Indice. 5 Basi di Gröbner Ideali monomiali Basi di Gröbner... 22

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1 Prefazione In questo breve testo delineiamo la teoria delle basi di Gröbner avendo presente il problema della discussione e della risoluzione di un sistema di equazioni polinomiali come si presenta ad un utilizzatore, e quindi in un modo diverso da come lo si può affrontare in un corso avanzato di matematica. Ci siamo proposti di affiancare le nozioni di algebra lineare che vengono comunemente impartite nei corsi istituzionali universitari con poche nozioni fondamentali di algebra astratta, necessarie per utilizzare correttamente il calcolo simbolico e finalizzate ai sistemi di equazioni, mettendo in evidenza somiglianze e differenze tra sistemi polinomiali di grado qualsiasi e sistemi lineari. Tenendo presente lo schema di Berndt Sturmfels in un suo breve e chiaro intervento in Notices of the AMS, illustriamo come il processo di costruire una base di Gröbner a partire da un insieme di polinomi generalizzi tre tecniche familiari: l eliminazione gaussiana per la soluzione di sistemi di equazioni lineari, l algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore di due polinomi in una variabile, e l algoritmo del simplesso per la programmazione lineare. L idea di scrivere questo lavoro è nata quando alcuni ricercatori ingegneri ci hanno sottoposto il problema di esprimere le intersezioni reali di un sistema di quadriche, dipendente da un parametro, in modo esatto, e non approssimato attraverso il calcolo numerico a loro familiare. Lavorando insieme, ci siamo convinti che la mancanza di un introduzione teorica appropriata ai sistemi di equazioni polinomiali rende difficile anche usare al meglio gli strumenti di calcolo simbolico oggi disponibili su PC. Pensiamo tuttavia di aver presentato un esposizione utile non soltanto agli studenti delle facoltà scientifiche e di ingegneria per i quali è stata concepita, ma anche agli insegnanti di matematica delle scuole superiori, perché fornisce un esempio di come astrazioni progressivamente maggiori non siano necessariamente determinate dal fatto che la matematica ha come oggetto di studio se stessa, ma discendano semplicemente dalla loro utilità nell affrontare problemi via via più complessi. Già la geometria analitica elementare offre esempi di problemi polinomiali, non lineari: dunque anche un buono studente delle scuole superiori può essere interessato a conoscere gli elementi fondamentali della teoria. La teoria dell eliminazione ha origini ottocentesche, e così l idea delle basi di Gröbner: ma solo il metodo di calcolo introdotto da Bruno Buchberger nella sua tesi dottorale del 1965 ne permette la determinazione effettiva e quindi la possibilità di usarle, oggi non solo in geometria algebrica, ma dovunque si presentino modelli polinomiali.

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3 Indice 1 Richiami sui sistemi lineari Sistemi lineari omogenei Spazi vettoriali Sistemi lineari non omogenei Risoluzione dei sistemi lineari Sistemi polinomiali Confronto con i sistemi lineari Il calcolo degli zeri di un ideale Teorema degli zeri (Nullstellensatz di Hilbert) Divisibilità negli anelli Z e R[x] DivisibilitàinZ Esistenza del quoziente e del resto fra due interi Gli ideali di Z Richiami sulla divisibilitàinr[x] Esistenza e unicità del quoziente e del resto di due polinomi Esistenza del MCD di due polinomi di R[x] Sul massimo comun divisore di più polinomi di R[x] DivisibilitàinR[x 1,...,x n ] Considerazioni sulla divisibilitàinr[x 1,...,x n ] Ordinamenti nell insieme dei termini di R[x] Riduzione di polinomi in R[x] Basi di Gröbner Ideali monomiali Basi di Gröbner Costruzione di una base di Gröbner Alcune definizioni L algoritmo di Buchberger... 26

4 X Indice 7 Programmazione lineare intera Introduzione ed esempi Ordinamento monomiale adattato Criterio di risolubilità Basi di Gröbner e sistemi polinomiali Sistemi con un numero finito di zeri Caratterizzazione dei sistemi con un numero finito di zeri attraverso le basi di Gröbner Caratterizzazione degli ideali zero-dimensionali attraverso le basi di Gröbner Esempi di ideali impropri e di ideali zero-dimensionali Il numero degli zeri di un ideale zero-dimensionale Limitazioni per il numero degli zeri Anello quoziente Teorema sul numero degli zeri Sistemi con un numero infinito di zeri Indipendenza di variabili e dimensione di un ideale Calcolo di soluzioni nel caso non zero-dimensionale Problemi ed esercizi Alcuni problemi geometrici Discussione di sistemi lineari, dipendenti da un parametro, col metodo delle basi di Grobner Problemi geometrici, dipendenti da un parametro, risolti col metodo delle basi di Grobner Zeri reali Basi di Grobner e Sudoku Il gioco del Sudoku Equazioni associate alle colorazioni Esempio di soluzione di un Sudoku Un altro problema Appendice Basi di Grobner e metodo del simplesso Sistemi di disequazioni lineari: definizioni ed esempi Forma canonica di un sistema di disequazioni lineari Soluzioni ammissibili di base e teorema fondamentale Programmazione lineare canonica. Soluzione ammissibile ottimale Il metodo del simplesso nel caso canonico (con disequazioni dello stesso segno) Cenno alla programmazione lineare intera

5 Indice XI 12 Complementi: metodo degli autovalori, risultanti, cenni storici Il metodo degli autovalori Altri esempi di calcolo di zeri Polinomi risultanti Cenni storici Appendice 99 A.1 Gruppo commutativo A.2 Campo A.3 Anello commutativo con unità A.4 Divisori dello zero A.5 Sottogruppo, sottocampo, sottoanello A.6 Ideale A.7 Anello quoziente A.8 Spazio vettoriale su un campo A.9 Teorema di Cayley-Hamilton e polinomio minimo di un endomorfismo A.10 Ordinamenti A.10.1 Relazione d ordine su un insieme A.10.2 Relazione d ordine totale su un insieme A.10.3 Buon ordinamento A.10.4 Lemma di Dickson A.10.5 Teorema A.11 Teorema A.12 Complementi per il metodo del simplesso A.12.1 Teorema fondamentale A.12.2 Lemma A.12.3 Corollario del teorema fondamentale A.12.4 Teorema Bibliografia 109 Indice analitico 111