Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico

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1 Annamaria Mazzia Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico Dipartimento di Ingegneria Civile Edile e Ambientale Università degli Studi di Padova Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-non opere derivate 3.0 Italy License a.a. 2015/2016

2 INDICE Indice ii 1 Esercizi su zeri di funzione 1 2 Esercizi su interpolazione e approssimazione 13 3 Esercizi su metodi diretti per sistemi lineari 23 4 Esercizi su metodi iterativi per sistemi lineari 31 5 Esercizi su formule di quadratura 41 6 Domande di teoria 51 7 Programmazione in MATLAB 55 Gli esercizi di questa raccolta sono tratti, in parte, da testi d esame di Calcolo Numerico 1 per gli studenti di diversi corsi di laurea in Ingegneria (Civile, Edile, Meccanica, Ambiente e Territorio, Aerospaziale) dell Università di Padova, per i quali sono stata esercitatrice oppure titolare (dal fino al ). Gli esercizi dall a.a in poi sono invece specifici del corso di laurea triennale in Ingegneria dell Energia, (seconda squadra, Canale 3, Canale A, matricole pari, a seconda dell anno), di cui sono titolare. Non sono una raccolta completa ed esaustiva di tutti i compiti assegnati nel corso degli ultimi quindici anni. Ma il numero e la varietà degli esercizi proposti offrono un ampia prospettiva sugli esercizi dei compiti scritti affinchè lo studente possa prepararsi adeguatamente alla prova scritta. Per gli esercizi proposti si trovano, in maniera molto stringata, le soluzioni numeriche principali (ad esempio, se l esercizio richiede di effettuare tre approssimazioni di un certo metodo numerico, viene dato solo il valore dell ultima approssimazione: è ovvio che se quel valore è corretto, saranno corretti anche i primi due, come in un gioco di incastri). Si consiglia di effettuare i calcoli utilizzando sempre almeno 7 cifre significative (a meno che non sia specificato diversamente). Per le domande di teoria non sono date soluzioni e si rimanda alla dispensa. L ultimo capitolo, invece, presenta una raccolta degli esercizi di programmazione in MATLAB che vengono svolti in aula Taliercio dall a.a in modo che la preparazione per l esame di Calcolo Numerico possa essere il piú completa possibile. Nel trascrivere i risultati numerici, può essere sfuggito qualche errore di stampa: se avete dubbi o perplessità sui risultati che trovate, non esitate a contattarmi (all indirizzo annamaria.mazzia CHIOCCIOLA unipd.it! Annamaria Mazzia 1 Questo corso ha avuto nomi diversi a seconda dei vari ordinamenti di studio, da Metodi Numerici per l Ingegneria I a Calcolo Numerico a Calcolo Numerico e Programmazione. ii

3 C A P I T O L O 1 ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE Es. 1 (appello del 22 settembre 2015) Data la funzione f(x) = e x 2 cos (x), si vuole determinare il punto di minimo assoluto m nell intervallo [0, 1]. 1. Verificare che esiste un unico punto m [0, 1], tale che f(x) f(m) per ogni x [0, 1] con f (m) = Determinare un approssimazione di m eseguendo tre iterazioni con il metodo di Newton- Raphson a partire da x 0 = 0 e fornire una stima del fattore di convergenza. 3. Assumendo m pari all ultima approssimazione ottenuta nel punto precedente, dire se lo schema iterativo: x k+1 = x k f (x k ) f (x 0 ) converge a m. In caso affermativo, stimare il numero di iterazioni necessarie perchè, sempre partendo da x 0, l errore sia inferiore a Es. 2 (appello del 17 giugno 2015) Si consideri la funzione f(x) = cos (x + π/2) e x + 1 x che ammette uno zero ξ nell intervallo [ 1, 1]. 1. Partendo da x 0 = 1, calcolare 3 approssimazioni x 1, x 2 e x 3 di ξ con il metodo di Newton- Raphson e stimare il fattore di convergenza M. 2. Dopo aver osservato che ξ = 0, dire se lo schema di punto fisso x k+1 = cos (x k + π/2) e x k +1 converge e, in caso affermativo, determinarne ordine e fattore di convergenza. 3. Si consideri lo schema iterativo x k+1 = x k + f(x k )/C, con C un opportuna costante. Per quali valori di C la successione x k converge a ξ? Es. 3 (appello del 12 febbraio 2015) Sia data la seguente funzione f(x) = x 3 + 4x 3x Provare analiticamente che l equazione f(x) = 0 ammette un unica radice nell intervallo [2.5, 4.5]. 2. Partendo da x 0 = 2.5 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1, x 2, x 3 ; stimare il fattore di convergenza M. 1

4 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE 3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di quadratura) Quale formula di quadratura numerica semplice si deve applicare se si vuole calcolare 4.5 f(x)dx in modo 2.5 che l errore della formula sia zero? Applicare, alla funzione f assegnata, tale formula e mostrare che l errore di quadratura vale zero. Es. 4 (appello del 4 settembre 2014) Le radici della funzione f(x) = x 2 x 6 sono 3 e Si dimostri che i seguenti metodi iterativi di punto fisso x k+1 = g 1 (x k ) con g 1 (x) = x + 6 e x k+1 = g 2 (x k ) con g 2 (x) = x2 + 6 convergono localmente alla radice di segno negativo 2x 1 della f. Si determini l ordine di convergenza di ciascuno schema. 2. A partire dal punto iniziale 2.5 si calcolino 3 iterazioni del primo schema di punto fisso e, usando gli errori, si stimi il fattore di convergenza M A partire dal punto iniziale 2.5 si calcolino 3 iterazioni con il secondo schema di punto fisso e, usando gli errori, si stimi il fattore di convergenza M Infine si scriva la formula dello schema di Newton-Raphson per risolvere l equazione f(x) = 0 e se ne calcoli il fattore di convergenza in relazione alla radice ξ = 2. Commentare i risultati. Es. 5 (appello del 18 giugno 2014) Si vuole risolvere l equazione x 3 2x 5 = Provare che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo [1.5, 2.5]. 2. Eseguire tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson partendo da x 0 = Eseguire tre iterazioni con lo schema delle secanti variabili (o Regula Falsi) partendo da x 0 = 1.5 e x 1 = Stimare le costanti asintotiche dei due metodi applicati. 5. Considerando lo schema di punto fisso x n+1 = x3 n 5 e senza eseguire alcuna iterazione 2 dello schema, si dica se tale metodo converge alla soluzione ξ (si prenda come approssimazione di ξ il valore trovato con uno dei due metodi applicati in precedenza). In caso affermativo se ne stimi l ordine di convergenza e la costante asintotica. Es. 6 (appello del 18 settembre 2013) Si vuole risolvere l equazione x 3 + 2x 2 5 = Provare che ammette un unica soluzione nell intervallo [0, 2]. 2. Eseguire tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson partendo da x 0 = Eseguire tre iterazioni con lo schema della Regula Falsi, partendo da x 0 = 2 e x 1 ottenuto al punto precedente. 4. Stimare i fattori di convergenza dei due metodi applicati. Es. 7 (appello del 10 luglio 2013) È data l equazione non lineare ln (x + 2) e x/4 = Dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell intervallo [ 1, 1]. 2. A partire dal punto iniziale x 0 = 1, si applichi il metodo di Newton-Raphson arrestando le iterazioni quando lo scarto tra due approssimazioni successive è minore della tolleranza toll = Si stimi poi la costante asintotica del metodo. 3. Considerando lo schema di punto fisso x k+1 = ln (x k + 2) e x k/4 +x k, si dica se tale metodo converge alla soluzione ξ e, in caso affermativo, si dica qual è l ordine di convergenza del metodo e se ne stimi la costante asintotica. Non si esegua nessuna iterazione con lo schema di punto fisso. Es. 8 (appello del 13 febbraio 2013) Sia data l equazione non lineare f(x) = 0 dove 2 f(x) = x cos (x) x

5 1. Mostrare che l equazione data ammette almeno due soluzioni (ξ 1, ξ 2 ) in [ 1, 2] (suggerimento: calcolare f( 1), f(0.5), f(2)). 2. Per approssimare ξ 1 si parta dal punto iniziale x 0 = 2 e si eseguano 3 iterazioni con il metodo di Newton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell errore M 1 e l errore al passo Per approssimare ξ 2 si parta dal punto iniziale x 0 = 1 e si eseguano 3 iterazioni con il metodo di Newton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell errore M 2 e l errore al passo Senza eseguire ulteriori iterazioni, ma giustificando la risposta, si dica a quale delle due soluzioni il metodo di punto fisso x k+1 = x 2 k + 1 cos (x k) può convergere localmente. Nel caso in cui c è convergenza, si calcoli l ordine p del metodo. Es. 9 (appello del 18 settembre 2012) Data l equazione non lineare x + cos (x) 1.2 = 0 1. dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell intervallo I = [0.2, 1.57]. 2. A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 trovare x 1 con il metodo di Newton-Raphson. Giustificare, graficamente o in altro modo, le ragioni della iniziale divergenza del metodo. 3. Si consideri ora il metodo di punto fisso x k+1 = 1.2 cos (x). Dimostrare che tale metodo converge alla soluzione ξ in I. A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 si eseguano 5 iterazioni con tale metodo. Si dica qual è l ordine di convergenza del metodo e se ne stimi la costante asintotica. Es. 10 (appello del 26 giugno 2012) Sia data l equazione non lineare x 3 5x + 4 = 0 di cui è nota una soluzione ξ = Si dimostri che i seguenti due metodi iterativi di punto fisso x k+1 = g 1 (x k ) dove g 1 (x) = x e x k+1 = g 2 (x k ) dove g 2 (x) = 2x x 2 convergono localmente a ξ. Per entrambi si 5 calcoli l ordine di convergenza. 2. A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 1 (x k ) ; usando gli errori si stimi il fattore di convergenza M A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 2 (x k ) ; usando gli errori si stimi il fattore di convergenza M 2. Es. 11 (appello del 1 o settembre 2011) Data l equazione f(x) = 0 ove: f(x) = (2 + x)e x x 2 provare che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [0.5, 1.5]. 1. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 0.5. Dare una maggiorazione dell errore e una stima del fattore di convergenza M Utilizzando ξ x 3 si dica se lo schema di punto fisso x n+1 = (2 + x n )e xn converge a ξ; in caso affermatico calcolarne il fattore di convergenza M 2. Es. 12 (appello del 21 giugno 2011) Data l equazione e x2 (6x ) 5 = 0, si provi che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [0, 4]. 1. Si calcoli il punto iniziale x 0 effettuando due iterazioni del metodo delle bisezioni (o dicotomico), a partire dall intervallo assegnato. 3

6 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE 2. A partire dal valore x 0 calcolato al punto precedente, si calcolino tre iterazioni del metodo di Newton-Raphson e si stimi il fattore di convergenza M. (Esprimere i risultati in virgola mobile normalizzata con almeno 7 cifre decimali) Es. 13 (primo compitino del 28 aprile 2011) Data l equazione f(x) = 0 ove: f(x) = x/4 arctan(6 x) provare (analiticamente o graficamente) che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [4, 5]. 1. Dire quante iterazioni sono necessarie col metodo di bisezione per ottenere la soluzione ξ con un errore minore di Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 5. Dare una maggiorazione dell errore e una stima del fattore di convergenza M Utilizzando ξ x 3 si dica se il metodo di punto fisso: x n+1 = 6 tan(x n /4) converge a ξ; in caso affermativo calcolare il fattore di convergenza M 2. (Esprimere i risultati in virgola mobile normalizzata con almeno 7 cifre decimali). Es. 14 (appello del 16 settembre 2010) Si vuole risolvere l equazione x = g(x) con lo schema del punto fisso. Sapendo che g(x) = x 2 6x calcolarne analiticamente il punto fisso e determinare: 1. il fattore di convergenza M 1 dello schema del punto fisso e successivamente le approssimanti x 1, x 2, x 3 usando prima x 0 = 3 e poi x 0 = 4.5, giustificandone il diverso comportamento. Risolvere quindi f(x) = 0 ove f(x) = g(x) x con lo schema di Newton-Raphson; calcolare 2. il fattore di convergenza M 2 dello schema di Newton-Raphson e le approssimanti x 1, x 2, x 3 ottenute con lo schema partendo da x 0 = 3 3. le approssimanti x 1, x 2, x 3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x 0 = 3. Es. 15 (appello del 7 luglio 2010) Sia data la funzione seguente: f(x) = e 8x2 x 3 1. Dimostrare che l equazione f(x) = 0 ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [0, 0.8]. 2. Fissato x 0 = 0, si dica perchè non si può applicare il metodo di Newton-Raphson. 3. Partendo da x 0 = 0, x 1 = 0.8, si trovino x 2, x 3, x 4 con il metodo della Regula Falsi. Stimare il fattore di convergenza M Utilizzando ξ x 4 ottenuto al punto precedente, si dica se il metodo di punto fisso x n+1 = (e 8x2 n ) 1/3 converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M 2. Es. 16 (appello del 2 settembre 2009) Sia data la funzione seguente f(x) = ln(x 1) e x2 4

7 1. Provare, analiticamente o graficamente, che l equazione f(x) = 0 ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [1.5, 2.5]. Partendo da x 0 = 1.5 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1, x 2, x 3 ; stimare il fattore di convergenza M 1 (ξ x 3 ). 2. Approssimare con la formula di estrapolazione di Richardson il seguente integrale: 2.5 f(x) dx (Punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione 1.5 numerica). Es. 17 (appello 2 luglio 2009) È data l equazione non lineare f(x) = 0 con f(x) = 1 x e x che ammette una soluzione in ξ = Partendo da x 0 = 0.5, calcolare la prima approssimazione x 1 di ξ con lo schema di Newton- Raphson. 2. Utilizzando x 0 e x 1 del punto precedente, calcolare le prime 3 approssimazioni x 2, x 3 e x 4 con lo schema della Regula Falsi. 3. Dire qual è in questo caso l ordine di convergenza p della Regula Falsi e stimare il fattore di convergenza M. Es. 18 (primo compitino - 14 maggio 2008) Data l equazione f(x) = 0 f(x) = e x sin(πx) provare, analiticamente o graficamente, che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [0, 1/2]. 1. Partendo da x 0 = 0 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1, x 2, x 3 ; stimare l errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ x 3 ). 2. Osservando che ξ è punto fisso delle funzioni seguenti: g 1 (x) = ln(sin(πx)), g 2 (x) = (1/π) arcsin(e x ), si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge, trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ x 3, ottenuto in (1)). Es. 19 (appello 13 settembre 2007) Data l equazione f(x) = 0 f(x) = e x + x 2 3 provare, analiticamente o graficamente, che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [ 3, 0]. 1. Partendo da x 0 = 1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1, x 2, x 3 ; stimare l errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ x 3 ). 2. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione seguente: g(x) = log(3 x 2 ); si dica se lo schema del punto fisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ x 3 ). Es. 20 (appello 4 luglio 2007) Sia data l equazione x 2 + x 6 cos(x/2) = Si dimostri che ammette una sola soluzione ξ in [2, 2.4]. 2. Fissato x 0 = 2, si dica perchè il metodo di Newton-Raphson non si può applicare. 5

8 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE 3. Partendo da x 0 = 2, x 1 = 2.4, si trovino x 2, x 3, x 4, x 5 con il metodo della Regula Falsi. Stimare il fattore di convergenza M Utilizzando ξ x 5 si dica se il metodo di punto fisso x n+1 = cos 2 ( x n 2 ) x n + 6 converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M 2. Es. 21 (primo compitino 23 maggio 2007) Data l equazione f(x) = 0 f(x) = cos(x) ln(x + 1) provare, analiticamente o graficamente, che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [0, π/2]. 1. Dire quante iterazioni sono necessarie per trovare col metodo dicotomico la radice ξ dell equazione nell intervallo I con un errore massimo ɛ Partendo da x 0 = 0.1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1, x 2, x 3, x 4 : stimare l errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ x 4 ). 3. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione g(x) = e cos(x) 1, si dica se lo schema del punto fisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ x 4 ). Es. 22 (appello 13 dicembre 2006) La funzione f(x) = x 4 + x ln(x) 1 possiede un minimo nell intervallo [0.1, 0.5]. Usare il metodo di Newton-Raphson per approssimare tale punto di minimo con un errore inferiore a 10 4 (si utilizzi come punto iniziale x 0 = 0.5). Si stimi la costante asintotica dello schema utilizzato. Es. 23 (appello del 31 agosto 2006) Dato lo schema iterativo di punto fisso x n+1 = ln(4 + x n ), x 0 = 2 1. provare esistenza e unicità del punto fisso ξ nell intervallo [1, 2] e dire se il metodo converge in I. Calcolare un approssimazione di ξ eseguendo 4 iterazioni; 2. trovare l ordine di convergenza, una stima del fattore di convergenza e una maggiorazione dell errore. Es. 24 (primo compitino 24 maggio 2006) Data l equazione f(x) = 0 f(x) = arctan( x) + x 2 1 provare (analiticamente o graficamente) che ammette un unica soluzione ξ nell intervallo I = [ 1, 0]. 1. Partendo da x 0 = 1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazionix 1, x 2, x 3 ; stimare il fattore di convergenza M 1 (ξ x 3 ). 2. Osservando che ξ è anche punto fisso delle funzioni seguenti: g 1 (x) = tan(1 x 2 ), g 2 (x) = 1 arctan( x), si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ x 3 ). Es. 25 (appello del 22 giugno 2005) Data l equazione ln(1 + x) e x = 0 provare (analiticamente o graficamente) che ammette un unica soluzione nell intervallo [0, 1]. 6

9 1. Eseguire tre iterazioni con la Regula Falsi, partendo da x 0 = 1 e x 1 = Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = Stimare i fattori di convergenza di Newton-Raphson e della Regula Falsi. Es. 26 (appello 22 settembre 2004) Data l equazione f(x) = 0 con f(x) = e x2 cos(x) Si provi (analiticamente o graficamente) che ammette un unica soluzione nell intervallo [0, 1]. 2. Usando x 0 = 0.1 calcolare con il metodo di Newton-Raphson le approssimazioni x 1, x 2, x Si calcoli una nuova approssimazione x 0 con due iterazioni del metodo dicotomico a partire dall intervallo dato. 4. A partire da x 0, calcolare x 1, x 2, x 3 con il metodo di Newton-Raphson e stimare la costante asintotica di convergenza. 5. (Facoltativo) Spiegare perchè il metodo di Newton-Raphson diverge nel primo caso e non nel secondo. Es. 27 (primo compitino 30 aprile 2003) 1. Si vuole risolvere l equazione x = g(x) con lo schema del punto fisso; sapendo che g(x) = x 2 7x + 16 determinare: a) Il fattore di convergenza M 1 dello schema del punto fisso e inoltre le approssimanti x 1, x 2, x 3 usando prima x 0 = 3.5 e poi x 0 = 5, giustificandone il diverso comportamento. 2. Risolvere quindi f(x) = 0 ove f(x) = g(x) x con gli schemi di Newton-Raphson e della Regula Falsi; calcolare a) il fattore di convergenza M 2 dello schema di Newton-Raphson e l approssimante x 1 ottenuta con lo schema partendo da x 0 = 5 b) le approssimanti x 2 e x 3 ottenute con lo schema della Regula Falsi usando x 0 = 5 e x 1 calcolato al punto (2.a). c) le approssimanti x 1, x 2, x 3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x 0 = 5. Es. 28 (appello del 27 novembre 2002) Si vuole risolvere l equazione x = ln(x) con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 1 e con la Regula Falsi usando x 0 = 1 e x 1 ottenuto con Newton-Raphson. Calcolare: 1. x 3 con lo schema di Newton-Raphson e con quello della Regula Falsi; 2. i fattori di convergenza M 1 e M 2 degli schemi anzidetti usando le soluzioni approssimate trovate. Es. 29 (appello 28 giugno 2002) Data la funzione seguente g(x) = 3x + 2 2x + 3 provare, anche solo per via grafica, che esiste un solo punto fisso ξ nell intervallo I = [0.55, 1.5]; provare inoltre che lo schema di punto fisso converge in I. Preso x 0 = 0.55 calcolare un approssimazione di ξ eseguendo tre iterazioni. Trovare ordine di convergenza assumento ξ x 3. Dare una maggiorazione dell errore. 7

10 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE Es. 30 (appello del 29 agosto 2001) Si vuole trovare la radice ξ = 2 della funzione f(x) = x 2 4x + 4 con lo schema della Regula Falsi a partire da x 0 = 0 e x 1 calcolato con lo schema di Newton-Raphson. 1. Trovare x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 2. Trovare, empiricamente, l ordine p (che in questo caso non è 1.618) ed il fattore M di convergenza dello schema della Regula Falsi applicata alla soluzione del presente esercizio. 8

11 Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 1) Si verifica che m é radice della funzione h(x) = f (x). La radice esiste ed è unica (valori di segno opposto agli estremi dell intervallo e h (x) > 0 nell intervallo dato. Ma h (x) > 0 significa f (x) > 0 cioè punto di minimo per la radice m. Si trova x 3 = e la stima del fattore di convergenza risulta M usando gli scarti e M usando la formula teorica applicata in x 3. Lo schema da studiare è ( lo schema della tangente 1 h ) (m) fissa. Applicando uno sviluppo di Taylor sugli errori si trova e k+1 e k h. Valutando (x 0 ) h in x 0 e in x 3 m si ha e k+1 M f e k = e k Lo schema é del primo ordine e, dal momento che la costante asintotica é minore di uno, converge. Vale quindi e k Mf ke 0 da cui, per avere un errore minore di deve essere Mf ke e 0. Applicando i logaritmi in base 10: k 10/ log M f = vale a dire k 36. Soluzione (Es. 2) Si ha x 3 = Il valore M approssimato è se si considerano gli scarti e se si considera la formula teorica valutata in x 3. Considerando che invece la soluzione esatta è ξ = 0 si possono prendere gli errori esatti o la formula esatta e si ha M = 0.5 Lo schema di punto fisso converge con ordine superiore a uno in quanto g (0) = 0. Si ha ordine due in quando g (0) = 1 0 e M = 0.5 L ultimo punto va studiato considerando la funzione f dell esercizio proposto. Facendo uno sviluppo di Taylor (alla stessa maniera di quanto è stato fatto per trovare la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson o dello schema di punto fisso, e sostituendo ai valori f (0) e f (0) il valore di tali derivate, si ha e k+1 = e k e k + e 2 k / C = (1 1 C )e k 1 2C e2 k +... Se C = 1 il termine in e k si annulla e si ha un metodo di ordine 2. Se invece C 1 perché ci sia convergenza, lineare, deve essere 1 1 < 1 vale a dire C > 1/2 C Soluzione (Es. 3) La f ha valori di segno opposti agli estremi dell intervallo. Inoltre f (x) è sempre positiva perchè il discrimante associato è negativo. La terza iterazione di Newton- Raphson vale x 3 = Per la costante asintotica, usando gli scarti si ha: M = x 3 x 2 / x 2 x 1 2 = Usando la formula teorica, f (x) = 6x 6 da cui M = Dal momento che f e un polinomio di grado 3, la derivata quarta della f vale zero. Quindi la formula da applicare, che dà errore zero, è la formula di Cavalieri-Simpson. In questo caso si ha: I = ( )/6(f(2.5) + 4f(3.5) + f(4.5)) = Soluzione (Es. 4) Si calcolano le derivate prime di g 1 e di g 2 e si valutano nel punto fisso 2 trovando i valori 0.25 e 0 rispettivamente. Ciò dice che entrambi i metodi convergono (in valore assoluto abbiamo valori minori di uno): dal momento che g 1( 2) 0 l ordine è p = 1 mentre, essendo g 2( 2) = 0 l ordine di convergenza del secondo schema sarà maggiore di 1. Si va quindi a studiare la derivata seconda di g 2 e la si valuta in 2. Il valore è 0.4, diverso da zero e questo dice che lo schema ha ordine di convergenza pari a 2. Facendo le iterazioni dei due schemi di punto fisso si ha x 3 = per il primo schema e x 3 = per il secondo schema. Dagli errori e applicando la formula M = e 3 si ha e 2 p M 1 = e M 2 = Scrivendo poi la formula di Newton-Raphson si ricava (scrivendo la formula in modo compatto) esattamente la relazione x n+1 = g 2 (x n ), quindi lo schema di punto fisso applicato prima è 9

12 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE proprio lo schema di Newton-Raphson applicato alla funzione f del problema. Difatti, dalla formula teorica per la costante asintotica dello schema di Newton-Raphson, troviamo il valore 0.2 che si avvicina al valore stimato per la costante asintotica dello schema di punto fisso con g 2 (se poi si calcola la costante asintotica teorica per lo schema di punto fisso per g 2 troviamo di nuovo 0.2). Soluzione (Es. 5) Per Newton, x 3 = , per le secanti x 4 = Usando gli scarti si ha: per Newton M , le le secanti M Valutando la derivata prima della funzione di punto fisso in x 3 ottenuto da Newton, si ha il valore : lo schema non converge. Soluzione (Es. 6) Per Newton-Raphson, x 3 = , per la Regula Falsi, si ha x 4 = Applicando la formula teorica si ha, M per Newton e M per la Regula Falsi (nulla toglie di stimare i fattori di convergenza usando la formula con gli scarti). Soluzione (Es. 7) Si ha x 3 = con d 3 = < Usando gli scarti, M Lo schema di punto fisso non converge a ξ x 3 (ottenuto da Newton) in quanto g (x 3 ) = >1. Soluzione (Es. 8) Partendo da x 0 = 2 si ha x 3 = , e M (usando gli scarti). Partendo da x 0 = 1 si ha x 3 = (dai valori di x 1 e x 2 si vede che la successione tende a ξ = 0 e si può verificare che ξ = 0 è radice della funzione assegnata. In questo caso si ha M (con gli scarti). Considerando la derivata prima della funzione di punto fisso e valutandola in si ha il valore e il metodo non converge. Valutando la derivata prima della funzione di punto fisso nell altra radice ξ = 0 si ha g (ξ) = 0. Il metodo converge ma l ordine di convergenza non è p = 1. Calcolando la derivata seconda della funzione di punto fisso e valutandola in ξ = 0 si vede che il valore della derivata seconda è diverso da zero e quindi si ricava che p = 2. Soluzione (Es. 9) Si ha x 1 = dovuto al fatto che f (x 0 ) 0. Per lo schema di punto fisso, si ha x 5 = e M = Soluzione (Es. 10) Dallo studio delle derivate, si trova che per g 1 p = 1, per g 2 p = 2. Applicando lo schema di punto fisso a g 1 si ha x 3 = e M = Con g 2 si ha x 3 = e M = Soluzione (Es. 11) Si ha x 3 = , e 3 < x 3 x 2 = Usando gli scarti si ha M Per lo schema di punto fisso, considerando ξ x 3 trovato con Newton-Raphson, si ha M g (x 3 ) = < 1: lo schema converge. Soluzione (Es. 12) x 0 = 1; x 3 = Usando la formula teorica si ha M

13 Soluzione (Es. 13) n 14 nel metodo di bisezione. x 3 = e 3 < x 3 x 2 = , M (usando gli scarti). Usando ξ x 3 trovato prima si ha per lo schema di punto fisso g (x 3 ) = > 1, quindi lo schema di punto fisso non converge. Soluzione (Es. 14) Si trova subito il punto fisso della funzione in modo da determinare il fattore di convergenza M 1. Si ricava ξ = 3.5. M 1 =: il caso è critico. Partendo da x 0 = 3 si ha x 3 = , partendo da x 0 = 4.5 si ha x 3 = Graficamente si può capire il diverso comportamento dello schema. Per Newton-Raphson, se si ipotizza p = 2 il fattore di convergenza non può essere definito (division per zero). Ma ξ = 3.5 è radice doppia per la f, quindi lo schema è a convergenza lineare e M = 0.5. Si ha x 3 = Modificando lo schema si ha x 1 = x2 =... = 3.5 immediatamente si ha la soluzione. Soluzione (Es. 15) Nella Regula Falsi, x 4 = e M (usando gli scarti). Chiamando g la funzione dello schema di punto fisso, si ha g (x 4 ) = > 1: lo schema di punto fisso non converge. Soluzione (Es. 16) x 3 = , M (usando la formula teorica). Per la formula di Richardson si ha I R = Soluzione (Es. 17) Con la Regula Falsi, x 4 = Se si calcola f (ξ) si vede che si ha il valore zero (la radice ha molteplicità), quindi il metodo diventa a convergenza lineare, p = 1. Applicando la formula con gli errori (la radice è nota) si ha M = Soluzione (Es. 18) x 3 = e 3 < x 3 x 2 = M (usando gli scarti). g 1(x 3 ) = > 1: lo schema non converge. g 2(x 3 ) = < 1: lo schema converge (e M ). Soluzione (Es. 19) x 3 = , e 3 < x 3 x 2 = M (con gli scarti). g (x 3 ) = < 1: lo schema converge e M è stimato con il valore della derivata appena trovato. Soluzione (Es. 20) La f non si può derivare in 2 perciò non si può applicare Newton-Raphson. Con la Regula Falsi si ha x 5 = M (con gli scarti). Chiamando g la funzione dello schema di punto fisso, si ha g (x 5 ) = , quindi lo schema converge e M Soluzione (Es. 21) Occorre fare almeno 28 iterazioni con il metodo delle bisezioni. x 4 = e 4 < x 4 x 3 = M (usando la formula teorica), g (x 4 ) = , quindi lo schema di punto fisso non converge. 11

14 1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONE Soluzione (Es. 22) Si applica lo schema di Newton-Raphson alla funzione h(x) = f (x). Si trova x 3 = e x 3 x 2 = < M (con gli scarti). Soluzione (Es. 23) x 4 = , M , e 4 dove m = max g (x) nell intervallo assegnato (m = g (1) = 0.2). m 1 m x 4 x 3 = Soluzione (Es. 24) x 3 = , M (con la formula teorica). g 1(x 3 ) = > 1: lo schema non converge. g 2(x 3 ) = < 1: lo schema converge e M Soluzione (Es. 25) x 4 = con la Regula Falsi, x 3 = con Newton- Raphson. Per i fattori di convergenza, usando, ad esempio gli scarti, si ha M per la Regula Falsi e M Soluzione (Es. 26) x 2 = , x 3 = +. Applicando le bisezioni si ha x 0 = Partendo da 0.75 Newton-Raphson dà x 3 = M (con gli scarti). Soluzione (Es. 27) Si ricava ξ = 4 punto fisso e M = 1: caso critico. Partendo da x 0 = 3.5 si ha x 3 = , partendo da x 0 = 5 si ha x 3 = 46. Con Newton-Raphson si ha M = 0.5 (la radice è doppia). Nella Regula Falsi, x 3 = Modificando il metodo di Newton-Raphson si ha x 1 = x 2 = x 3 = 4. Soluzione (Es. 28) x 3 = per Newton-Raphson e x 3 = per la Regula Falsi. Usando gli scarti si ha M per Newton e M per la Regula Falsi. Soluzione (Es. 29) x 3 = M , e 3 < dove m = max g (x) = g (0.55). m 1 m x 3 x 2 = Soluzione (Es. 30) x 7 = Per trovare empiricamente l ordine p si può applicare la formula con i logaritmi sugli errori (la soluzione esatta è data) : p = log (e 7/e 6 ) log (e 6 /e 5 ) = Quindi p = 1, da cui facendo il rapporto e 7 /e 6 si trova il valore approssimato per M. M Si può vedere subito, comunque, visto che è nota la radice, che questa è una radice doppia e quindi il metodo della Regula Falsi diventa a convergenza lineare (p = 1). 12

15 C A P I T O L O 2 ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE Es. 31 (appello del 22 settembre 2015) Di una funzione incognita f(x) si conoscono le seguenti informazioni: x i f(x i ) Determinare il polinomio P (x) che interpola i dati assegnati mediante la tabella delle differenze divise. 2. Calcolare la regressione lineare ai minimi quadrati che minimizza gli scarti verticali. 3. Stimare il valore dell integrale I = 3 f(x)dx utilizzando la formula dei trapezi con tutti i dati riportati in tabella. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di 1 quadratura) Es. 32 (appello del 7 luglio 2015) Un punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilinea e percorre un certo spazio s in funzione del tempo t. Da un opportuna stazione di misura, sono noti i seguenti valori: t [s] s [m] Sapendo anche la velocità s (3) = 1.5m/s e l accelerazione s (3) = 2.2m/s 2, determinare s(t) mediante un interpolazione polinomiale che rispetti tutti i dati disponibili. 2. Utilizzando solo i tre valori riportati in tabella, fornire una stima dell accelerazione a del punto materiale nel senso dei minimi quadrati, assumendo che il moto sia uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla (s = s 0 + at 2 ). 3. Sempre utilizzando solamente i tre valori riportati in tabella, calcolare una nuova stima dell accelerazione a supponendo invece che il moto avvenga con velocità iniziale non nulla ma cominci nell origine del riferimento spaziale (s = v 0 t + at 2 ). 4. Quale dei due modelli di moto (punti (2) e (3)) è più accurato? Perché? Es. 33 (appello del 4 settembre 2014) È data la seguente tabella di dati sperimentali x i f(x i )

16 2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE 1. Trovare la retta y = a 0 + a 1 x di approssimazione ai minimi quadrati che minimizza gli scarti verticali. 2. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati assegnati. 3. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati assegnati e inoltre f (5) = 196. Es. 34 (appello del 10 luglio 2014) È data la seguente tabella di dati sperimentali x i y i dove i valori y i approssimano il valore di una certa funzione f nei punti x i. 1. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx 2 che minimizza gli scarti verticali. 2. Trovare la curva di approssimazione ai minimi quadrati y = c + d x che minimizza gli scarti verticali. 3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione numerica) Calcolare il valore approssimato di I = f(x)dx impiegando la formula composta dei trapezi applicata 1 utilizzando tutti i valori della tabella. Es. 35 (appello del 18 settembre 2013) È data la seguente tabella di dati sperimentali x i y i dove i valori y i approssimano il valore di una certa funzione f nei punti x i. 1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali. 2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx 2 che minimizza gli scarti verticali. 3. Calcolare il valore approssimato di I = 6 f(x)dx impiegando la formula di Cavalieri- 0 Simpson composta applicata su tutti i valori della tabella (vale a dire considerando le n = 3 suddivisioni dell intervallo [0, 6] individuate dalla tabella). (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di quadratura) Es. 36 (appello del 3 settembre 2013) 1. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati seguenti: f(0) = 2, f (0) = 1.5, f (0) = 10, f(1) = 3 2. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati precedenti e inoltre f (1) = 6; dare una stima di f(0.3). Es. 37 (appello del 25 giugno 2013) Si vuole interpolare la funzione f(x) = e x cos(x) nell intervallo I = [a, b] = [ 6.3, 0] utilizzando punti di appoggio equispaziati. 1. Qual è il grado minimo del polinomio interpolatore per avere un andamento qualitativamente simile alla funzione da interpolare (ad esempio, avere lo stesso numero di massimi/minimi o lo stesso numero di zeri)? 2. Siano dati i seguenti punti di appoggio: x 0 = 6.3, x 1 = 4.2; x 2 = 2.1 ; x 3 = 0. Scrivere la tabella delle differenze divise di Newton e il corrispondente polinomio di grado 3; 3. sapendo che nell intervallo I si ha F (x) 20, si dia una stima dell errore massimo che si commette usando il polinomio interpolatore; 4. calcolare l errore vero commesso nel punto x =

17 Es. 38 (appello del 18 settembre 2012) Sia data la seguente tabella di dati sperimentali relativi alla funzione f(x) = x x ln (x). x i f(x i ) G Usando i primi 4 punti della tabella si costruisca la tabella delle differenze divise. G Si calcoli il polinomio di Newton p 3 (x) che iterpola i primi quattro dati della tabella G Si calcoli P 3 (3), l errore E(3) = f(3) p 3 (3) e una maggiorazione di E(3) mediante la formula del resto di Lagrange. 2. Trovare la retta y = a 0 + a 1 x che approssima tutti i dati della tabella nel senso dei minimi quadrati. 3. (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione numerica) G Calcolare il valore approssimato di I = 3 f(x)dx impiegando la formula di Cavalieri- Simpson composta su tutti i valori della tabella (n = 2). G Si dia una maggiorazione dell errore commesso. G Sapendo che il valore vero dell integrale è I = , si calcoli l errore vero commesso. Si usino, dove necessario, 5 cifre significative. Es. 39 (appello del 10 luglio 2012) Sia data la tabella di dati sperimentali: x i y i Si calcoli la tabella delle differenze divise di Newton. 2. Si determinino i coefficienti della retta di approssimazione y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali. Si calcoli la somma dei quadrati degli scarti e la si denoti con il simbolo S Si approssimino i dati utilizzando il modello y = β 0 + β 1 x 2. Si determinino i coefficienti β 0 e β 1 secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. Si calcoli la somma dei quadrati degli scarti e la si denoti con il simbolo S Dal confronto di S 1 e S 2, si dica quale dei due modelli approssima meglio i dati sperimentali. Es. 40 (appello del 15 settembre 2011) Dato α R, si consideri il seguente insieme di valori della funzione f(x): f(0) = 1 f (0) = α f(1) = 3 f(2) = 2 1. Costruire la tabella delle differenze divise e determinare α in modo che il grado minimo del polinomio P (x) che interpola i dati assegnati sia 2; calcolare P (x). 2. Posto α = 4 e sapendo che f (0) = 3, calcolare il polinomio Q(x) di grado non superiore a 4 che interpola tutti i dati assegnati. Es. 41 (appello del 5 luglio 2011) Sia data la tabella seguente: x i f(x i ) Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza gli scarti orizzontali; 2. facendo uso delle differenze divise trovare il polinomio di grado non superiore a 3 che interpola i dati della tabella; 3. trovare il polinomio di grado non superiore a 5 che interpola i dati della tabella e inoltre i seguenti dati: f (2) = 39, f (2) =

18 2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE Es. 42 (primo compitino del 28 aprile 2011) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali x i y i Dopo aver costruito la tabella delle differenze divise trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati assegnati. 2. Trovare la curva di approssimazione ai minimi quadrati y = b 0 + b 1 x che minimizza gli scarti verticali. Es. 43 (appello del 2 settembre 2010) Data la seguente tabella x i y i trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati riportati in tabella; 2. trovare la retta di approssimazione y = a o + a 1 x che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali; 3. trovare la curva y = b o + b 1 x 2 che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali. Es. 44 (appello del 16 giugno 2010) Trovare il polinomio P 3 (x) di grado non superiore a tre che interpola i dati seguenti: f( 2) = 1 f( 1) = 3 f ( 1) = 3 f(1) = 5 e stimare f ( 2) e f ( 1). Calcolare quindi il polinomio P 4 (x) di grado non superiore a 4 che, oltre ai punti precedenti, interpola anche il valore f ( 1) = 8 Es. 45 (appello del 18 settembre 2009) Sia data la tabella di dati sperimentali: x i y i Si determinino i coefficienti della retta di approssimazione y = α + βx che minimizza gli scarti verticali. In corrispondenza di tali valori calcolare la somma dei quadrati degli scartii S Si vogliono ora approssimare i dati con un modello non lineare y = ae bx. Si determinino i coefficienti a e b secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. In corrispondenza di tali valori calcolare la somma dei quadrati degli scarti S Si dica quale dei due modelli è più accurato confrontando i valori S 1 e S 2. Es. 46 (appello del 6 febbraio 2009) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali: x i y i determinare la retta di regressione ai minimi quadrati y = a 0 +a 1 x che minimizza gli scarti verticali; 2. determinare la funzione potenza y = ax b (a>0) che approssima i dati; impiegando un opportuna trasformazione determinare i coefficienti a e b minimizzando gli scarti verticali con il metodo dei minimi quadrati. Es. 47 (appello del 18 giugno 2008) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali: x i y i

19 1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati x = b 0 +b 1 y che minimizza gli scarti orizzontali. 2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati x = a + by 2 che minimizza gli scarti orizzontali. 3. Calcolare il valore approssimato di I = 13 f(x)dx impiegando la formula dei trapezi applicata a ciascuno dei tre sottointervalli. (Punto dell esercizio da risolvere dopo aver 0.5 studiato le formule di quadratura.) Es. 48 (appello del 30 agosto 2007) 1. Trovare il polinomio P 3 (x) di grado non superiore a tre che interpola i dati seguenti: f( 1) = 15, f(0) = 3, f(1) = 1, f(2) = Trovare il polinomio P 4 (x) di grado non superiore a quattro che interpola gli stessi dati del punto (1) e inoltre interpola il dato seguente: f (2) = 37. Es. 49 (appello del 4 luglio 2007) Sia data la tabella seguente x i f(x i ) Scrivere la tabella delle differenze divise 2. Trovare il polinomio di grado non superiore a quattro che interpola i dati assegnati; stimare f(1.2) e f (1.2). 3. Trovare la retta ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali. Es. 50 (appello del 13 dicembre 2006) Sia data la tabella di dati sperimentali x i y i Si ricavino le rette ai minimi quadrati che minimizzano gli scarti verticali e quelli orizzontali. 2. Si dica quale delle due rette è più adatta ad approssimare i punti. Es. 51 (appello del 7 luglio 2006) Sia data la tabella seguente x i y i Scrivere la tabella delle differenze divise 2. Trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati assegnati 3. Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x, x = b 0 + b 1 y, ottenute minimizzando gli scarti verticali e orizzontali, rispettivamente. Es. 52 (appello del 31 agosto 2005) Trovare il polinomio di grado non superiore a 4 che interpola i dati seguenti: f(0) = 4, f (0) = 7, f (0) = 16, f(1) = 27, f (1) = 52 Stimare f(0.5) e f (0.5). Es. 53 (appello del 22 giugno 2005) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali x i y i Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x, x = b 0 + b 1 y ottenute minimizzando gli scarti verticali e orizzontali, rispettivamente. Trovare il punto di intersezione delle due rette. 17

20 2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE Es. 54 (appello del 30 giugno 2004) Sia data la tabella seguente x i f(x i ) Scrivere la tabella delle differenze divise. 2. Trovare il polinomio interpolatore (di Newton) di grado non superiore a Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali. Es. 55 (appello del 22 settembre 2004) Siano dati i seguenti valori relativi alla funzione f(x) = x: f(1/4) = 1/2, f(1/9) = 1/3, f(4/9) = 2/3 1. Si costruisca la tabella delle differenze divise di Newton. 2. Si determini il polinomio P 2 (x) di grado 2 che interpola tali valori. 3. Si approssimi il valore di f(0.2). 4. (Facoltativo) Si dia una stima dell errore massimo che si può commettere utilizzando P 2 (x) al posto di f(x) nell intervallo [1/9, 4/9]. Es. 56 (appello del 23 settembre 2003) Trovare il polinomio P (x) di grado non superiore a 3 che interpola i dati seguenti: f(0) = 4, f (0) = 7, f(1) = 8, f(2) = 18. Stimare f(0.5) e f (0.5). Es. 57 (appello dell 1 luglio 2003) Sia data la tabella seguente: x i f(x i ) Scrivere la tabella delle differenze divise. 2. Usando i 4 punti in successione, scrivere i polinomi interpolanti (di Newton) P n (x) di grado non superiore a n (n = 0, 1, 2, 3); commentare il risultato. 3. Usando P n (x) stimare f(1.6) e f (1.6). 4. Scrivere il polinomio P 2 (x) con la formula di Lagrange. Es. 58 (appello del 15 luglio 2003) Sia data la tabella seguente: x i f(x i ) Scrivere le equazioni delle due rette ai minimi quadrati, che minimizzano rispettivamente gli scarti verticali e orizzontali; trovare il loro punto di intersezione e dire di che punto si tratta. 18

21 Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 31) Si trova P (x) = 2 (x 1)+3.25(x 1)(x 1.2) (x 1)(x 1.2)(x 2). La retta di regressione è y = x. Invece la formula dei trapezi (che va applicata sulle suddivisioni non uniformi [1, 1.2], [1.2, 2], [2, 3] dà come risultato I Soluzione (Es. 32) Il polinomio di interpolazione è s(t) = 0.75t t t t Con la posizione T = t 2 e con la procedura ai minimi quadrati si trova s(t) = t 2. Per trovare il secondo modello riconducendosi ai minimi quadrati, basta dividere per t la relazione s = v 0 t + at 2 ottenendo s/t = v 0 + at e si pone Y = s/t. Si ricavano v 0 = e a = 0.2. Considerando la somma dei quadrati degli scarti (S = (s(1) s 1 ) 2 +(s(2) s 2 ) 2 +(s(3) s 3 ) 2 ) per i due modelli ottenuti, si trovano i valori e rispettivamente. Quindi il secondo modello è il più accurato in quanto dà lo scarto inferiore. Soluzione (Es. 33) Si ricava la retta y = x. I polinomi sono p 3 (x) = x 3 0.3x 2 + 4x 0.6 e p 4 (x) = 3x 4 26x x 2 41x 0.6. Soluzione (Es. 34) Con la trasformazione X = x 2 e applicando il procedimento per la retta ai minimi quadrati y = a + bx si trova y = X da cui, ritornando alla variabile x, si ha y = x 2. Nel secondo punto, con lo stesso ragionamento, ponendo X = x si ricava y = x. Per la formula dei trapezi, si applica la formula semplice su ciascuna suddivisione (in quanto le ampiezze non sono uguali tra loro), e poi si sommano tutti i contributi, ricavando quindi I T = Soluzione (Es. 35) Primo punto: y = x, Secondo punto: y = x 2, Terzo punto: I CV = Soluzione (Es. 36) p 3 (x) = 2 1.5x + 5x 2 2.5x 3, p 4 (x) = p 3 (x) + 5x 3 (x 1), f(0.3) p 4 (0.3) = Soluzione (Es. 37) Se vediamo i punti critici della funzione, il grado minimo è 3. Se vediamo solo gli zeri della funzione, il grado può essere anche 2. Considerando anche l andamento sinusoidale della funzione il grado minimo è 3. Il polinomio è p(x) = (x + 6.3) (x + 6.3)(x + 4.2) (x + 6.3)(x + 4.2)(x + 2.1) Per l errore si consideri il fatto che F (x) = (x x i ) quindi calcolare la maggiorazione dell errore si semplifica E max f (IV ) (x)f (x)/4!. Sappiamo già come maggiorare F (x). Per la derivata quarta in valore assoluto, si trova che il valore massimo si ha per x = 0. da cui E L errore vero in 1.1 risulta f( 1.1) p( 1.1) = Soluzione (Es. 38) p 3 (x) = x x x E 3 (3) =

22 2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE Applicando la formula del resto di Lagrange, per maggiorare, occorre trovare il massimo della derivata quarta di f (in valore assoluto). Si trova che tale massimo vale 2, da cui la maggiorazione dell errore vale y = x I CS = ; E CS E vero = Soluzione (Es. 39) Primo punto: y = x; S 1 = Secondo punto:y = x 2 ; S 2 = Dal confronto il modello che meglio approssima i dati sperimentali è quello che cui la somma dei quadrati degli scarti è il valore più basso, quindi il secondo modello. Soluzione (Es. 40) α = 8.5. P (x) = 1 8.5x + 4.5x 2. Q(x) = 1 4x + 1.5x x x 4. Soluzione (Es. 41) x = y p 3 (x) = x 3 8x x 2.5 p 5 (x) = x 5 5x 4 + 4x 3 3x 2 + 5x 2.5. Soluzione (Es. 42) p 3 (x) = 2x 3 3.5x 2 + 5x 4.5. y = x. Soluzione (Es. 43) Primo punto: p 3 (x) = 3x 3 2x 2 4.5x + 6. Secondo punto: y = x. Terzo punto: y = x 2. Soluzione (Es. 44) p 3 (x) = 3x 3 + 5x 2 2x 1, p 4 (x) = p 3 (x). Soluzione (Es. 45) Primo punto: y = x; S 1 = Secondo punto: y = e x ; S 2 = Il modello più accurato è quello per cui la somma dei quadrati degli scarti presenta il valore più basso. In questo caso, il secondo modello. Soluzione (Es. 46) Primo punto: y = x; secondo punto: y = 0.5x 2. Soluzione (Es. 47) Primo punto: x = y. Secondo punto: x = y 2. Terzo punto: I T = Soluzione (Es. 48) p 3 (x) = 3x 3 4x 2 + 5x 3, p 4 (x) = 2x 4 x 3 6x 2 + 9x 3. Soluzione (Es. 49) p 4 (x) = 5x 4 2x 3 + 6x 2 + 4x 3; y = x. Soluzione (Es. 50) y = x, x = y. Per la prima retta, la somma dei quadrati degli scarti vale , per la seconda , quindi la seconda approssima meglio i dati. 20

23 Soluzione (Es. 51) p 3 (x) = x x 2 3x + 7.5, y = x, x = y. Soluzione (Es. 52) p 4 (x) = 5x 4 + 3x 3 + 8x 2 + 7x + 4. f (0.5) p 4(0.5) = Soluzione (Es. 53) y = x, x = y. L intersezione delle due rette dà il punto di coordinate (5.2, 0.432), vale a dire il baricentro dei punti. Soluzione (Es. 54) p 3 (x) = 2x 3 5x 2 + x + 4, y = x. Soluzione (Es. 55) P 2 (x) = x x f(0.2) p(0.2) = Per la stima dell errore massimo nell intervallo assegnato si vede che f (x) = f (1/9) = Per maggiorare il prodotto (x x i ) la cosa più semplice è maggiorare ciascuno fattore (x x i ) con l ampiezza dell intervallo (che vale 1/3), da cui E rr (1/3) 3 /3! = Soluzione (Es. 56) P (x) = 3x 3 6x 2 + 7x + 4, f(0.5) P (0.5) = 6.375, f (0.5) P (0.5) = Soluzione (Es. 57) P 0 (x) = 2, P 1 (x) = 3 x, P 2 (x) = 5x 2 16x + 13, P 3 (x) = P 2 (x). Per stimare f(1.6), abbiamo P 0 (1.6) = 2, P 1 (1.6) = 1.4, P 2 (1.6) = 0.2. Per f (1, 6), P 0(1.6) = 0, P 1(1.6) = 1, P 2(1.6) = 0. Con i polinomi di Lagrange, si deve arrivare allo stesso polinomio P 2 già ricavato (fare i conti, naturalmente). Soluzione (Es. 58) y = x, x = y. Il punto di intersezione è il baricentro dei dati e ha coordinate (4.4, 1.32). 21

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25 C A P I T O L O 3 ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI Es. 59 (appello del 18 febbraio 2016) È data la matrice: A = Dopo aver provato che A é definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky. 2. Utilizzare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A 1 e per risolvere il sistema lineare Ax = b, con b = ( 95, 81.5, 57.1) T. Es. 60 (appello del 7 luglio 2015) È data la matrice A = dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva fattorizzarla secondo Cholesky A = LL T ; 2. servendosi della fattorizzazione trovata, calcolare il determinante di A 2 e risolvere il sistema lineare Ax = b, con b = (228, 115, 154) T. Es. 61 (appello del 10 luglio 2014) È data la matrice A = dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva fattorizzarla secondo Cholesky A = LL T ; 2. servendosi della fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b, con b = ( 15.4, 19.6, 2.6) T ; 23

26 3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI 3. (Punto da eseguire dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemi lineari) dopo aver provato che il metodo di Jacobi converge eseguire due iterazioni col metodo di Jacobi partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T ; Es. 62 (appello dell 11 febbraio 2014) Data la matrice seguente: A = γ determinare γ in modo tale che la somma degli autovalori di A sia uguale a 94. Dopo aver provato che la matrice è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky A = LL T. Utilizzare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A 2 e per risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = ( 14, 36, 30) T. Es. 63 (appello del 10 luglio 2013) È data la matrice A = Dopo aver provato che A è simmetrica definita positiva, fattorizzare A secondo Cholesky, sfruttare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A Risolvere con il metodo di Seidel il sistema Ax = b dove b = (36, 19, 51) T : partendo da x 0 = (1, 1, 1) T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel.(Punto da risolvere dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemi lineari. Es. 64 (appello del 4 settembre 2012) Data la matrice simmetrica A A = dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky (A = LL T ). Impiegare la fattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A 3 e per risolvere il sistema lineare Ax = b dove: b = (66, 83, 17.25) T. Es. 65 (appello del 15 febbraio 2012) È dato il sistema lineare Ax = b dove A = b = Calcolare la traccia di A T A. 2. Determinare la fattorizzazione LU della matrice A secondo Crout (U con diagonale unitaria) e calcolare il valore del determinante di A Calcolare la soluzione x mediante sostituzioni in avanti e all indietro. Es. 66 (appello del 5 luglio 2011) Data la matrice seguente: A =

27 1. Dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky: A = LL T 2. impiegare la fattorizzazione per calcolare det(a 1 ) e risolvere il sistema lineare Ax = b con b = ( 4, 97, 111.5) T ; 3. dopo aver provato che lo schema iterativo di Jacobi converge, eseguire due iterazioni con tale schema, partendo da x 0 = (0, 0, 0) T. Questo punto è da svolgere dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemi lineari. Es. 67 (appello del 16 febbraio 2011) Data la matrice seguente: A = provare che la matrice A è simmetrica definita positiva; 2. determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T. 3. impiegare la fattorizzazione trovata per calcolare det(a 1 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = (24.75, , ) T. Es. 68 (appello del 7 luglio 2010) È dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = Provare che la matrice A è simmetrica definita positiva. 2. Fattorizzare la matrice A secondo Cholesky: A = LL T. 3. Usare la fattorizzazione trovata per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(a 2 ). Es. 69 (appello del 2 luglio 2009) Si consideri il fattore triangolare basso di Cholesky L: L = α della matrice simmetrica e definita positiva A = LL T. 1. Calcolare α in modo tale che det(a 3 ) = Con il valore di α del punto precedente, risolvere mediante sostituzioni in avanti e all indietro il sistema lineare Ax = b con b = (12, 14, 32) T. 3. Dopo aver verificato che A è biciclica e coerentemente ordinata, calcolare il fattore ottimo di sovrarilassamento ω opt e stimare il numero di iterazioni con il metodo SOR e ω opt necessarie per abbattere l errore di 10 ordini di grandezza. (Punto dell esercizio da risolvere dopo aver studiato i metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari). Es. 70 (primo compitino del 14 maggio 2008) Data la matrice A =

28 3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI 1. calcolare A (norma massima per righe), A 1 (norma massima per colonne), e N(A) (norma euclidea); 2. senza calcolare A 1 determinare le seguenti tracce: T r(a 1 ) e T r(a 5 ); 3. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (diag(u) = I, Crout); 4. utilizzando la fattorizzazione calcolare il determinate di A 3. Es. 71 (appello del 30 agosto 2007) Data la matrice simmetrica A = provare che la matrice A è definita positiva; 2. fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T ; 3. usare la fattorizzazione trovata per calcolare det(a 1 ) e quindi per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (8, 124, 52) T. Es. 72 (appello 20 giugno 2007) Data la matrice A = trovare il fattore triangolare inferiore di Cholesky; utilizzarlo per calcolare det(a 1 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = (22, 18, 93.5) T. Es. 73 (primo compitino 23 maggio 2007) Data la matrice A = calcolare norma massima per righe, norma massima per colonne e norma euclidea; 2. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (diag(u) = I, Crout); 3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (31, 1, 16) T, calcolare quindi il determinante di A 2. Es. 74 (appello del 7 luglio 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T. Sfruttare la fattorizzazione per calcolare det(a 1 ) e per risolvere il sistema lineare assegnato. Es. 75 (appello 23 giugno 2006) Data la matrice A = fattorizzare la matrice A secondo Crout: A = LU (u ii = 1); usando i fattori L e U, calcolare det(a 3 ) e risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = ( 50, 79, 62) T. 26

29 Es. 76 (primo compitino del 24 maggio 2006) Data la matrice A = calcolare A (norma massima per righe), A 1 (norma massima per colonne), e N(A) (norma euclidea); 2. dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T (prendendo i valori positivi delle radici); 3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (95, 91.5, 62.5) T, calcolare quindi il determinante di A 1. Es. 77 (appello del 30 giugno 2004) È data la matrice A = Dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T (prendendo i valori positivi delle radici). 2. Usare la fattorizzazione per calcolare det(a 2 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (30, 138, 120) T. Es. 78 (primo compitino del 23 aprile 2002) Data la matrice 24 δ 8 4 A = 8 4δ con δ parametro reale 1. determinare δ in modo che T r(a) = 159; 2. verificare che A è definita positiva; 3. fattorizzare secondo Cholesky A = LL T (prendendo i valori positivi delle radici); 4. usare la fattorizzazione per calcolare det(a 2 ); 5. usare la fattorizzazione per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (68, 167, 176) T. Es. 79 (appello del 12 settembre 2001) Data la matrice A = verificare che A è definita positiva e trovare il suo fattore triangolare basso di Cholesky L (prendendo i valori positivi delle radici). Utilizzarlo per 1. calcolare il determinante di A 1 2. risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (6, 6, 3) T. 27

30 3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 59) La matrice L = Il determinante della matrice A 1 vale Con le sostituzioni in avanti e all indietro si trova il vettore y = ( 19, 18, 15) T e il vettore x = ( 4, 3, 5) T Soluzione (Es. 60) La matrice L = Il determinante della matrice A 2 vale Con le sostituzioni in avanti e all indietro si trova il vettore y = (38, 4, 12) T e il vettore x = (4, 2, 3) T Soluzione (Es. 61) La matrice L = Con le sostituzioni in avanti e all indietro si trova il vettore y = ( 11, 7.2, 2.4) T e il vettore x = ( 6, 4, 3) T. Con il metodo di Jacobi, alla seconda iterazione si ricava il vettore x (2) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 62) γ = tr(a) = λ i = 94 da cui γ = La matrice L = det (A 2 ) = (scritto in funzione del determinante di L). Si risolvono due sottosistemi e si ricava x = ( 4, 3, 1) T Soluzione (Es. 63) Si trova L = det (A 2 ) = (a partire dal determinante di L). Con il metodo di Seidel si ha, alla terza iterazione, x (3) = ( , , ) T Soluzione (Es. 64) Si trova L = Usando il determinante di L si trova det (A 3 ) = Si risolvono due sottosistemi (con gli algoritmi di sostituzione all indietro e in avanti) per arrivare al vettore x = (3, 2, 1) T Soluzione (Es. 65) Si ricavano L = e U = Si trova det (A 3 ) = Infine x = (3, 1, 2) T. 28

31 Soluzione (Es. 66) Si trova L = Quindi, usando il determinante di L si ricava det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (2, 3, 2) T. Applicando il metodo di Jacobi, il vettore che approssima la soluzione alla seconda iterazione è x (2) = ( , , ) T Soluzione (Es. 67) Si ha L = Usando la L, si ricava det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti, si trova x = ( 2, 3, 4) T Soluzione (Es. 68) Per L si ha L = Risolvendo il sistema, per sostituzioni in avanti e all idietro, si ha x = (2, 2, 5) T, mentre, sfruttando il determinante di L, si ha det (A 2 ) = Soluzione (Es. 69) α = 3, x = (1, 1, 3) T, ω opt = , numero di iterazioni maggiori o uguali a 10. Soluzione (Es. 70) A = 9, A 1 = 7, N(A) = Si calcolano gli autovalori di A considerando che gli autovalori della matrice A i sono gli autovalori di A elevati a i, e si sfrutta la relazione per cui T r(a) = λ i dove λ i sono gli autovalori di A. Perciò T r(a 1 ) = , T r(a 5 ) = , L = , U = /2, 0 1 7/ det (A 3 ) = Soluzione (Es. 71) L = 2 8 0, det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (1, 2, 2) T Soluzione (Es. 72) L = 1 5 0, det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (2, 2, 3) T. Soluzione (Es. 73) A = 11, A 1 = 11, N(A) = 10. L = , U = , det (A 2 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (5, 2, 3) T. 29

32 3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI Soluzione (Es. 74) L = , det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = ( 2, 3, 1) T. Soluzione (Es. 75) L = , U = , det (A 3 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = ( 2, 3, 2) T. Soluzione (Es. 76) A = 42, A 1 = 42, N(A) = L = , det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (3, 2, 2) T Soluzione (Es. 77) L = 1 8 0, det (A 2 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (1, 3, 2) T Soluzione (Es. 78) δ = 8, L = 2 7 0, det (A 2 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (3, 2, 1) T Soluzione (Es. 79) L = 1 3 0, det (A 1 ) = Con le sostituzioni all indietro e in avanti si ha x = (2, 1, 0) T. 30

33 C A P I T O L O 4 ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI Es. 80 (appello del 4 settembreo 2015) È data la matrice A = δ 0 δ determinare il numero reale positivo δ in modo tale che il raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel sia ρ S = 17/ Per tale valore di δ si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b; partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 0, 1) T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel. Es. 81 (appello del 12 febbraio 2015) È dato il sistema lineare Ax = b A = b = Provare che il metodo di Seidel converge. 2. Eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 0, 1) T. 3. Si provi che la matrice A è fattorizzabile secondo Cholesky (non è richiesto il calcolo della decomposta). Es. 82 (appello del 19 settembre 2014) È data la matrice 3γ γ γ 6 con γ parametro reale. 1. Determinare γ in modo che tr(a) =

34 4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI 2. Con il valore di γ ricavato si giustifichi, senza calcolare le matrici di iterazione, la convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel per la soluzione di sistemi lineari Ax = b. 3. Ponendo b = (10, 70, 23) T e partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, si calcolino due iterazioni del metodo di Jacobi e due iterazioni del metodo di Gauss-Seidel. Es. 83 (appello del 18 giugno 2014) È dato il sistema lineare Ax = b A = b = Provare che il metodo di Seidel converge; senza calcolare la matrice di iterazione di Seidel calcolare la sua velocità di convergenza. 2. Dire se il metodo SOR converge e calcolare la velocità di convergenza del metodo SOR con parametro ω ottimale. 3. Eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T. Es. 84 (appello del 3 settembre 2013) È dato il sistema lineare Ax = b ove: A = e b = (26, 34, 34) T. Dopo aver provato che i metodi iterativi di Jacobi e di Seidel convergono, eseguire prima due iterazioni col metodo di Jacobi e poi tre iterazioni col metodo di Seidel partendo in entrambi i casi col vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, dare inoltre una stima del raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel. Es. 85 (appello del 25 giugno 2013) Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove: A = b = Verificare la convergenza del metodo di Seidel; 2. in caso di convergenza, effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore inziale x 0 nullo; 3. assumendo A biciclica e coerentemente ordinata, dire se il metodo SOR converge, e calcolare il valore della velocità di convergenza del metodo SOR con parametro ω ottimale. Es. 86 (appello del 10 luglio 2012) Sia α un numero reale positivo e sia dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = α Senza calcolare la matrice di iterazione di Seidel determinare α in modo tale che il suo raggio spettrale sia uguale a 3/8; trovare il fattore ω opt di rilassamento e la corrispondente velocità asintotica di convergenza. 2. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 1, 1) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel. (esprimere i risultati in virgola fissa con almeno 7 cifre decimali ove presenti)

35 Es. 87 (appello del 26 giugno 2012) Si consideri la seguente matrice dipendente da un parametro reale γ > 1 : A = 2 3 γ Si dica per quali valori di γ il metodo di Jacobi converge. 2. Si consideri ora γ = 0. Per tale valore di γ si stimi il numero di iterazioni necessario per ridurre l errore iniziale di un fattore con il metodo di Jacobi. 3. Sempre considerando γ = 0, si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove b = (0, 4, 10) T mediante il metodo di Gauss-Seidel. Si giustifichi che tale metodo converge e, partendo dal vettore iniziale x (0) = (0, 0, 0) T, calcolare x (1), x (2), x (3). Es. 88 (appello del 15 settembre 2011) È dato il sistema lineare Ax = b dove A = b = Senza calcolare la relativa matrice di iterazione, provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. 2. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare le prime tre iterazioni dello schema di Seidel. (Riportare i risultati utilizzando almeno 7 cifre decimali) Es. 89 (appello del 21 giugno 2011) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza senza calcolare la relativa matrice di iterazione. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 1, 1) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con il metodo di Seidel e stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di iterazione) impiegando la norma euclidea degli scarti. Es. 90 (appello del 2 settembre 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = senza calcolare la matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. Prendendo x 0 = (1, 1, 1) T, calcolare le approssimazioni x 1, x 2 e x 3 ottenute con il metodo di Seidel. Es. 91 (appello del 16 giugno 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che gli schemi di Jacobi e di Seidel convergono e trovare le corrispondenti velocità asintotiche di convergenza. Prendendo x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare le approssimazioni x 1 e x 2 ottenute prima col metodo di Jacobi e poi con quello di Seidel. 33

36 4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI Es. 92 (appello del 18 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge; 2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel; 3. notando che la soluzione vera è il vettore x = (1, 1, 1) T, si usi la norma massima dell errore per dare una stima numerica dell autovalore massimo della matrice di iterazione di Seidel e determinare il valore di ω opt Es. 93 (appello del 2 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge; partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel. Es. 94 (appello del 6 febbraio 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = e b = (8, 9, 6) T, provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Partendo dalla soluzione iniziale x 0 = (0, 0, 0) T calcolare le approssimazioni x 1, x 2 ottenute applicando prima lo schema di Jacobi e poi quello di Seidel. Es. 95 (appello del 17 giugno 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza; 2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel; 3. stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di Seidel) impiegando la norma euclidea degli scarti. Es. 96 (appello del 18 giugno 2008) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = senza calcolare la relativa matrice di iterazione dire se lo schema di Seidel converge; trovare la velocità asintotica di convergenza di Seidel e il fattore ottimo di rilassamento; 2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 1, 1) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel. 34

37 Es. 97 (appello del 13 dicembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = Provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 1, 1) T, trovare le prime due approssimazioni x 1 e x 2 ottenute con lo schema di Seidel. Es. 98 (appello del 13 settembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che lo schema di Seidel converge; 2. partendo dalla soluzione iniziale x 0 = (0, 0, 0) T eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel per trovare le approssimazioni x 1, x 2 e x 3. Es. 99 (appello del 20 giugno 2007) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = trovare il fattore ottimo di rilassamento ω opt e le velocità asintotiche di convergenza, R S, R ωopt degli schemi di Seidel e rilassamento. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare x 1, x 2, x 3 con lo schema di Seidel. Es. 100 (appello del 31 agosto 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Prendendo come soluzione iniziale x 0 = (0, 0, 0) T calcolare 1. le prime due approssimazioni x 1, x 2 ottenute con lo schema di Jacobi; 2. le prime due approssimazioni x 1, x 2 ottenute con lo schema di Seidel. Es. 101 (appello del 23 giugno 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che lo schema di Seidel converge, calcolare quindi la velocità asintotica di convergenza; 2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel calcolando x 1, x 2 e x 3. 35

38 4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI Es. 102 (appello del 31 agosto 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = trovare il fattore ottimo di rilassamento ω opt e le velocità asintotiche di convergenza, R J, R S, R ωopt degli schemi di Jacobi, Seidel e rilassamento. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1, 1, 1) T, calcolare x 1, x 2 con lo schema di Seidel. Es. 103 (appello del 22 giugno 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = dall esame della matrice, dire se i metodi di Jacobi e Seidel convergono Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T 1. calcolare x 1, x 2 con lo schema di Jacobi; 2. calcolare x 1, x 2 con lo schema di Seidel. Es. 104 (appello del 15 luglio 2003) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = Dopo aver provato che lo schema iterativo di Seidel converge, calcolare la sua velocità asintotica di convergenza. 2. Posto x 0 = (0, 0, 0) T trovare le prime due approssimazioni x 1 e x 2 ottenute applicando il metodo di Seidel. Es. 105 (appello del 5 febbraio 2003) Dato il sistema lineare Ax = b dove: A = b = provare che lo schema iterativo di Seidel converge; 2. posto x 0 = (0, 0, 0) T, calcolare x 1 e x 2. Es. 106 (appello del 28 giugno 2002) Data la matrice determinare il fattore ottimo di rilassamento e la corrispondente velocità asintotica di convergenza. Calcolare, inoltre, la velocità asintotica di convergenza degli schemi di Jacobi e Seidel. Es. 107 Prestare molta attenzione!!! (appello di giugno 2000) Sia data la matrice 3/4 1/8 0 A = 1/8 3/4 1/2 0 1/2 3/4 36

39 e il seguente schema iterativo per la soluzione del sistema Ax = b: x k+1 = (I A)x k + b 1. Verificare la convergenza di tale schema. 2. Calcolare la sua velocità asintotica di convergenza. 3. Dati b = (6, 25/8, 13/4) T e x 0 = (0, 0, 0) T calcolare x 1, x 2 e x 3. Es. 108 Per i più curiosi! (appello di luglio 1998) Dato il sistema lineare Ax = b con 3 β A = b = β con β parametro reale, si calcoli: 1. l insieme dei valori di β per cui il metodo di Jacobi converge; 2. il valore di β che minimizza il raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel; 3. usando tale valore di β, calcolare le prime tre iterazioni di Seidel a partire dal vettore iniziale x 0 = (0, 0, 0) T. 37

40 4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 80) Si calcolano gli autovalori della matrice di Jacobi, in quanto la matrice A è tridiagonale, dunque biciclica e coerentemente ordinata e possiamo usare la relazione che lega Jacobi e Seidel. Si trova δ = 5. Con questo valore si ottiene, alla terza iterazione il vettore x 3 = (3.01, , ) T. Soluzione (Es. 81) La matrice è diagonalmente dominante in senso stretto e quindi Seidel converge. Alla terza iterazione si ha x 3 = ( , , ) T. Dal momento che la matrice è simmetrica, con elementi diagonali positivi e diagonalmente dominante in senso stretto, la matrice è definita positiva e quindi è fattorizzabile secondo Cholesky. Soluzione (Es. 82) γ = 5. La seconda iterazione di Jacobi dà x (2) = (1.45, 5.775, ). La seconda iterazione di Gauss-Seidel dà x (2) = (1.438, , ). Soluzione (Es. 83) R S = , ω opt = , R ωopt = Alla terza iterazione del metodo di Seidel si ha x (3) = (5.1225, , ) T. Soluzione (Es. 84) La seconda iterazione del metodo di Jacobi dà x (2) = (2.82, 0.755, 0.825) T. Alla terza iterazione del metodo di Seidel si ha x (3) = ( , , ) T. Utilizzando la norma euclidea degli scarti si ha ρ(e S ) = Usando la norma infinito degli scarti (più semplice da calcolare) si ha ρ(e S ) = Soluzione (Es. 85) La terza iterazione del metodo di Seidel dà x (3) = ( , , 1.0, 1.0) T. Se si vede che la matrice è riducibile, si può applicare Seidel alla matrice 2 2. ω opt = , R ωopt = Soluzione (Es. 86) α = 34, ω opt = , R ωopt = La terza iterazione del metodo di Seidel dà x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 87) 1 < γ < 2. Occorre fare un numero di iterazioni maggiore o uguale a 42. La terza iterazione del metodo di Seidel dà x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 88) R S = La terza iterazione è x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 89) R S = La terza iterazione è x (3) = ( , , ) T. Usando la norma euclidea degli scarti, si trova ρ(e S ) = (prima teoricamente è stato trovato Soluzione (Es. 90) R S = La terza iterazione è x (3) = ( , , ) T. 38

41 Soluzione (Es. 91) R J = , R S = La seconda iterazione di Jacobi dà x (2) = ( , , 0.95) T. La seconda iterazione di Seidel dà x (2) = (0.9125, 1.02, ) T. Soluzione (Es. 92) Si ha x (3) = (0.9701, , ) T. Sfruttando la norma massima degli errori, si ha ρ(e S ) = 0.23, ω opt = (la matrice A è tridiagonale, quindi biciclica e coerentemente ordinata e valgono le ipotesi del teorema di Young perciò si può applicare la formula per l ω opt ). Soluzione (Es. 93) Risulta x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 94) Per Jacobi si ha x (2) = (1.09, 0.805, ) T. Per Seidel si ha x (2) = (1.2145, , ) T. Soluzione (Es. 95) Si ha R S = ; x (3) = ( , , ) T. Facendo il rapporto delle norme degli errori si ha ρ(e S ) = (valore già trovato per rispondere alla prima parte dell esercizio, usando la matrice di Jacobi teorema di Young). Soluzione (Es. 96) Si ha R S = ; ω opt = ; Alla terza iterazione, x (3) = (3.033, , ) T. Soluzione (Es. 97) Si ha R S = ; Alla seconda iterazione, x (2) = (3.95, , ) T. Soluzione (Es. 99) Si ha R S = , R ωopt = , e x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 99) Si ha x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 100) Con Jacobi si ha x (2) = ( , , ) T. Con Seidel si ha x (2) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 101) Si ha R S = , e x (3) = (2.072, 3.216, 0.784) T. Soluzione (Es. 102) Si ha R J = , R S = , R ωopt = , e x (2) = (2.3, 2.88, 1.88) T. Soluzione (Es. 103) Con Jacobi si ha x (2) = (0.5, 0.43, ) T. Con Seidel si ha x (2) = ( , , ) T. 39

42 4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI Soluzione (Es. 104) R S = ; x (2) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 105) x (2) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 106) ω opt = , R ωopt = , R J = , R S = Soluzione (Es. 107) Si calcola il raggio spettrale della matrice di iterazione e si trova il valore < 1, da cui il metodo converge con velocità di convergenza R = Alla terza iterazione si trova x (3) = ( , , ) T. Soluzione (Es. 108) Si ha 2 < β < 2. La matrice è tridiagonale, gli autovalori della matrice di Jacobi sono reali e per β ] 2, 2[ si ha convergenza, quindi sono valide le ipotesi del teorema di Young. Di conseguenza, il raggio spettrale della matrice si Seidel è legato anch esso a β e si trova ρ(e S ) = 1 + 2β2. Se si vuole minimizzare il raggio spettrale di Seidel bisogna trovare il minimo 9 della funzione precedente: si ricava β = 0. Con questo valore di β, il metodo di Seidel alla terza iterazione dà il vettore x (3) = (1, , ) T. 40

43 C A P I T O L O 5 ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA Es. 109 (appello del 18 febbraio 2016) Sia da calcolare il seguente integrale: I = 3 1 (x exp( 5x)) dx 1. Approssimare I col metodo dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione. 2. Dare una maggiorazione dell errore e confrontarlo con l errore esatto ottenuto dopo aver calcolato analiticamente l integrale assegnato. Es. 110 (appello del 4 settembre 2015) Sia da calcolare il seguente integrale I = 6 4 (3x + ln (5x))dx 1. Approssimare I col metodo dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione. 2. Dare una maggiorazione dell errore e confrontarlo con l errore esatto ottenuto dopo aver calcolato analiticamente l integrale assegnato. Es. 111 (appello del 17 giugno 2015) Sia da calcolare il seguente integrale I = 3 1 (2x + ln (x + 2))dx 1. Si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione. 2. Dare una maggiorazione dell errore confrontandolo con l errore esatto ottenuto dopo aver calcolato analiticamente l integrale assegnato 3. Determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione in modo tale che l errore stimato con la formula di Cavalieri-Simpson sia minore di

44 5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA Es. 112 (appello del 19 settembre 2014) Sia da calcolare il seguente integrale: I = 2 0 (4x 3 + (1/36)sin(6x)) dx 1. calcolare I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell intervallo di integrazione; 2. calcolare I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione; 3. calcolare I con la formula di estrapolazione di Richardson; 4. determinare il numero n di suddivisioni uniformi dell intervallo di integrazione in modo che l errore stimato con la formula composta di Cavalieri-Simpson sia inferore a Es. 113 (appello del 18 giugno 2014) Sia da calcolare il seguente integrale I = (x + 1)e 2x dx 1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intevallo di integrazione; 2. dare una maggiorazione dell errore confrontandolo con l errore esatto ottenuto dopo aver calcolato analiticamente l integrale assegnato; 3. determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione in modo tale che l errore stimato con la formula dei trapezi sia minore di Es. 114 I = 3 0 (appello dell 11 febbraio 2014) Dato l integrale ( ) x 2 2 xe x dx 1. Si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo. 2. Si dia una stima dell errore commesso. 3. Si dica quante suddivisioni occorre fare sull intervallo dato, per poter approssimare I con la formula dei trapezi composta commettendo un errore inferiore a Si calcoli analiticamente l integrale e, successivamente, l errore esatto relativo all approssimazione ottenuta al punto (1), confrontandolo con la stima ottenuta. Es. 115 (appello del 13 febbraio 2013) Sia da calcolare il seguente integrale: I = 1 0 5x 4 3x dx 1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e n = 2 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione; 2. dare una maggiorazione dell errore commesso nei due casi confrontandolo poi con l errore esatto; 3. applicare il metodo di estrapolazione di Richardson e spiegare l errore che si ottiene. (Esprimere i risultati con almeno sette cifre decimali) 42

45 Es. 116 (appello del 4 settembre 2012) Sia da calcolare il seguente integrale: I = cos(3x) dx 1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione; 2. dare una maggiorazione dell errore commesso confrontandolo poi con l errore esatto; 3. determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione in modo tale che l errore stimato con la formula dei trapezi sia minore di Es. 117 (appello del 26 giugno 2012) Sia da calcolare I = 3 0 f(x) dx dove il valore della funzione f è noto in sette punti equidistanti dell intervallo [0, 3]: x i f(x i ) Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l integrale mediante la formula dei trapezi composta. Chiamare tale approssimazione I T. 2. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l integrale mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta. Chiamare tale approssimazione I S. 3. Sapendo che la funzione integranda è f(x) = e x 3 + x 3 1, maggiorare gli errori che si commettono nei due casi. 4. Dopo aver calcolato il valore esatto dell integrale, calcolare gli errori E T = I I T, E S = I I S. Es. 118 (appello del 15 febbraio 2012) È dato l integrale I = 0 x 1/2 dx. 1 x 2 1. Si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto l intervallo e poi suddividendo l intervallo in due parti uguali. 2. Si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson. 3. Dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I determinare l errore esatto commesso con l estrapolazione di Richardson. Es. 119 (appello del 1 o settembre 2011) Calcolare l integrale seguente: I = 3 2 ln (x + x 2 )dx 1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell intervallo [2, 3]. 2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell intervallo [2, 3]. 3. con il metodo di estrapolazione di Richardson; 4. con il metodo di Gauss e tre punti di appoggio (x 1 = 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5; B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9). (Usare almeno 7 cifre decimali.) 43

46 5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA Es. 120 I = 4 2 (appello del 21 giugno 2011) Dato l integrale (x + cos 2 (x))dx 1. Calcolare il numero di intervalli n in cui si deve suddividere l intervallo [2, 4] in modo da approssimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta con un errore inferiore a (Suggerimento: si ricordi la relazione cos cos (2x) (x) = ) Approssimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta utilizzando il valore di n ottenuto al punto precedente. Chiamare I S tale approssimazione. 3. Dopo aver calcolare il valore vero di I, calcolare l errore vero E = I I S. Es. 121 (appello del 16 febbraio 2011) Calcolare: I = 2 1 ln 2 x dx 1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell intervallo [1, 2]; 2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell intervallo [1, 2]; 3. con il metodo di estrapolazione di Richardson; 4. dopo aver calcolato il valore esatto dell integrale I, calcolare l errore esatto commesso nei tre (punti) precedenti. Es. 122 I = 2 0 (appello del 16 settembre 2010) Dato l integrale: ( ) 1 4 x4 + x 3 2x + 3 dx 1. stimare I mediante la formula dei trapezi applicata su n = 1, 2 e 4 suddivisioni dell intervallo [0, 2]; 2. stimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e 2 suddivisioni dell intervallo [0, 2]; 3. utilizzando i risultati ottenuti al punto precedente, determinare il valore esatto di I senza calcolare l integrale analiticamente. Es. 123 I = 6 2 (appello del 16 giugno 2010) Dato l integrale ln(x + 3)dx 1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell intervallo di integrazione in parti uguali; 2. si dia una stima dell errore commesso con la formula di Cavalieri-Simpson; 3. calcolare analiticamente l integrale e l errore esatto relativo all approssimazione eseguita con Cavalieri-Simpson confrontandolo con la stima precedentemente ottenuta. Es. 124 I = 3 2 (appello del 17 giugno 2009) Dato l integrale seguente (x 2 + xe 2x )dx 44

47 1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo, si dia quindi una stima dell errore commesso; 2. dire in quanti intervalli uguali (n) si deve suddividere l intervallo [2, 3] in modo da approssimare I con la formula dei trapezi composta con un errore inferiore a 10 2 ; 3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x 1 = 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5 con i pesi B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9; Questo punto non è più in programma quindi non va svolto. 4. (facoltativo) calcolare analiticamente l integrale e poi l errore esatto relativo all approssimazione ottenuta al punto (1) confrontandolo con la stima ottenuta. Es. 125 ( appello del 13 dicembre 2007) Sia dato l integrale I = 3 1 ln(x 2 + 1)dx Calcolare il valore approssimato di I, dapprima con la formula dei trapezi e poi con quella di Cavalieri-Simpson, utilizzando quattro suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione. Dopo aver calcolato analiticamente il valore dell integrale, valutare l errore esatto commesso nei due casi. Es. 126 (appello del 23 giugno 2006) Dato l integrale seguente I = x 2 e x/2 dx 1. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto l intervallo e poi suddividendo l intervallo in due parti uguali; si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson; 2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 6 suddivisioni in parti uguali dell intervallo; si dia una stima dell errore commesso; 3. (facoltativo) calcolare analiticamente l integrale e l errore esatto confrontandolo con la stima ottenuta al punto (2). Es. 127 (appello del 20 giugno 2007) Dato l integrale I = 4 2 x2 ln(x)dx 1. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto l intervallo e poi suddividendo l intervallo in due parti uguali; si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson; 2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 5 suddivisioni in parti uguali dell intervallo; si dia quindi una stima dell errore commesso; 3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x 1 = 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5 con i pesi B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9; Questo punto non è più in programma, quindi non va svolto. 4. (facoltativo) calcolare analiticamente l integrale e poi l errore esatto relativo all approssimazione ottenuta al punto (2) confrontandolo con la stima ottenuta. Es. 128 (appello del 30 giugno 2004) Dato l integrale I = 1 0 ln(4 + x 2 )dx 45

48 5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA 1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo [0, 1]; 2. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto l intervallo e poi suddividendo l intervallo in due parti uguali; 3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson; 4. (facoltativo) dopo aver calcolato analiticamente il valore di I determinare l errore esatto commesso con l estrapolazione di Richardson. Es. 129 (appello del 23 settembre 2003) Calcolare I = 1 0 e x dx usando la formula dei trapezi e la formula di Cavalieri-Simpson avendo suddiviso l intervallo [0, 1] in n = 5 parti uguali. Dare una maggiorazione degli errori commessi nei due casi. Es. 130 (appello del 1 luglio 2003) Dato l integrale I = 20 0 cos( x)dx 1. si approssimi I con i valori A 1 e A 2 ottenuti applicando il metodo dei trapezi prima a tutto l intervallo e poi all intervallo suddiviso in due parti uguali; 2. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto l intervallo e poi all intervallo suddiviso in due parti uguali; 3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson. Es. 131 (appello del 19 settembre 2002) Calcolare I = 6 2 ln(x)dx con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell intervallo d integrazione. Trovare una maggiorazione dell errore commesso. Confrontare l errore esatto con la stima precedentemente trovata. Es. 132 Per i più attenti!!! (appello del 29 agosto 2001) Si deve calcolare 2 0 e x2 dx con la formula di Cotes di grado 4, conoscendo i coefficienti di Cotes: C (4) 0 = 7/90, C (4) 1 = 32/90. (Suggerimento: tenere conto del valore della somma dei coefficienti di Cotes e della loro simmetria) Es. 133 (appello del 22 giugno 2000) Si vuole calcolare I = 3 sin(x) cos(x)dx Calcolare il valore di I utilizzando il metodo di Gauss-Legendre G 3 con 3 punti di appoggio (x 1 = 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5; B 1 = B 3 = 5/9; B 2 = 8/9). Punto non più in programma, quindi non va svolto. 2. Calcolare con la formula di Cavalieri-Simpson il valore I CS2 di I che si ottiene suddividendo l intervallo in due parti uguali. 3. Dopo aver calcolato il valore esatto di I valutare gli errori esatti commessi con le approssimazioni G 3 e I CS2. 46

49 Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 109) Si haa I T = , la maggiorazione è e l errore esatto è minore della maggiorazione. Soluzione (Es. 110) Si trova I T = , la maggiorazione è e l errore esatto è minore della maggiorazione. Soluzione (Es. 111) Si ha I CS = , la maggiorazione dell errore vale E CS (si considera che f IV (x) = 6/(x + 2) 4 il cui massimo si ha per x = 1 nell intervallo di integrazione); l errore vero vale minore della maggiorazione, mentre il numero di suddivisioni affinche l errore stimato sia minore di 10 7 deve essere n 10 (applicando la formula si trova n ). Soluzione (Es. 112) I 1 = , I 2 = , I R = , n 45 (si considera, per maggiorare la derivata quarta della f, che sin (6x) 1). Soluzione (Es. 113) I T = Dal momento che il massimo di f (x) si ha per x = 0.5, si ricava E T < L errore vero (in valore assoluto) vale Il numero di suddivisioni da fare è maggiore o uguale a 17. Soluzione (Es. 114) I T = M = max f (x) = f (0) = 3 quindi E T < Il numero di suddivisioni da fare è n 83. Infine l errore esatto vale I I T = Soluzione (Es. 115) I 1 = , I 2 = ,. Per le maggiorazioni dell errore si ha E 1 < e E 2 < Gli errori esatti coincidono con le maggiorazioni appena scritte in quanto la derivata quarta è costante. Da qui si deduce anche che il valore dell estrapolazione di Richardson coincide con l integrale esatto, e vale infatti 2. Soluzione (Es. 116) I T = , E T < E esatto = Il numero di suddivisioni da fare è n 31. Soluzione (Es. 117) I T = , I CS = , E T < , E CS < Gli errori esatti sono rispettivamente e Soluzione (Es. 118) Q 1 = , Q 2 = , I R = , I I R = Soluzione (Es. 119) Q 1 = , Q 2 = , I R = , I G = Soluzione (Es. 120) Il numero di suddivisioni è n 4 (per maggiorare il valore assoluto della derivata quarta della f si tenga conto che cos (2x) 1). 47

50 5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA Si ricava I CS = , e l errore esatto è E = Soluzione (Es. 121) Q 1 = , Q 2 = , I R = Gli errori esatti sono rispettivamente , , Soluzione (Es. 122) Con i trapezi si ha, per le tre suddivisioni richieste, A 1 = 14,A 2 = 9.25, A 4 = Con Cavalieri-Simpson si ha B 1 = , B 2 = Applicando Richardson ai due valori ottenuti da Cavalieri-Simpson si ha I = 7.6 che è l integrale esatto in quanto la derivata quarta della f è costante e ciò comporta che il procedimento di Richardson dia l integrale esatto. In alternativa, si può dire che I = B 1 + E dove E = f (IV ) (ξ)(b a) 5. Dal momento che la 2880 derivata quarta è costante si può valutare esattamente l errore e quindi ricavare il valore esatto dell integrale. Soluzione (Es. 123) I CS = , E CS (per trovare la maggiorazione dell errore, attenzione al fatto che la derivata quarta è negativa!). L errore esatto vale Soluzione (Es. 124) I T = , E T Il numero di suddivisioni da fare è maggiore o uguale a 5. I G = L errore esatto rispetto alla formula dei trapezi vale I I T = Soluzione (Es. 125) I T = , I CS = , E T = , E CS = Soluzione (Es. 126) Q 1 = , Q 2 = , I R = , I T = , E T L errore esatto rispetto alla formula dei trapezi vale Soluzione (Es. 127) Q 1 = , Q 2 = , I R = I T = , E T I G = L errore esatto, in valore assoluto, rispetto alla formula dei trapezi vale Soluzione (Es. 128) I T = ; Q 1 = , Q 2 = , I R = , I I R = Soluzione (Es. 129) I T = , I CS = , E T , E CS Soluzione (Es. 130) A 1 = , A 2 = , Q 1 = ; Q 2 = , I R =

51 Soluzione (Es. 131) I T = , E T (attenzione al segno della derivata seconda nel fare la maggiorazione dell errore). I I T = Soluzione (Es. 132) I C = (si deve tenere conto che la somma dei coefficienti vale uno e che C 0 = C 4 e C 1 = C 3. Soluzione (Es. 133) G 3 = I CS = I G 3 = , I I CS =

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53 C A P I T O L O 6 DOMANDE DI TEORIA Es. 134 (appello del 18 febbraio 2016) 1. Dare la definizione di punto fisso di una funzione g(x) e spiegare cosa è e a cosa serve lo schema di punto fisso. 2. Ricavare ordine di convergenza e costante asintotica per lo schema di punto fisso, nel caso generale. 3. Provare che ξ = 1 è punto fisso della funzione g(x) = x2 2 e ricavare ordine di 2x + 3 convergenza e costante asintotica del corrispondente schema di punto fisso applicato per approssimare ξ. Es. 135 (appello del 22 settembre 2015) 1. Ricavare gli schemi di Jacobi, Seidel e SOR con le relative matrici di iterazione. 2. Dato il generico metodo iterativo x k+1 = Ex k + q, si assuma di conoscere i primi due autovalori λ 1 e λ 2 di E con i rispettivi autovettori v 1 e v 2. Se λ 1 > 1 e λ 2 < 1, per quale scelta della soluzione iniziale x 0 lo schema può in teoria ugualmente convergere? Es. 136 (appello del 4 settembre 2015) 1. Discutere il problema della regressione lineare ai minimi quadrati. Si distingua fra la minimizzazione degli scarti verticali e degli scarti orizzontali. 2. Dimostrare che il punto di intersezione delle rette ai minimi quadrati che minimizzano gli scarti verticali e orizzontali è il baricentro del sistema di punti assegnato. Es. 137 (appello del 7 luglio 2015) 1. Dare la definizione di ordine e fattore di convergenza di un metodo iterativo per la soluzione di un equazione non lineare. Determinare ordine e fattore di convergenza per il metodo di Newton-Raphson. 2. Dato il generico schema iterativo: x k+1 = x k + αf(x k ) con α costante, determinare il valore di α per cui lo schema assegnato possiede ordine di convergenza 2. 51

54 6. DOMANDE DI TEORIA Es. 138 (appello del 17 giugno 2015) 1. Dimostrare che se una matrice è diagonalmente dominante in senso stretto allora il metodo di Jacobi è convergente. 2. Sia A una matrice simmetrica definita positiva. Determinare per quali valori dello scalare α > 0 lo schema x k+1 = x k + αr k converge. Es. 139 (appello del 12 febbraio 2015) Siano date n + 1 coppie di punti (x i, y i ), i = 0, 1,..., n. 1. Che procedimento deve essere applicato per poter approssimare i dati mediante la retta di approssimazione ai minimi quadrati sugli scarti verticali? 2. Quale funzione va minimizzata? 3. Come si scrive la retta di approssimazione? 4. Che procedimento occorre fare per ricondursi al caso della retta di approssimazione sugli scarti verticali, se si vogliono approssimare i dati mediante il modello y = a + bx 3? Es. 140 (appello del 19 settembre 2014) Enunciare il teorema LDU. Cosa succede quando viene applicato a matrici simmetriche? Spiegare, inoltre, nei dettagli la fattorizzazione di Cholesky: quando può essere applicata e sotto quali ipotesi? Es. 141 (appello del 4 settembre 2014) Si spieghi come si arriva alla famiglia delle formule di quadratura di Newton-Cotes. Si ricavi, come caso particolare, la formula di Cavalieri-Simpson. Si passi poi a spiegare come si arriva alla formula composta di Cavalieri-Simpson, e si arrivi (con gli opportuni passaggi spiegati) ad una formula compatta. Es. 142 (appello del 10 luglio 2014) 1. Date 3 coppie di punti, (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) spiegare come si costruisce il polinomio di interpolazione utilizzando il metodo delle differenze divise di Newton e spiegare come si ricavano le differenze divise che vengono utilizzate. 2. In che modo e per quale motivo si può usare la tabella delle differenze divise per costruire il polinomio di interpolazione che interpola le coppie di punti (x 0, f(x 0 )), (x 0, f (x 0 )), (x 0, f (x 0 ))? Di che grado è il polinomio di interpolazione? Come si scrive? Es. 143 (appello del 10 luglio 2014) Si consideri l interpolazione polinomiale secondo Lagrange di n + 1 coppie di dati (x i, y i ), con i = 0, 1,..., n. 1. Qual è il grado di ciascuna funzione polinomiale L j (x) della base di Lagrange? Come si scrive L j (x)? 2. Quale funzione si ha se sommiamo tutte le n + 1 funzioni di Lagrange, cioè se consideriamo g(x) = n j=0 L j(x)? Quale è la funzione g(x)? Giustificare la risposta. 3. Posto n + 1 = 3, si faccia il grafico della funzione L 0 (x). Es. 144 (appello del 18 giugno 2014) 1. Sia dia la definizione di radice di una funzione y = f(x). 2. Si ricavi l ordine di convergenza e la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson, nel caso generale. Quale ipotesi viene fatta? Spiegare tutti i passaggi. 3. Si ricavi l ordine di convergenza e la costante asintotica del metodo di Newton-Raphson nel caso in cui la radice ξ ha molteplicità 2. Spiegare tutti i passaggi. Es. 145 (appello del 18 giugno 2014) 1. Dare la definizione di punto fisso di una funzione y = g(x). 52

55 2. Spiegando tutti i passaggi, si ricavi l ordine di convergenza e la costante asintotica per lo schema di punto fisso applicato ad una funzione g(x) con punto fisso ξ per il quale g (ξ) Si ricavi l ordine di convergenza e la costante asintotica per lo schema di punto fisso applicato ad una funzione g(x) con punto fisso ξ per il quale g (ξ) = 0 e g (ξ) 0. Si spieghino tutti i passaggi fatti. Es. 146 (appello dell 11 febbraio 2014) 1. Dati i punti x 0, x 1, x 2, x 3 definire i polinomi di Lagrange L i (x) per i = 0, 1, 2, 3 e fare il grafico del polinomio L 2 (x). 2. Supponendo, ora, di avere n + 1 coppie di punti (x i, y i ) e di voler cercare la retta di regressione ai minimi quadrati sugli scarti verticali, quale funzione occorre minimizzare e in che modo? Spiegare nei dettagli. 3. Se, al posto della retta di regressione, si vuole cercare una funzione di approssimazione di tipo esponenziale, y(x) = ae bx, quali passaggi occorre fare per determinare i coefficienti a e b? Es. 147 (appello del 18 settembre 2013) 1. Assegnato uno schema iterativo per la soluzione di sistemi lineari, nella forma x (k+1) = Ex (k) + q, enunciare il teorema di convergenza e dimostrarlo nel caso in cui la matrice di iterazione abbia n autovettori linearmente indipendenti. 2. Partendo dal sistema lineare Ax = b, ricavare la formula del metodo di Jacobi. Es. 148 (appello del 3 settembre 2013) Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula dei trapezi e la corrispondente formula dell errore nel caso semplice. 1. Dare il significato geometrico della formula dei trapezi. 2. Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula dell errore nel caso in cui si applica la formula composta dei trapezi su n suddivisioni in parti uguali dell intervallo di integrazione. Quanto vale queste formula applicata per risolvere 2 0 (4x2 2x)dx e n = 2 suddivisioni? 3. Cosa succede, in generale, se si fa il rapporto degli errori tra le formule dei trapezi per n e per 2n suddivisioni? Quali ipotesi devono essere verificate? Es. 149 (appello del 10 luglio 2013) 1. Metodo di estrapolazione di Richardson: spiegare a cosa serve. 2. Ricavare, spiegando tutti i passaggi, la formula da applicare per ottenere l estrapolazione di Richardson. 3. Se si vuole applicare l estrapolazione di Richardson e la funzione integranda è f(x) = 10x 4 + 2x 3 cosa si può dire sull errore della formula? Spiegare. Es. 150 (appello del 25 giugno 2013) 1. Scrivere la formula dello schema di punto fisso per una funzione di punto fisso g. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza dello schema. 3. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso generale (g (ξ) 0). 4. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui (g (ξ) = g (ξ) = 0 e g (ξ) 0). Es. 151 (appello del 25 giugno 2013) 1. Ricavare il metodo di Newton-Raphson per un equazione non lineare f(x) = Ricavare ordine e fattore di convergenza del metodo nel caso generale (f (ξ) 0, f (ξ) 0). 53

56 6. DOMANDE DI TEORIA 3. Sotto quali condizioni il metodo converge? Dimostrare la convergenza del metodo vedendolo come caso particolare dell iterazione di punto fisso. 54

57 C A P I T O L O 7 PROGRAMMAZIONE IN MATLAB La soluzione degli esercizi di programmazione non è data attraverso script e function ma attraverso i risultati che si devono ottenere (risultati numerici e/o grafici richiesti). I risultati sono ottenuti in Octave. Es. 152 (compito del 22 febbraio 2016) Si vogliono ricavare la costante cinetica e l ordine di reazione di un reagente chimico omogeneo, sapendo che tali quantità sono legati alla velocità di reazione e alla concentrazione del reagente tramite l equazione cinetica v = kc n dove v indica la velocità di reazione, k rappresenta la costante cinetica, C la concentrazione molare del reagente, e n l ordine di reazione. Sperimentalmente sono stati osservati i seguenti valori: C (gmol/l) v (gmol/l s) Si usino i dati in tabella per ottenere i valori di k e n. A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitocognome.m che usi in modo opportuno function proprie di MATLAB per ricavare i valori di k e n riconducendosi ad un modello di approssimazione lineare ai minimi quadrati. Una volta trovati i valori di k e n, si definisca come function handle la funzione v(c) = kc n, e si faccia un grafico dei dati sperimentali (per punti) e della funzione v(c) (come linea continua) nell intervallo definito dal più piccolo e dal più grande valore di C mostrati in tabella. Si inserisca come titolo il proprio nome e cognome, e si aggiungano etichette sui due assi per spiegare cosa viene messo in figura. Si calcoli infine la somma dei quadrati degli scarti. Importante: lo script presenti, come commento, nome, cognome e matricola dello studente; La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con il nome figuracognome.pdf Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati. Si visualizzino sulla Command Window i valori di k, n e della somma dei quadrati degli scarti. Si cerchi di commentare il più possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, il file diary compitocognome.txt e la figura figuracognome.pdf. 55

58 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore di k è: il valore di n è: la somma dei quadrati degli scarti vale: Es. 153 (compito (straordinario) del 12 gennaio 2016) Si vuole approssimare l integrale b a f(x)dx dove f(x) = x2 + cos (x), a = 1.5, b = 2.5 utilizzando la formula del midpoint partendo da un unica suddivisione dell intervallo [a, b] e poi raddoppiando in parti uguali il numero di suddivisioni dell intervallo fino ad arrivare a 2 6 suddivisioni. Ciò significa che partiamo dall applicare la formula di quadratura su tutto l intervallo [a, b] (primo passo), poi consideriamo due suddivisioni (2 1 ) dell intervallo [a, b] (secondo passo), poi quattro suddivisioni (2 2 ) (terzo passo), fino ad arrivare a 2 6 suddivisioni dell intervallo (settimo passo). La formula del midpoint da applicare su n suddivisioni in parti uguali dell intervallo [a, b] è la seguente: I h n f(x i ) i=1 dove h è l ampiezza dei sottointervalli (uguale per tutti) e x i è il punto medio di ciascun sottointervallo (x i = a i + b i ), considerando a i e b i gli estremi del sottointervallo cui appartiene). 2 Data la semplicità dell integrale, si valuti anche il valore esatto dell integrale, in modo da calcolare l errore esatto che si commette al variare del numero di suddivisioni. L algoritmo da implementare si può così riassumere GPartendo dal primo passo (2 0 suddivisioni) fino ad arrivare al settimo passo (2 6 suddivisioni in parti uguali dell intervallo [a, b]): applicare la formula del midpoint GValutare l errore esatto. A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitocognome.m e la function dal nome midpointrule.m, che implementa la formula del midpoint. In particolare lo script deve presentarsi nel seguente modo: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.definisca le variabili a e b estremi di integrazione della funzione f; 3.definisca la funzione f integranda come function handle; 4.dopo aver calcolato (a mano) la F funzione primitiva della f, la si definisca come function handle ; 5.assegni alla variabile Iesatto il valore esatto dell integrale, facendo uso della F appena definita; 6.assegni alla variabile npassi il numero totale di passi in cui si dovrà applicare la formula del midpoint; 7.si creino due vettori dal nome Imp e h di lunghezza npassi e dalle componenti tutte uguali a zero, in cui poi si assegneranno i valori della formula di quadratura e dell ampiezza delle suddivisioni ad ogni passo; 8.inizializzi la variabile n che rappresenta il numero di suddivisioni dell intervallo [a, b], come n=1; 9.si crei un ciclo che per i=1 fino a npassi chiami la function midpoinrule che assegna, in uscita, il valore dell integrale ottenuto con la formula del midpoint e l ampiezza delle suddivisioni, alle componenti i-sime dei vettori Imp, h. All interno del ciclo si aggiorni la variabile n in modo opportuno; 10.una volta che sono ottenuti tutti i valori approssimati dell integrale mediante la formula di integrazione, si calcoli l errore esatto in valore assoluto, per ogni passo effettuato, introducendo una variabile dal nome errore; 11.si faccia un grafico in scala logaritmica (loglog) in cui sull asse delle ascisse si pone l ampiezza delle suddivisioni effettuate e sull asse delle ordinate gli errori. 56

59 La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con il nome figuracognome.pdf Si osservi che, per quanto riguarda la function midpointrule.m, essa deve avere come valori di input la funzione integranda f, gli estremi di integrazione a e b e il numero delle suddivisioni n. Si ricordi che il punto medio di ciascun sottointervallo si può anche ottenere come combinazione, mediante opportuni coefficienti, dell estremo sinistro del sottointervallo cui appartiene e dell ampiezza h. In tal modo si può aggiornare, di volta in volta, l estremo sinistro in una variabile (chiamata, ad esempio x0) che la prima volta assume valore uguale alla variabile a. Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valori di Imp, h e errore. Si cerchi di commentare il più possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, la function midpointrule.m, il file diary compitocognome.txt e la figura figuracognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore di Imp all ultima suddivisione è: il valore di errore all ultima suddivisione è: Es. 154 (compito del 23 settembre 2015) Data la tabella di dati sperimentali del file tema2.dat dove la prima colonna rappresenta i valori x i e la seconda colonna i corrispondenti valori y i, si vuole: Gtrovare il polinomio di interpolazione dei dati Gtrovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = A 0 + A 1 x che minimizza gli scarti verticali Gtrovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati x = B 0 + B 1 y che minimizza gli scarti orizzontali Del polimomio e delle due rette, si vuole fare anche il grafico. A tale scopo si scriva uno script dal nome compitocognome.m che: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.carichi le coppie di dati sperimentali (senza ricopiarli a mano dal file...) 3.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca il polinomio di interpolazione e ne faccia il grafico (una figura con i dati sperimentali per punti e il polinomio di interpolazione per linee) 4.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca la retta di approssimazione y = A 0 + A 1 x salvando i valori A 0 e A 1 5.utilizzando le function proprie di MATLAB costruisca la retta di approssimazione x = B 0 + B 1 y salvando i valori B 0 e B 1 6.si faccia un altro grafico con le due rette di approssimazione (per linee, di diverso colore) e i dati sperimentali (per punti). Si inserisca una legenda Per fare i grafici del polimonio di interpolazione e delle rette di approssimazione, si usino almeno 50 punti equidistanti nell intervallo dei dati a disposizione. A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il proprio cognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con i nomi figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati. Sulla Command Window si visualizzi il coefficiente di x 2 del polinomio di interpolazione e i coefficienti delle due rette di approssimazione. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, il file diary compitocognome.txt e le due figure figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il coefficiente di x 2 nel polinomio di interpolazione è: 57

60 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB la retta y = A 0 + A 1 x vale : la retta x = B 0 + B 1 x vale : Il file di dati necessario per risolvere l esercizio (presente al calcolatore durante lo svolgimento della prova) è il seguente e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 Es. 155 (compito del 7 settembre 2015) Si vuole approssimare la radice della funzione f(x) = e x x nell intervallo [0, 4] applicando lo schema della secante fissa, con una tolleranza di 10 12, numero massimo di iterazioni 80, e partendo da x 0 = 2 e x 1 = 1. Si ricorda che lo schema della secante fissa è nella forma x n+1 = x n f(x n) dove c = f(x 1) f(x 0 ), con x 0 e x 1 valori iniziali. A tale scopo si scriva uno script dal c x 1 0 nome compitocognome.m che: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.definisca la funzione f(x) come function handle; 3.definisca gli estremi dell intervallo in cui approssimare la radice (usando le variabili a e b); 4.definisca le variabili x 0 e x 1 ; 5.definisca il valore della tolleranza toll e del numero massimo di iterazioni itmax; 6.applichi lo schema della secante fissa richiamando la function funsecf che abbia in input x 0, x 1, f, toll e itmax, e fornisca in output il valore approssimato della radice ξ, il numero di iterazioni k effettuate, una stima del fattore di convergenza M e il vettore con il valore dello scarto ad ogni iterazione; 7.stampi i valori di ξ, k e M; 8.generii due grafici: a)figura 1: la funzione f nell intervallo assegnato b)figura 2: il diagramma di convergenza in scala semilogaritmica degli scarti rispetto al numero di iterazioni. A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il proprio cognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con i nomi figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati. Nello scrivere la function si metta come commento il proprio cognome, nome e numero di matricola. Si cerchi di commentare il piu possibile le variabili e le istruzioni che vengono fatte eseguire. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, la function funsecf.m, il file diary compitocognome.txt e le due figure figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore approssimato della radice è: 58

61 è stato ottenuto con un numero di iterazioni uguale a: Es. 156 (compito del 2 luglio 2015) Data la matrice A tridiagonale, di dimensione n = 80, con elementi della diagonale principale uguali a 20 e gli elementi della sovra e sotto diagonale uguali a 9, si vogliono calcolare la velocità di convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel e si vuole ricavare empiricamente il valore di ω opt per il metodo di rilassamento. Nel seguito useremo la seguente notazione: I matrice identità, F la matrice diagonale di A, e M matrice contenente la parte triangolare inferiore di A cambiata di segno, N matrice contenente la parte triangolare superiore di A cambiata di segno, in modo tale che A = F M N. A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitocognome.m che: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.usando in modo opportuno le function proprie di MATLAB crei le matrici A, F, M, N. 3.crei la matrice di iterazione di Jacobi EJ (E J = F 1 (M + N)) 4.crei la matrice di iterazione di Gauss-Seidel ES (E S = (F M) 1 N) 5.usando le function proprie di MATLAB calcoli la velocità di convergenza dei due metodi RJ e RS dei due metodi 6.all interno dii un ciclo in cui ω varia da 0 a 2 con passo 0.08, calcoli per ciascun valore di ω la matrice di iterazione del metodo SOR (E ω = (F ωm) 1 [(1 ω)f + ωn]) e il corrispondente raggio spettrale rhoew 7.all uscita dal ciclo visualizzi in un grafico per ogni valore di ω il corrispondente raggio spettrale La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con il nome figuracognome.pdf Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valori delle velocità di convergenza dei metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Inoltre, si veda dal grafico quale sia il valore ottimale di ω per il metodo di rilassamento. Si cerchi di commentare il piu possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, il file diary compitocognome.txt e la figura figuracognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore della velocità di convergenza del metodo di Jacobi è: il valore della velocità di convergenza del metodo di Gauss-Seidel è: il valore ottimale sperimentale di ω nel metodo di rilassamento è: Es. 157 (compito del 18 giugno 2015) Si vuole approssimare l integrale b a f(x)dx dove f(x) = cos (x) + x3, a = 0, b = 2 utilizzando la formula dei trapezi partendo da un unica suddivisione dell intervallo [a, b] e poi raddoppiando in parti uguali il numero di suddivisioni dell intervallo fino ad arrivare a 2 7 suddivisioni. Ciò significa che partiamo dall applicare la formula di quadratura su tutto l intervallo [a, b] (primo passo), poi consideriamo due suddivisioni (2 1 ) dell intervallo [a, b] (secondo passo), poi quattro suddivisioni (2 2 ) (terzo passo), fino ad arrivare a 2 7 suddivisioni dell intervallo (ottavo passo). La formula composta dei trapezi sia implementata applicando la formula semplice su ciascuna suddivisione e sommando i vari contributi. Data la semplicità dell integrale, si valuti anche il valore esatto dell integrale, in modo da calcolare l errore esatto che si commette al variare del numero di suddivisioni. L algoritmo da implementare si può così riassumere 59

62 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB GPartendo dal primo passo (2 0 suddivisioni) fino ad arrivare all ottavo passo (2 7 suddivisioni in parti uguali dell intervallo [a, b]): applicare la formula composta dei trapezi. GValutare l errore esatto. A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitocognome.m e la function dal nome trapsemplice.m, che implementa la formula dei trapezi semplice e che viene richiamata all interno della function trapcomposta.m (questa function viene data a disposizione dello studente) In particolare lo script deve presentarsi nel seguente modo: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.definisca le variabili a e b estremi di integrazione della funzione f 3.definisca la funzione f integranda come function handle 4.dopo aver calcolato (a mano) la F funzione primitiva della f, la si definisca come function handle 5.assegni alla variabile Iesatto il valore esatto dell integrale, facendo uso della F appena definita 6.memorizzi i valori dell integrale approssimato e della dimensione dei sottointervalli nei vettori Itrap e h 7.calcoli i valori di Itrap e h richiamando la function trapcomposta.m da 2 0 a 2 7 suddivisioni di [a, b] 8.calcoli l errore esatto in modulo per ogni valore di Itrap introducendo la variabile errore 9.costruisca un grafico in scala logaritmica (loglog) di errore contro h. La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con il nome figuracognome.pdf Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window i valori di Itrap, h e errore. Si cerchi di commentare il piu possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, la function trapsemplice.m, la function trapcomposta.m, il file diary compitocognome.txt e la figura figuracognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore di Itrap all ultima suddivisione è: il valore di errore all ultima suddivisione è: Es. 158 (compitino del 18 giugno 2015) Nel file tema2.dat sono presenti misure ottenute da un esperienza di laboratorio. La prima colonna di dati rappresenta i valori x i, la seconda colonna di dati rappresenta i valori y i. Si vogliono approssimare le coppie (x i, y i ) attraverso un modello non lineare y = ae xb, secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. A tale scopo si scriva uno script MATLAB dal nome compitocognome.m che: 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.carichi i dati del file (senza copiarli a mano!) 3.utilizzi, applicando opportune istruzioni, la function propria di MATLAB polyfit per ricavare i coefficienti a e b del modello non lineare assegnato 4.definisca la function handle che approssima i dati secondo il modello non lineare 5.faccia un grafico dei dati sperimentali (per punti) e della function handle (con linea continua), nell intervallo dato dal più piccolo e dal più grande valore di x i (aggiungere titolo, etichette sui due assi,...) 6.in corrispondenza dei dati sperimentali, calcoli la somma dei quadrati degli scarti, assegnando il valore alla variabile scarto. 60

63 La figura venga salvata in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con il nome figuracognome.pdf Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati: si visualizzino sulla command window almeno i valori di a, b e scarto. Si cerchi di commentare il piu possibile le variabili e le istruzioni che vengono eseguite. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, il file diary compitocognome.txt e la figura figuracognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: i valori a e b sono: la somma dei quadrati degli scarti è: Nel computer, il file tema2.dat che si aveva a disposizione era il seguente: e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-01 Es. 159 (compitino del 27 aprile 2015) Si vuole approssimare la radice della funzione f(x) = x 3 +4e x 3x 2 12 nell intervallo [0, 4] applicando lo schema della tangente fissa, con una tolleranza di e partendo da x 0 = 2. Si ricorda che lo schema della tangente fissa è nella forma x n+1 = x n f(x n) dove c = f (x 0 ). A tale scopo si scriva uno script dal nome compitocognome.m che: c 1.come commento presenti nome, cognome e matricola dello studente; 2.definisca la funzione f(x) come function handle; 3.definisca la funzione f (x) come function handle; 4.definisca gli estremi dell intervallo in cui approssimare la radice (usando le variabili a e b); 5.definisca la variabile x 0 ; 6.definisca il valore della tolleranza toll e del numero massimo di iterazioni itmax (prendendo 80 come numero massimo di iterazioni); 7.definisca il valore della tangente fissa c; 8.applichi lo schema della tangente fissa richiamando la function funtangf che abbia in input la funzione f, il valore della tangente fissa, l approssimazione x 0, il valore della tolleranza e il numero massimo di iterazioni. In uscita, la function dia il valore approssimato della radice, il numero di iterazioni effettuate e il vettore con il valore dello scarto ad ogni iterazione. Lo schema iterativo va implementato fino a quando lo scarto tra due iterazioni successive non diventa minore della tolleranza prefissata o il numero di iterazioni non supera il numero massimo di iterazioni; 61

64 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB 9.ci si faccia stampare i valori di output della function; 10.si facciano quindi due grafici: a)una prima figura con la funzione f e con l asse delle ascisse nell intervallo assegnato b)una seconda figura con il grafico di convergenza in scala semilogaritmica sull asse delle ordinate, in cui sulle ascisse si pone il valore delle iterazioni e sulle ordinate si pone il logaritmo in base 10 degli scarti A ciascuna figura si aggiunga un titolo che indichi cosa si è fatto ma presenti anche il proprio cognome. Le due figure vengano salvate in formato pdf (si ricordi il comando print -dpdf nomefile.pdf) con i nomi figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. Quando si e sicuri che lo script funziona bene, eseguirlo salvando i risultati tramite il comando diary( compitocognome.txt ) (prima di eseguire lo script) e poi tramite il comando diary off per chiudere il file di scrittura dei risultati. Nello scrivere la function si metta come commento il proprio cognome, nome e numero di matricola. Si cerchi di commentare il piu possibile le variabili e le istruzioni che vengono fatte eseguire. Nella directory di lavoro, devono essere dunque presenti: lo script compitocognome.m, la function funtangf.m, il file diary compitocognome.txt e le due figure figura1cognome.pdf e figura2cognome.pdf. RIPORTARE I SEGUENTI RISULTATI OTTENUTI DA MATLAB: il valore approssimato della radice è: è stato ottenuto con un numero di iterazioni uguale a: 62

65 Soluzioni molto in breve Soluzione (Es. 152) Si ricava k= , n= La somma dei quadrati degli scarti vale (Risultati ottenuti nel formato di default) Cognome Nome velocita di reazione concentrazione C Soluzione (Es. 153) Il valore di Imp all ultima suddivisione è e+00 con corrispondente errore dato da e-05. 1e+0 tema1 1e-1 1e-2 errore 1e-3 1e-4 1e-5 1e-2 1e-1 1e+0 ampiezza h 63

66 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB Soluzione (Es. 154) Il coefficiente di x 2 vale Invece i valori per a0 e a1 sono , , Per b0 e b1 abbiamo , rispettivamente figura1tema figura2tema2 nodi scarti verticali scarti orizzontali Soluzione (Es. 155) Il valore approssimato della radice è ottenuto in 22 iterazioni. grafico della f di COGNOME 1e+0 grafico di convergenza di COGNOME 1 1e-2 0 1e-4-1 1e-6-2 1e-8-3 1e-10 1e x 1e Soluzione (Es. 156) La velocità di convergenza con il metodo di Jacobi é , mentre con Gauss-Seidel abbiamo Dal grafico si vede che il valore ottimale per ω ottenuto sperimentalmente è ω =

67 tema raggio spettrale omega Soluzione (Es. 157) All ultima suddivisione si ha Itrap= e+00 con il valore corrispondente dell errore pari a e-04. 1e+1 tema3 1e+0 1e-1 errore 1e-2 1e-3 1e-4 1e-2 1e-1 1e+0 1e+1 ampiezza h Soluzione (Es. 158) Riportando i risultati nel formato di default abbiamo a= , b= , scarto=

68 y 7. PROGRAMMAZIONE IN MATLAB tema 2 compitino x Soluzione (Es. 159) usando il formato di default si ha xnew = , iter=49. grafico della f di COGNOME 1e+0 grafico di convergenza di COGNOME 200 1e-2 1e e e e-10 1e x 1e