UNITEXT La Matematica per il 3+2

Transcript

1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 112 Editor-in-Chief A. Quarteroni Series Editors L. Ambrosio P. Biscari C. Ciliberto C. De Lellis M. Ledoux V. Panaretos W.J. Runggaldier

2

3 Rocco Chirivì Ilaria Del Corso Roberto Dvornicich Esercizi scelti di Algebra Volume 2

4 Rocco Chirivì Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi University of Salento Lecce, Italy Roberto Dvornicich Dipartimento di Matematica University of Pisa Pisa, Italy Ilaria Del Corso Dipartimento di Matematica University of Pisa Pisa, Italy ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISBN ISBN (ebook) Springer-Verlag Italia S.r.l., part of Springer Nature 2018 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, [email protected] e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Immagine di copertina: Quadrati, cerchi e simmetrie 2 di Rocco Chirivì (2018) Questa edizione è pubblicata da Springer-Verlag Italia S.r.l., part of Springer Nature, con sede legale in Via Decembrio 28, Milano, Italia

5 Ad Andrea, che sa cos è la matematica Rocco A Francesca, con l augurio che sappia scoprire e coltivare le proprie passioni Ilaria Ai giovani che già amano o che potrebbero amare la matematica Roberto

6 Prefazione Questo secondo volume di esercizi è il completamento del primo. Come il volume precedente raccoglie i testi e le soluzioni degli esercizi proposti al corso di laurea in Matematica dell Università di Pisa negli ultimi anni ed è corredato da alcuni richiami di teoria e da una serie di esercizi preliminari. Rimangono validi i motivi che ci hanno spinto a scrivere questo libro e il suo scopo, per cui rimandiamo in gran parte alla prefazione del primo volume. Molto succintamente, questi volumi nascono dalla nostra convinzione che per studiare e capire a fondo l algebra, e in generale la matematica, non basta seguire le lezioni, imparare i teoremi e le loro dimostrazioni; bisogna invece applicare lo studio ad esempi concreti: in pratica risolvere degli esercizi. Anche gli esercizi, però, possono essere di tipi diversi. Per esempio, essi possono richiedere procedimenti abbastanza semplici o immediatamente derivabili dall applicazione delle definizioni e dei teoremi, oppure possono richiedere di avere comunque in mente la teoria ma anche di avere un idea, per ricavare informazioni nuove. I lettori di questo libro si accorgeranno subito che gli esercizi del primo tipo non ci sono, e dovranno rassegnarsi ad abbandonare le speranze di soluzioni facili per dedicarsi invece ad un impegno molto più profondo. Ma è così che si fa, perché la matematica non è un romanzo da leggere: è una storia da reinventare. Per questo, consigliamo vivamente i lettori di armarsi di pazienza e di non guardare mai le soluzioni degli esercizi prima di averci pensato abbastanza a lungo. Ci preme sottolineare un paio di altri aspetti. Il primo, che gli appassionati di matematica, ad ogni livello, sono anche affascinati dalla sua bellezza; il secondo, che essere appassionati vuol dire automaticamente essere curiosi della verità. Abbiamo quindi cercato di includere in molti degli esercizi il nostro criterio di bellezza e lo spirito di curiosità che ci ha sempre animato. Vogliamo sperare che, anche da questo punto di vista, i lettori possano trarne qualche giovamento. Come per il primo volume, l organizzazione del libro segue lo sviluppo storico dell insegnamento dell algebra nei primi anni del corso di laurea in Matematica dell Università di Pisa. Quando è stata introdotta la differenziazione fra laurea triennale e laurea magistrale, il corso precedente di Algebra è stato diviso in due parti, vii

7 viii Prefazione attualmente chiamate Aritmetica e Algebra 1: queste due parti corrispondono esattamente ai due volumi del libro. La parte di Aritmetica, a cui è dedicato il primo volume, riguarda essenzialmente lo studio di strumenti di base, quali l induzione, alcuni elementi di calcolo combinatorio, i numeri interi e le congruenze. A ciò segue un introduzione allo studio delle proprietà basilari delle strutture algebriche: i gruppi abeliani, gli anelli, i polinomi e le loro radici, le estensioni dei campi e i campi finiti. La parte di Algebra 1, trattata in questo secondo volume, comprende un approfondimento della teoria dei gruppi, gli anelli commutativi con particolare riferimento alla fattorizzazione unica, le estensioni dei campi e le nozioni fondamentali della teoria di Galois. Ciascuna parte è accompagnata da richiami teorici riguardanti la materia oggetto degli esercizi. Tale parte teorica, benché esaustiva, non ha comunque la pretesa di sostituire un libro di testo di algebra e, in particolare, i risultati richiamati non hanno dimostrazione. (Per ogni approfondimento il lettore può consultare, ad esempio, il volume Algebra di I. N. Herstein, Editori Riuniti, oppure Algebra di M. Artin, Bollati Boringhieri.) Il libro contiene inoltre una serie di esercizi preliminari. Essi dovrebbero essere affrontati per primi in quanto le loro conclusioni sono spesso usate nelle soluzioni degli esercizi successivi. Vogliamo infine sottolineare che tutte le soluzioni qui proposte usano solo gli strumenti teorici richiamati e gli esercizi preliminari. L utilizzo di teoremi più avanzati permetterebbe di risolvere in modo più agevole, o in alcuni casi renderebbe banali, gli esercizi; ma ciò è del tutto contrario allo spirito con cui questo libro è stato scritto. Ringraziamenti. Vogliamo ringraziare Filippo Callegaro per aver collaborato alla preparazione di alcuni esercizi e Alessandro Berarducci per i suoi consigli; le dottoresse Francesca Bonadei e Francesca Ferrari di Springer Italia per il loro prezioso aiuto. Infine, il nostro ringraziamento particolare va a tutti gli studenti che negli anni hanno seguito le nostre lezioni e affrontato gli esercizi qui proposti agli esami. Aggiornamenti. Invitiamo i lettori a farci avere le loro impressioni e a segnalarci eventuali errori, quasi inevitabili in un libro con dettagliate soluzioni di centinaia di esercizi, via posta elettronica a [email protected], [email protected] o [email protected]. Per aggiornamenti e errata corrige è possibile consultare la pagina web Pisa e Lecce, Italia luglio 2018 Rocco Chirivì Ilaria Del Corso Roberto Dvornicich

8 The nice thing about mathematics is doing mathematics Pierre Deligne

9 Indice 1 Richiami di teoria I gruppi Concetti di base Iteoremidiomomorfismo I gruppi liberi Presentazioni di gruppi Il gruppo diedrale Automorfismi di gruppi I commutatori e l abelianizzato Azioni di gruppi Azione per coniugio Azione per moltiplicazione I p gruppi Lepermutazioni I gruppi abeliani Ilprodottosemidiretto IteoremidiSylow I gruppi semplici Glianelli Concetti di base Ideali massimali e primi Gli anelli quoziente Le operazioni con ideali Il campo dei quozienti e le localizzazioni Divisibilità IdominiEuclidei I domini ad ideali principali I domini a fattorizzazione unica GliinteridiGauss IcampielateoriadiGalois Concetti di base xi

10 xii Indice Estensionidiomomorfismi La corrispondenza di Galois Leestensioniciclotomiche CostruzioniconRigaeCompasso EserciziPreliminari Esercizi Gruppi Anelli CampieteoriadiGalois Soluzioni Gruppi Anelli CampieteoriadiGalois Indice analitico