri che ancora la avvolgono, riesce a fornire idee e strategie per la architettura di protocolli di sicurezza. Il libro che presentiamo dà resoconto di questo collegamento. Introduce dapprima la Crittografia moderna, i suoi obiettivi, le sue priorità, le sue necessità. Passa poi a esporre argomenti di Teoria dei Numeri, con particolare riferimento ai due problemi di riconoscere i numeri primi, e di decomporre un naturale nei suoi fattori primi; per ognuna delle due questioni fornisce un vasto panorama degli algoritmi che la trattano e cercano di risolverla nel modo più efficiente possibile. In particolare presenta la recentissima procedura AK S per riconoscere i numeri primi. Il libro torna poi alla Crittografia e mostra come idee e metodi di Teoria dei Numeri si applichino alla costruzione di procedure affidabili per la trasmissione sicura delle informazioni riservate. Gli argomenti trattati corrispondono dunque in modo naturale a un corso del terzo anno di una Laurea Triennale in Matematica, o del successivo biennio della Laurea Specialistica. Può interessare e coinvolgere anche studenti di Informatica. Del resto, il libro deriva direttamente da esperienze didattiche svolte per vari anni nell'università di Camerino. Alcuni colleghi di altre sedi

7 VIII Introduzione hanno avuto la bontà di apprezzare le note che da queste esperienze furono tratte qualche tempo fa e che forniscono la base del libro stesso. Speriamo che anche i nostri lettori possano gradire allo stesso modo questo nostro lavoro.