Esercizi Svolti di Analisi Numerica

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1 Esercizi Svolti di nalisi Numerica Esercizi Svolti di nalisi Numerica Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro. M. Perdon, Elementi di nalisi Numerica, Pitagora Ed.,. Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo (le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito). # rgomenti del Capitolo Esercizio Determinare la base tale che: (8) = (54,6) () () = + = 7 (54,6) = = 86,8574 Quindi = = 6 = = = 7 Dato che deve essere un intero > l unica soluzione accettabile è = 7

2 Esercizi Svolti di nalisi Numerica Verifichiamo che soddisfa anche la equazione 6 7 =.8574 Esercizio Determinare la base tale che: X 7 = (,4) 6 (.7) La risoluzione dell esercizio è immediata: Esercizio Determinare la base tale che: X = (,64) (.) La risoluzione dell esercizio è immediata: X.74857

3 Esercizi Svolti di nalisi Numerica # rgomenti del Capitolo Esercizio Data l equazione 4 a) Determinare quante radici ha l equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. b) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f() si deduce che l equazione ammette radici e tali che,..,. Considero l intervallo,. f ( ) f ''( ) m m m f '( ).. f ( ) m.587. f '( ) m Considero l intervallo.,. f ( ) f ''( ) m m m f '( )., f ( ) m.8.4 f '( ) m In realtà ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui:.99

4 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 4 Esercizio Determinare la radice dell equazione e con 5 decimali esatti. Da un abbozzo del grafico si vede che la radice sta nell intervallo.5,.5 infatti f(.5) f(.5) pplichiamo il metodo di Newton-Raphson: f ( ) e '( ) 6 f e f ''( ) 4 e e scegliamo come punto iniziale e vediamo che il metodo converge dato che: f ( ) f ''( ) m.459 f ' f ( i ) i i f '( ) i i i l errore al passo i-esimo i può essere maggiorato: i m i m i i i i

5 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 5 La soluzione dell equazione è: = con 8 decimali esatti Esercizio Data l equazione 4 c) Determinare quante radici ha l equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. d) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f() si deduce che l equazione ammette radici e tali che,..,. Considero l intervallo,. f ( ) f ''( ) m m m f '( ).. f ( ) m.587. f '( ) m Considero l intervallo.,. f ( ) f ''( ) m m m f '( )., f ( ) m.8.4 f '( ) m

6 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 6 In realtà ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui:.99

7 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 7 # rgomenti del Capitolo Dati: Esercizio b (a) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che = LU (oppure le matrici L ed U e la matrice di permutazione P tali che P = LU ) (b) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema = b l l4 n n n n n n 4 n 44 N.B: l l4 l4 n n4 n4 perché la matrice è a banda Moltiplicando la I riga per la I e II colonna si ottengono rispettivamente le condizioni: n 8 n nalogamente l.5 e quindi: 8.5 n n l n n 4 l4 n 44 Proseguendo.5 n 9 n n n l l.54

8 Esercizi Svolti di nalisi Numerica n n 4 l4 n n n.549 n4 4 l l n 44 n n L U Ly b y U y Dati: N.B: Dato che la matrice è triangolare, si poteva applicare semplicemente l algoritmo di Thomas Esercizio

9 Esercizi Svolti di nalisi Numerica b (c) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che = LU (d) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema = b u u u u 4 l u u u 4 l u u 4 l4 u u u.5 u. u4. lu.5 l.5 luu. u.55 luu.5 u. lu4u4 u4.6 lu.5 l.9 luu u.9 lu4u4 u4.45 l4u. l4.75 l4u 4u44 5 u L.9.75

10 Esercizi Svolti di nalisi Numerica U Risolviamo ora l equazione =b considerando che: LU LU L( U) b Pongo U=y e risolviamo in due passi ) Ly=b y.5 L.9.75 ) U=y y y y4 da cui quindi.5 y da cui quindi Dati: Esercizio b 4. (e) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che = LU (f) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema = b u u u u 4 l u u u 4 l l u u 4 l4 l4 u

11 Esercizi Svolti di nalisi Numerica L 4 U 4 6 L equazione =b può essere scritta come: LU L( U) b ; ponendo U=y essa si può risolvere in due passi: ) Ly=b 4 y y. y 4. y4 da cui quindi. y. 9.8 Dati: Esercizio b.6 (g) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che = LU (h) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema = b u u u u 4 l u u u 4 l u u 4 l4 u L U 6 7 L equazione =b può essere scritta come: LU L( U) b ; ponendo U=y essa si può risolvere in due passi:

12 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 4) Ly=b y.75 y 4 y y4.6 da cui quindi.75.5 y.6 5) U=y da cui quindi ) U=y da cui quindi # rgomenti del Capitolo 4 Delle matrici che seguono a) Calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori. b) Determinare l indice di condizionamento P e confrontarlo con k() stimato in norma infinito ed in norma euclidea. Esercizio n

13 Esercizi Svolti di nalisi Numerica Data la matrice a) utovettori: utovalori:.957 ;.7798 ; ! b).7798 P n.5.5 T ma ( ) ma K ( ) Data la matrice Esercizio a) utovettori: utovalori: ; ;.6794! b) P n 5 9 T ma ( ) ma

14 Esercizi Svolti di nalisi Numerica K ( ).79 Data la matrice Esercizio e.5.5 a) utovettori: e.e e utovalori: ; ; 4 ; 5 ;! b) P n T ma ( ) ma K ( ) Data la matrice 6 7 Esercizio 4

15 Esercizi Svolti di nalisi Numerica a) utovettori: utovalori: ;.4859 ; 7.844! b) P n 5 9 T ma ( ) ma Data la matrice Esercizio a) utovettori: utovalori: ;.8966 ;.684 ;.8966! b) P n

16 Esercizi Svolti di nalisi Numerica T ma ( ) ma K ( ).4679 Data la matrice.5 Esercizio a) utovettori: utovalori:.6948 ;.64489! b).6948 P n.5.5 T ma ( ) ma K ( ) Data la matrice. Esercizio a) utovettori:

17 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 7 b) utovalori:.5 ;.5!.5 P 4.5 n. T ma ( ) ma K ( ) 4.5 Esercizio 8 Data la matrice a) utovettori: e e e e e e e e e e utovalori: ; ; ; ;! b) P n T ma ( ) ma

18 Esercizi Svolti di nalisi Numerica K ( ) Esercizio 9 Data la matrice a) utovettori: utovalori: ; ; ; ;! b) P n T ma ( ) ma. K ( ) Esercizio

19 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 9 Data la matrice a) utovettori: utovalori: ;.69! b) P n T ma ( ) ma K ( ) Data la matrice Esercizio a) utovettori: utovalori:.99 ;.98486! b).99 P n T ma ( ) ma K ( )

20 Esercizi Svolti di nalisi Numerica # rgomenti del Capitolo 5 Esercizio Determinare il polinomio di Newton che meglio interpola i seguenti dati: y Stimare f () con la massima accuratezza possibile. Per determinare il polinomio di Newton dobbiamo creare la tabella delle differenze divise: f ( ), f f ( ) f ( ) f ( ) f,,,,,,,, f ( ) f ( ) f f,, f f f ( ) f,, f,..., 4 f ( ) f ( ) f f,,,, 4 f ( ) f,, 4 4 f ( ) 4 5, f 4 f ( 4) f ( ) 4 f f,, f f 4 4 Con i valori:

21 Esercizi Svolti di nalisi Numerica Ora possiamo impostare il polinomio di Newton. P ( )..6(.6).75(.8) (.6) N 6.5( ) (.8) (.6) (.) ( ) (.8) (.6) pplicando l estrapolazione di Richardson alla formula della derivazione basata sulle differenze centrali calcoliamo il valore di f () (usando i valori di f dati) F h F h h. f ( h) f ( h)..5 h.4 f ( h) f ( h).5. 4h F( h) F( h).95 f '(.4) F h # rgomenti del Capitolo 6 Esercizio Calcolare il seguente integrale con decimali esatti: ( ) sen ( ) d La funzione integranda è: f ( ) ( ) sen ( ) d Utilizziamo il metodo di Romberg: "

22 Esercizi Svolti di nalisi Numerica pplichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti trovando ogni volta il valore m : f () f ().479 f () f (.5) f ().65 4 f () f (.75) f (.5) f (.5) f () Stimiamo l errore: continuiamo con la costruzione della tabella: B.44 B.47 n m dove m,,, B B in conclusione. B B C B.44 5 La tabella sarà: i i i B C 5 6 D.479 m m m m quindi " ( ) sen ( ) d#.44 con un errore inferiore a i.6 5 Esercizio Calcolare il seguente integrale con 4 decimali esatti:

23 Esercizi Svolti di nalisi Numerica " ( e ) d La funzione integranda è: f ( ) ( e ) d Utilizziamo il metodo di Romberg: pplichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti n m dove m,,, trovando ogni volta il valore m : 4 e e e La tabella sarà: i i i B C D m m m quindi l integrale richiesto è: , a meno di un errore ε. 4 # rgomenti del Capitolo 7 Data l equazione differenziale: Esercizio y () + y () y = 6 con condizioni iniziali y() =, y () = ed y () =, determinare con il metodo di Crank- Nicholson ed h =. la soluzione per =.6 Posto: z : y( ) z : y '( ) z : y ''( ) z ' z z ' z z ' z z 6 z() z() z()

24 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 4 I z z I z z I z z 6 Ponendo ora z ( ) ( ) z ( ) Z z si ha: Z ' Z b con b 6 pplicando lo schema di Crank-Nicholson, partendo con Z, si ha: Z n+ = Z n + h [ Z n+ + b + Z n + b ] Z n+ = Z n + h Z n+ + h Z n + bh Z n+ ( I - h ) = ( I + h ) Z n + bh Z n+ = ( I - h )- ( I + h ) Z n + ( I - h )- bh h h E : ( I ) ( I ) h q : ( I ) bh Z n+ = E Z n + q con z h =. =. =.6 Z n+ = E Z n + q Z =

25 Esercizi Svolti di nalisi Numerica Z = E Z + q Z = y (.) = Z = E Z + q Z = y (.6) = \ Data l equazione differenziale: Esercizio y () + 5y () y = con condizioni iniziali y() =, y () = - ed y () =, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h =. la soluzione per =.4 Posto: z : y( ) z : y '( ) z : y ''( ) Posto Z = ( z, z, z ) Z ' n Z 5 T z ' z z ' z 5 z ' z z Z Z n I. Z Sapendo che: n Posso calcolare:. Z.5

26 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 6 Z.4.9. Esercizio Data l equazione differenziale: 4y () - y () y = con condizioni iniziali y() =, y () = - ed y () =, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h =. la soluzione per =. Posto: z : y( ) z : y '( ) z : y ''( ) z ' z z ' z z ' z z 4 4 Z Z ' n Z 5. Z I. Z. Z.5.75 Sapendo che: n n n Posso calcolare:. Z

27 Esercizi Svolti di nalisi Numerica 7 Z..5