Analisi dei sistemi dinamici

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1 Analisi dei sistemi dinamici

2 A. Giua, C. Seatzu Analisi dei sistemi dinamici ~ Springer

3 ALESSANDRO GIUA Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Università di Cagliari, Cagliari CARLA SEATZU Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Università di Cagliari, Cagliari In copertina: "Senza titolo", olio su tela, riprodotto per gentile concessione del maestro Antonio Mallus. Springer-Verlag fa parte di Springer Science+ Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 2006 ISBN ISBN Quest'opera è protetta dalla legge sul diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfùm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest'opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d'autore, ed è soggetta all'autorizzazione dell'editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. I:utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest'opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum, Bollate (Mi)

4 Prefazione Il nuovo ordinamento didattico ha reso necessario un rapido adeguamento dei programmi degli insegnamenti e dei manuali universitari. La principale novità introdotta dal nuovo ordinamento consiste nella frammentazione dei corsi monolitici della vecchia laurea in corsi più semplici, ripartiti su più anni o addirittura su più corsi di studio: laurea di base e laurea specialistica. I classici testi che hanno formato la scuola dell'automatica in Italia non sono adeguati alla laurea di base, non solo perché presuppongono una maturità matematica che gli studenti non possono ancora avere raggiunto, ma anche perché presentano i vari argomenti ad un livello di dettaglio molto superiore a quello che i tempi ristretti della laurea di base permettono di adottare. D'altro canto, per lo studente che prosegue gli studi fino al conseguimento della laurea specialistica è utile disporre di un unico manuale inteso come guida ed approfondimento per lo studio di una disciplina. L'esperienza delle università anglosassoni, in cui da sempre esiste un percorso di base (bachelor) seguito da uno specialistico (master), ci ha insegnato l'utilità di manuali che possano essere usati a più livelli. Il testo che presentiamo è dedicato all'analisi dei sistemi a tempo continuo. Esso è principalmente dedicato allo studio dei sistemi lineari, ma contiene anche qualche cenno ai sistemi non lineari. In esso sono trattati sia i modelli ingresso-uscita che i modelli in variabili di stato. Le tecniche di analisi presentate coprono sia lo studio nel dominio del tempo, che nel dominio della variabile di Laplace e nel dominio della frequenza. Benché si sia cercato di mostrare le interconnessioni tra tutte queste tecniche di analisi, i vari argomenti sono trattati in capitoli e sezioni a sé stanti: nelle nostre intenzioni ciò consente al testo di venir utilizzato quale sussidio didattico per un insegnamento che affronti solo una parte di tali argomenti. Il testo copre i contenuti di: un insegnamento di analisi dei sistemi (o teoria dei sistemi) dedicato all'analisi dei sistemi lineari a tempo continuo per la laurea di base; uno o più insegnamenti di complementi di analisi dei sistemi per la laurea specialistica.

5 VI Prefazione Ciò ha reso necessario una ristrutturazione della presentazione per consentire due diversi percorsi di lettura. Per prima cosa, si è posta particolare attenzione nel presentare ogni argomento attraverso una serie di risultati che vengono dapprima chiaramente enunciati e poi dimostrati. Ad una prima lettura è sempre possibile saltare la dimostrazione, perché uno o più esempi chiariscono come il risultato debba essere applicato. Tuttavia,!addove il lettore voglia approfondire l'argomento, la dimostrazione costituisce un utile complemento: grande cura è stata posta nel presentare ogni dimostrazione in termini semplici e intuitivi, per quanto possibile. In secondo luogo, si sono previste delle intere sezioni (e perfino un intero capitolo, il numero 12) dedicate ad argomenti di approfondimento. Tali sezioni sono indicate con un asterisco e possono essere saltate senza compromettere la comprensione del restante materiale. A complemento del materiale didattico presentato nel testo sono disponibili sul sito http: l / una serie di esercizi svolti e di programmi MATLAB che riteniamo essere utili agli studenti. Vorremmo ringraziare i colleghi Maria Maddalena Pala e Elio Usai che hanno letto le bozze di alcuni capitoli di questo libro, suggerendoci utili modifiche. Un ulteriore ringraziamento va anche a tutti gli studenti e i tutori del corso di Analisi dei Sistemi dell'università di Cagliari, che negli anni hanno letto e corretto una serie di appunti e dispense da cui poi questo testo ha preso corpo. Infine un ringraziamento speciale va alle nostre famiglie che ci hanno sostenuto colmando quelle mancanze che il lavoro impegnativo svolto per realizzare questo libro ha inevitabilmente generato. Cagliari, settembre 2005 Alessandro Giua e Carla Seatzu

6 Indice Prefazione V l Introduzione l l. l Automatica e sistemi l 1.2 Problemi affrontati dall'automatica Modellazione Identificazione Analisi Controllo Ottimizzazione Verifica Diagnosi di guasto Classificazione dei sistemi Sistemi ad avanzamento temporale Sistemi ad eventi discreti Sistemi ibridi Sistemi, modelli e loro classificazione Descrizione di sistema Descrizione ingresso-uscita Descrizione in variabili di stato Modello matematico di un sistema Modello ingresso-uscita Modello in variabili di stato Formulazione del modello matematico Sistemi idraulici Sistemi elettrici Sistemi meccanici Sistemi termici Proprietà dei sistemi Sistemi dinamici o istantanei

7 VIII Indice Sistemi lineari o non lineari Sistemi stazionari o non stazionari Sistemi propri o impropri Sistemi a parametri concentrati o distribuiti Sistemi senza elementi di ritardo o con elementi di ritardo.. 39 Esercizi Analisi nel dominio del tempo dei modelli ingresso-uscita Modello ingresso-uscita e problema di analisi Problema fondamentale dell'analisi dei sistemi Soluzione in termini di evoluzione libera e evoluzione forzata Equazione omogenea e modi Radici complesse e coniugate L'evoluzione libera Radici complesse e coniugate Istante iniziale diverso da O Classificazione dei modi Modi aperiodici Modi pseudoperiodici La risposta impulsiva Struttura della risposta impulsiva Calcolo della risposta impulsiva[*] L'evoluzione forzata e l'integrale di Duhamel Integrale di Duhamel Scomposizione in evoluzione libera ed evoluzione forzata Calcolo della risposta forzata mediante convoluzione Altri regimi canonici[*] Esercizi Analisi nel dominio del tempo delle rappresentazioni in variabili di stato Rappresentazione in variabili di stato e problema di analisi La matrice di transizione dello stato Proprietà della matrice di transizione dello stato [*] Lo sviluppo di Sylvester Formula di Lagrange Evoluzione libera e evoluzione forzata Risposta impulsiva di una rappresentazione in VS Trasformazione di similitudine Diagonalizzazione Calcolo della matrice di transizione dello stato tramite diagonalizzazione Matrici con autovalori complessi [*] Forma di Jordan Determinazione di una base di autovettori generalizzati[*]. 114

8 Indice IX Matrice modale generalizzata Calcolo della matrice di transizione dello stato tramite forma di Jordan Matrice di transizione dello stato e modi Polinomio minimo e modi Interpretazione fisica degli autovettori Esercizi La trasformata di Laplace Definizione di trasformata e antitrasformata di Laplace Trasformata di Laplace Antitrasformata di Laplace Trasformata di segnali impulsivi Calcolo della trasformata della funzione esponenziale Proprietà fondamentali delle trasformate di Laplace Proprietà di linearità Teorema della derivata in s Teorema della derivata nel tempo Teorema dell'integrale nel tempo Teorema della traslazione nel tempo Teorema della traslazione in s Teorema della convoluzione Teorema del valore finale Teorema del valore iniziale Antitrasformazione delle funzioni razionali Funzioni strettamente proprie con poli di molteplicità unitaria Funzioni strettamente proprie con poli di molteplicità maggiore di uno Funzioni non strettamente proprie Antitrasformazione di funzioni con elementi di ritardo Esistenza del valore finale di una antitrasformata Risoluzione di equazioni differenziali mediante le trasformate di Laplace Esercizi Analisi nel dominio della variabile di Laplace Analisi dei modelli ingresso-uscita mediante trasformate di Laplace Risposta libera Risposta forzata Analisi dei modelli in variabili di stato mediante trasformate di Laplace La matrice risolvente Esempio di calcolo dell'evoluzione libera e forzata Funzione di trasferimento Definizione di funzione e matrice di trasferimento

9 X Indice Funzione di trasferimento e risposta impulsiva Risposta impulsiva e modello ingresso-uscita Identificazione della funzione di trasferimento Funzione di trasferimento per modelli in variabile di stato Matrice di trasferimento Matrice di trasferimento e similitudine Passaggio da un modello in VS a un modello IU Sistemi con elementi di ritardo Forme fattorizzate della funzione di trasferimento Rappresentazione residui-poli Rappresentazione zeri-poli Rappresentazione di Bode Studio della risposta forzata mediante le trasformate di Laplace Risposta forzata ad ingressi canonici La risposta a regime permanente e la risposta transitoria Risposta indiciale Esercizi Realizzazione di modelli in variabili di stato e analisi dei sistemi interconnessi Realizzazione di sistemi SISO Introduzione Cason=m=O Cason>Oem=O Caso n m> ~ O Passaggio da un insieme di condizioni iniziali sull'uscita ad uno stato iniziale Studio dei sistemi interconnessi Collegamenti elementari Algebra degli schemi a blocchi Determinazione della matrice di trasferimento per sistemi MIMO Esercizi Analisi nel dominio della frequenza Risposta armonica Risposta a regime ad un ingresso sinusoidale Definizione di risposta armonica Determinazione sperimentale della risposta armonica Risposta a segnali dotati di serie o trasformata di Fourier Diagramma di Bode Regole per il tracciamento del diagramma di Bode Esempi numerici Parametri caratteristici della risposta armonica e azioni filtranti Parametri caratteristici

10 Indice XI Azioni filtranti Esercizi Stabilità Stabilità BIBO Stabilità secondo Lyapunov delle rappresentazioni in termini di variabili di stato Stati di equilibrio Definizioni di stabilità secondo Lyapunov Stabilità secondo Lyapunov dei sistemi lineari e stazionari Stati di equilibrio Stabilità dei punti di equilibrio Esempi di analisi della stabilità Confronto tra stabilità BIBO e stabilità alla Lyapunov Criterio di Routh Esercizi lo Analisi dei sistemi in retroazione Controllo in retroazione Luogo delle radici Regole per il tracciamento del luogo Criterio di Nyquist Diagramma di Nyquist Criterio di Nyquist Luoghi per calcolare W (jw) quando G (jw) è assegnata graficamente Carta di Nichols Luoghi sul piano di Nyquist Esercizi Controllabilità e osservabilità Controllabilità Verifica della controllabilità per rappresentazioni arbitrarie Verifica della controllabilità per rappresentazioni diagonali Controllabilità e similitudine Forma canonica controllabile di Kalman [*] Retroazione dello stato [*] Ingresso scalare Ingresso non scalare Osservabilità Verifica della osservabilità per rappresentazioni arbitrarie Verifica della osservabilità per rappresentazioni diagonali Osservabilità e similitudine Forma canonica osservabile di Kalman [*] Dualità tra controllabilità e osservabilità Osservatore asintotico dello stato [*]

11 XII Indice 11.6 Retroazione dello stato in presenza di un osservatore [*] Controllabilità, osservabilità e relazione ingresso-uscita l Forma canonica di Kalman Relazione ingresso-uscita Raggiungibilità e ricostruibilità [*] Controllabilità e raggiungibilità Osservabilità e ricostruibilità Esercizi Analisi dei sistemi non lineari Cause tipiche di non linearità Effetti tipici delle non linearità Studio della stabilità mediante funzione di Lyapunov Funzioni definite positive o negative Metodo diretto di Lyapunov Linearizzazione intorno ad uno stato di equilibrio e stabilità Esercizi Appendici A Richiami ai numeri complessi A. l Definizioni elementari A.2 I numeri complessi A.2.1 Rappresentazione cartesiana A.2.2 Esponenziale immaginario A.2.3 Rappresentazione polare A.3 Formule di Eulero B Segnali e distribuzioni B.l Segnali canonici B.l.l Il gradino unitario B.1.2 Le funzioni a rampa e la rampa esponenziale B.1.3 L'impulso B.1.4 Le derivate dell'impulso B.1.5 Famiglia dei segnali canonici B.2 Calcolo delle derivate di una funzione discontinua B.3 Integrale di convoluzione BA Convoluzione con segnali canonici C Elementi di algebra lineare C. l Matrici e vettori C.2 Operatori matriciali C.2.1 Trasposizione C.2.2 Somma e differenza C.2.3 Prodotto di una matrice per uno scalare C.2.4 Prodotto matriciale

12 Indice XIII C.2.5 Potenza di una matrice C.2.6 L'esponenziale di una matrice C.3 Determinante C.4 Rango e nullità di una matrice C.5 Sistemi di equazioni lineari C.6 Inversa C.7 Autovalori e autovettori D Matrici in forma compagna e forme canoniche D.1 Matrici in forma compagna D.1.1 Polinomio caratteristico D.2 Forme canoniche delle rappresentazioni in variabili di stato D.2.1 Forma canonica di controllo D.2.2 Forma canonica di osservazione D.3 Autovettori di una matrice in forma compagna D.3.1 Autovettori D.3.2 Autovettori generalizzati[*] D.3.3 Matrici in forma compagna trasposta E Lineare indipendenza di fnnzioni del tempo F Serie e integrale di Fourier F.1 Serie di Fourier F.1.1 Forma esponenziale F.1.2 Forma trigonometrica F.2 Integrale e trasformata di Fourier F.2.1 Forma esponenziale F.2.2 Forma trigonometrica F.3 Relazione tra trasformata di Fourier e di Laplace G Teorema di Cayley-Hamilton e calcolo di funzioni matriciali G.1 Teorema di Cayley-Hamilton G.2 Teorema di Cayley-Hamilton e polinomio minimo G.3 Funzioni analitiche di una matrice Bibliografia Indice analitico