COMPLEMENTI DI ANALISI VETTORIALE

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1 COMPLEMENTI DI ANALISI VETTORIALE Giovanni Maria Troianiello 8 novembre 04

2 RICEVIMENTO NELLO STUDIO 8 DI MATEMATICA IL VENERDÌ ALLE 5 STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL APPELLO STRAORDINARIO INVERNALE RAFFA (C) TOSTI GUERRA (C) (A: 7 30, B: 4-6, C: 9-3, D: 5-8) ORALI DELL APPELLO STRAORDINARIO INVERNALE STUDIO 8 DI MA- TEMATICA MERCOLEDÌ 3/ ALLE 5 RAFFA PARDO SANNA SCETTRI VENERDÌ 5/ ALLE SOCCODATO VENERDÌ 5/ ALLE 5 TOSTI GUERRA CORREZIONE DELLO SCRITTO DEL Esercizio Sia f(x, y) = x( cos y) x + y, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. Studiare la derivabilità, la differenziabilità e l esistenza delle derivate direzionali in (0, 0). Risposta La funzione è continua in (0, 0) dato che x ( cos y) x + y y x x + y x. Esistono f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0. La funzione non è differenziabile. Infatti f(h, k) f(0, 0) f x (0, 0)h f y (0, 0)k h + k = h( cos k) (h + k ) h + k

3 e, lungo la direzione h = k, il limite non è 0. La derivata direzionale rispetto al versore (v, v ) è v t( cos(v t)) lim t 0 ( + v = v v )t3 ( + v ). Esercizio Data la serie k=0 ( ) k x k 3 k. studiare la convergenza semplice, assoluta e totale. Detta f(x) la somma, calcolare 0 f(x)dx. Risposta Ponendo y = x /3 si ottiene la serie geometrica, quindi la serie converge puntualmente per x ( 3, 3) alla funzione ( ) f(x) = + (x/ 3) La serie converge assolutamente in ( 3, 3) e totalmente in ogni compatto ivi contenuto. L integrale richiesto è quindi 0 + (x/ 3) dx = / 3 dy y = 3 arctan = 3 π 3 6. Ma tutti hanno ignorato o trascurato l espressione esplicita ( ) ed hanno invece scambiato (correttamente, ma qui non convenientemente!) la serie con l integrale, ottenendo 0 f(x)dx = k=0 ( ) k 3 k (k + ). Infatti per ogni α > 0 (qui α = 3) valgono le seguenti identutà: α arctan α = 0 + (x/ α) dx = 0 k=0 ( ) k x k α k dx = k=0 ( ) k α k (k + ). Esercizio 3 Si dimostri che l equazione x 4 + 3x y + e xy = definisce implicitamente in un intorno del punto (, 0) una funzione regolare y = f(x). Si calcolino quindi f (), f (). 3

4 Risposta Posto G(x, y) = x 4 + 3x y + e xy, si verifica che G(, 0) = 0 quindi si calcola G y (, 0) = 4 e G x (, 0) = 4 da cui si deduce f () =. Dalla regola della derivazione delle funzioni composte si ha che 0 = d dx G(x, f(x)) = G xx(x, f(x)) + G xy (x, f(x))f (x) + G yy (x, f(x))(f (x)) + G y (x, f(x))f (x), dove G yx (x, y) = 6x + ( + xy)e xy, G yy = x e xy, G xx = x + 6y + y e xy (ma stranamente molti hanno sbagliato il calcolo della derivata mista). Dall essere f() = 0, G xx (, 0) =, G xy (, 0) = 7, G yy (, 0) = si trova f () = 4. Esercizio 4 Data F (x) = e x e x cos(xt )dt, determinare il polinomio di Taylor del primo ordine di F (x) in x = 0. Risposta L integrale in questione è ben definito per ogni x R, si ottiene una funzione liscia e per le regole di derivazione sotto il segno di integrale si ha: e x F (x) = e x cos(xe x ) t sin(xt )dt e x quindi F (0) =, da cui il polinomio richiesto + x. Esercizio 5 Disegnare l insieme D contenuto nel primo quadrante, tale che Calcolare 4 x + y 6, x y 3x. D (x + xy)dxdy. Risposta Introducendo un sistema di coordinate polari l insieme D si trasforma nell insieme Quindi π 3 π 4 D ((cos θ) + sin θ cos θ)dθ S = {(ρ, θ) : ρ 4, π 4 θ π 3 }. (x + xy)dxdy = ((cos θ) + sin θ cos θ)ρ 3 dρdθ = 4 S ρ 3 dρ = 4 ( ) 3 + π 60 = 5 ( ) 3 + π. 4

5 Esercizio 6 Risolvere l equazione differenziale (x + xy ) dx + x y dy = 0. Risposta E una equazione esatta, differenziale di f(x, y) = x3 3 + x y quindi le soluzioni sono le curve di livello x x y = k y = ± 3 3k x3 x. Lezioni 30/9/03 Insiemi di definizione di funzioni di due variabili; piani e paraboloidi. /0/03 Continuità: definizione, esempi e controesempi. /0/03 Limiti, derivate direzionali, definizione di differenziabilità, piano tangente al grafico, formula di derivazione delle funzioni composte. 4/0/03 Teorema del differenziale totale, derivate seconde ed enunciato del Teorema di Schwarz. 7/0/03 Estensioni allo spazio N dimensionale. 8/0/03 Permanenza del segno; insieme compatti per successioni; Teorema di Weierstrass. 9/0/03 Compito in classe. /0/03 Formula di Taylor in più variabili. 5/0/03 Condizioni di estremalità locale del II ordine. 6/0/03 Introduzione al Teorema di Dini. 8/0/03 Compito in classe. 6/0/03 Introduzione al Teorema di Dini scalare nel piano. /0/03 Dimostrazione del Teorema di Dini scalare nel piano: esistenza. /0/03 Dimostrazione del Teorema di Dini scalare nel piano: derivabilità. 3/0/03 Rappresentazioni delle curve piane e Teorema di Dini scalare nel piano; moltiplicatori di Lagrange; Teorema di Dini scalare nello spazio. 5/0/03 Compito in classe. 8/0/03 Teorema di Dini per sistemi x3. 5

6 9/0/03 Teorema di Dini per sistemi x4. 30/0/03 Invertibilità locale delle trasformazioni del piano; rappresentazioni parametriche delle superfici, piani tangenti e vettori normali. 4//03 Integrale di Riemann per funzioni limitate e continue con un numero finito di discontinuità. 5//03 Integrali impropri; criterio del confronto per integrandi non negativi; convergenza assoluta o condizionata. 6//03 Criterio integrale per le serie; integrali di Riemann dipendenti da un parametro. 8//03 Compito in classe. //03 Successioni uniformemente convergenti e continuità della funzione limite. //03 Continuità e derivabilità degli integrali impropri dipendenti da un parametro: enunciati. 3//03 Continuità e derivabilità degli integrali impropri dipendenti da un parametro: dimostrazioni. 5//03 I compito di esonero. 8//03 Serie di potenze: generalità. 9//03 Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie delle derivate. 0//03 Serie di Taylor. Esempi //03 Compito in classe. 5//03 Definizione dell integrale di Riemann in variabili. 6//03 Integrazione sui rettangoli e formula di riduzione. 7//03 Misura di Peano-Jordan. Domini normali. 9//03 Compito in classe. //03 Proprietà degli integrali doppi; calcolo di aree elementari con l integrazione su domini normali. 3//03 Integrabilità sulle funzioni continue e limitate sugli insieme PJ misurabili. 4//03 Cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Esempi. 6//03 Compito in classe. 9//03 Integrali tripli e formule di riduzione. 6

7 0//03 Misura di Peano-Jordan e integrabilità sulle funzioni continue e limitate sugli insieme PJ misurabili dello spazio. //03 Cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Integrali impropri doppi e tripli. Campi irrotazionali nei rettangoli. 3//03 Compito in classe. 7//03 Curve e integrali curvilinei di I specie. 8//03 Integrali curvilinei di II specie. Forme chiuse e esatte. Domini stellati. 0//03 Illustrazione della formula di Gauss Green. 7//04 Dimostrazione della formula di Gauss Green. 8//04 Area di una superficie, teorema di Stokes in 3 dimensioni. 0//04 Teorema della divergenza in 3 dimensioni. 4//04 Equadiff con separazione delle variabili. 5//04 Equazione logistica; equazioni esatte e fattore integrante. 7//04 Correzione di esercizi. //04 Problema di Cauchy: esistenza e unicità in grande. //04 Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo. Il caso dei sistemi e delle equazioni di ordine N. 7

8 STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO GLI ESONERI PALERMO (D D) QUARESIMA (D D) QUICI (D D) SANTELLI (C C) SCHADE (C B) SCHLITZER (A B) SINNL (D D) SOCCODATO (D D) STANESCU (D D) TONIELLI (D C) VENDITTI (D B) ZANISI (C B) STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DEL I APPELLO INVERNALE PARDO (D) PASQUALI (D) PLATI (D) POMPILI (D) ROMANO (D) SANNA (D) SANTILLI (D) SCANDI (D) SEBASTIANI (B) SERGOLA (B) VENTAGLI (B) STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DEL II APPELLO INVERNALE CECCHETTI (D) PIOMPONI (D) PLATI (C) POMPILI (B) QUARANTA (D) RICCI (D) SCACCIA (D) SCANDI (C) SALAMONE (D) TOSTI GUERRA (D) VENTRE (D) STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL APPELLO STRAORDINARIO DEL FRANCO (D) LAMANTEA (D) PASQUALI (D) PIZZIRANI (C) STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL APPELLO ESTIVO PASQUALI (A) RISSONE (A) SINNL (B) SCETTRI (D) STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL APPELLO AUTUNNALE SCIUBBA (C) QUARANTA (B) 8