ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

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1 SRCIZI DI ALGBRA LINAR COMPLMNTI DI GOMTRIA Foglio 3 sercizio 1. Determinare la decomposizione LU della matrice reale simmetrica A = sercizio 2. Determinare la decomposizione LU della matrice A = sercizio 3. Determinare la decomposizione LU o P T LU della matrice A = Infine determinare le colonne dominanti edil rango della matrice A. sercizio 4. Determinare la decomposizione LU o P T LU della matrice i i i i 1 A = i 0 i 1 i 2 1 i 0 i 0 1 Infine determinare le colonne dominanti edil rango della matrice A. sercizio 5. Si consideri la matrice [ ] a b M = c d Determinare, quando possibile, la decomposizione LU di M o la decomposizione P T LU. sempio 6. Sia α un parametro complesso e si consideri la matrice 1 α 2 2 α 1 0 A α = 2 α α α α 1 Se ne trovi una decomposizione LU e, per i valori di α per cui ci non possibile, una decomposizione P T LU. Per α = 0 e α = 2, determinare una base dello spazio nullo e una base dello spazio delle colonne di A α. Inoltre, pensando la matrice A α, come alla matrice completa di un sistema lineare, determinare le soluzioni di tale sistema al variare di α. Sono a grato a quanti mi indicheranno i molti errori presenti in questi fogli, al fine di fornire uno strumento migliore a quanti lo riterranno utile, [email protected] 1

2 Sol. Se α 2, 1, 3 possiamo considerare la decomposizione LU di A α (senza effettuare scambi di righe): 1 2 α α A α U α = (α 1) (α 3) 1 in cui U α = L 1 α A α e Da cui L 1 α = 44 ((α 3) 1 ) 43 ( 1) 33 ((α 2) 1 ) 42 ((α 2) 2 1) 22 ((α 1) 1 (3 α) 1 ) 41 (α 2) 31 (1) 21 (α 2) 11 ( 1) L α = 11 (1) 21 (2 α) 31 (1) 41 (2 α) 22 ((α 1)(3 α)) 42 (1 (α 2) 2 ) 33 (α 2) 43 (1) 44 (α 3) Notiamo, inoltre che il rka α = 4, quindi una base per Col(A α ) è dato dalle prime 4 colonne di U α. In questo caso pensando alla matrice A α come ad una matrice completa associata ad un sistema lineare si ha che tale sistema ammette un unica soluzione. Per α = 1, 2, 3 invece, si debbono effettuare degli scambi di riga, dobbiamo quindi determinare delle decomposizioni P T LU di A α, α = 1, 2, 3. Caso α = 1. Per α = 1 Scambiamo la seconda riga con la quarta: A 1 = A 42 1 P1 A 1 = Ora applichiamo la decomposizione LU a P 3 A 3 Quindi P 1 A 1 U 1 = A 1 = P T 1 L 1 U 1 in cui L 1 = 11 ( 1) 21 (1) (1) 32 ( 1) 33 (2) 43 (2) 44 ( 1) e P T 1 = T 42. Notiamo che rk A 3 = 4, quindi una base per Col(A 1 ) è data dalla prima e la terza, la quarta e la quinta colonna di U 1. In questo caso pensando alla matrice A 1 come ad una matrice completa associata ad un sistema lineare, si ha che tale sistema non ammette soluzioni in quanto la colonna dei termini noti è dominante. Caso α = 2. Per α = 2 A 2 =

3 Scambiamo la terza con la quarta riga A 34 2 P2 A 2 = Ora applichiamo la decomposizione LU a P 2 A 2 Quindi P 2 A 2 U 2 = A 2 = P T 2 L 2 U 2 in cui L 2 = 11 ( 1) 41 ( 1) 32 1 e P T 2 = T 34. Notiamo che rk A 2 = 3, quindi una base per Col(A 2 ) è data dalle prime tre colonne di U 2. In questo caso pensando alla matrice A 2 come ad una matrice completa associata ad un sistema lineare si ha che tale sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro. Caso α = 3. Per α = 3 Scambiamo la seconda riga con la quarta: A 3 = A 42 3 P3 A 3 = Ora applichiamo la decomposizione LU a P 3 A 3 Quindi P 3 A 3 U 3 = A 3 = P T 3 L 3 U 3 in cui L 3 = 11 ( 1) 21 ( 1) ( 1) 32 (1) 33 (2) e P T 3 = T 42. Notiamo che rk A 3 = 3, quindi una base per Col(A 3 ) è data dalla prima, la terza e la quarta colonna di U 3. In questo caso pensando alla matrice A 3 come ad una matrice completa associata ad un sistema lineare, si ha che tale sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro. sercizio 7. Determinare al variare di α C la decomposizione LU o P T LU della matrice i 0 i iα A α = 1 α α 1 α α Infine determinare le colonne dominanti ed il rango di A α. 3

4 sempio 8. Sia α un parametro reale e si consideri la matrice α 0 A α = α 2 4 α α α + 1 α 2 α Se ne trovi una decomposizione LU e, per i valori di α per cui ci non possibile, una decomposizione P T LU. Per α = 0 e α = 2, determinare una base dello spazio nullo e una base dello spazio delle colonne di A α. Sol. Se α 0 possiamo considerare la decomposizione LU di A α senza effettuare scambi di righe: α 0 A α U α = α α α α α in cui A α = L α U α e L α = α α 0 Se α = 0 calcoliamo la P T LU di A α. Scambiamo la terza e la quarta riga: B 0 = 34 A 0 = A questo punto calcoliamo la decomposizione LU di B 0 : B 0 U 0 = e quindi A 0 = P T L 0 U 0, in cui P T = T 34 e L 0 = Sia ancora α = 0 allora una base dello spazio delle colonne di A 0 (Col(A 0 )) è data da tre colonne linearmente indipendenti di A 0, dal momento che rank A 0 = 3: Col(A 0 ) =< [ ] T, [ ] T, [ ] T > Una base per lo spazio nullo di A 0 (N(A 0 )), si trova, ad esempio, risolvendo il sistema omogeneo A 0 v = 0, in cui v è un vettore di R 5, quindi: N(A 0 ) =< [ ] T, [0 ] T > con λ R. Sia α = 2 allora una base dello spazio delle colonne di A 2 è data da quattro colonne linearmente indipendenti di A 2, dal momento che rank A 2 = 4: Col(A 2 ) =< [ ] T, [ ] T, [ ] T, [ ] T > Una base per lo spazio nullo di A 2 è N(A 2 ) =< [ ] T > 4

5 sempio 9. Sia α C e si consideri la matrice i 0 2i i A α = α α α 1 0 Se ne calcoli una decomposizione LU e, per i valori di α per i quali non possibile, una decomposizione P T LU. Si calcolino anche basi dello spazio delle colonne e dello spazio nullo di A α, per ogni α C. Interpretando la matrice come matrice completa di un sistema lineare, per quali valori di α esso ha soluzione? Sol. Sia α 0, 1, allora in cui e A α = L α U α i L α = α α 0 0 α α 0 0 α 2 + 2α α α 1 U α = 0 1 α 1 α α Se α = 0 scambiamo la seconda con la terza riga e poi procediamo con la riduzione LU, da cui A 0 = P T L 0 U 0 in cui P T = 23 i L 0 = e U 0 = e Se α = 1 non occorre effettuare scambi di righe: A 1 = 34 L 1 U 1 in cui i L 1 = U 1 = Se α 0, 1 allora la matrice A α ha rango 4, quindi lo spazio nullo di A α è costituito dal solo vettore nullo e una base per lo spazio delle colonne è data dalle quattro colonne di A α. Se α = 0, allora Se α = 1 allora Col(A 0 ) =< (i 0 2 0) t, ( ) t, ( 2i 1 5 1) t > N(A 0 ) =< ( ) t > Col(A 1 ) =< (i 0 2 0) t, ( ) t, (i 0 2 0) t > N(A 1 ) =< [ ] t > Se interpretiamo la matrice A α come matrice completa di un sistema lineare, questo ammette soluzione solamente per α = 0, 1, cioè quando la colonna dei termini noti non è dominante. 5

6 sercizio 10. Sia α R. Determinare una decomposizione LU per α 2α 0 α 0 A α = α α per i valori di α per cui non è possibile, determinare una P T LU. sercizio 11. Sia α R. Determinare una decomposizione LU per α 0 1 A α = 1 1 2α α 0 1 per i valori di α per cui non è possibile, determinare una P T LU. 6