Esercizi per il corso di Metodi di Matematici per l Ingegneria

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Stefania Conti
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1 Esercizi per il corso di Metodi di Matematici per l Ingegneria M. Bramanti 0 maggio 0 A. Metodo di separazione delle variabili. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore omogenea sul segmento u t = u xx per 0 x ; t > 0 u (0; t) = u (; t) = 0 u (x; 0) = sin (x). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione della corda vibrante > > u tt = 4u xx per 0 x ; t > 0 u (0; t) = u (; t) = 0 u (x; 0) = sin x cos x u t (x; 0) = 0. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul @ u = 0 per [0; ); # [0; u (R; #) = # ( #) per # [0; ] 4. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sulla corona > + u = 0 per (; ) ; # [0; u (; #) = per # [0; ] > u (; #) = per # [0; ] 5. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul rettangolo u xx + u yy = 0 per x (0; ) ; y (0; ) u (x; 0) = u (x; ) = u (; y) = 0 u (0; y) = sin y cos y

2 6. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema agli autovalori per il Laplaciano sul rettangolo u xx + u yy + u = 0 0 x ; 0 y u (0; y) = u (; y) = 0 0 y u (x; 0) = u (x; ) = 0 0 x 7. Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per un equazione di di usione e trasporto sul segmento u t = u xx u x per 0 x ; t > 0 u (0; t) = u (; t) = 0 u (x; 0) = u 0 (x) B. Polinomi ortogonali e problemi di Sturm-Liouville. Determinare il polinomio di grado che meglio approssima sin x in L ( ; ). Suggerimento usare i polinomi di Legendre, calcolandoli dalla formula q n + d n P n (x) = n n! dx n x n. Dimostrare l ortogonalità delle autosoluzioni relative ad autovalori distinti per l equazione di Laguerre xe x y e x y = 0 per x (0; +). Risolvere il seguente problema di Sturm-Liouville regolare, determinando autovalori e autofunzioni (xy 0 ) 0 + y x = 0 per x (; ) y () = y () = 0 Suggerimento per prima cosa scrivere per esteso l equazione di erenziale e determinare il suo integrale generale in funzione di. (E un equazione di Eulero... Ricordare che per reale è x i = e i log x = cos ( log x)+i sin ( log x)). Quindi imporre le condizioni agli estremi. C. Derivate deboli e spazi di Sobolev. Calcolare in base alla de nizione la derivata debole di jxj in ( ; ) ; stabilendo per quali R a) la derivata debole esiste (in L loc ( ; )); b) la funzione u H ( ; ).. Stabilire quali delle seguenti funzioni appartengono ad H ( ; ) f (x) = x log jxj f (x) = arctan x f (x) = p x jxj x per x > 0 per x Q f 4 (x) = logjxj f 5 (x) = f 0 per x 0 5 (x) = 0 per x R

3 . Si consideri la funzione u (x; y) = sin (xy) y sul quadrato Q = (0; ). Si dimostri che u H (Q) e si determini la traccia di u funzione è applicabile la disuguaglianza di Poincaré? A questa 4. Stabilire se le seguenti funzioni appartengono a H (Q) con Q = ( ; ) ( ; ) f (x; y) = p jxj + jyj f (x; y) = p jxyj f (x; y) = p x + y f 4 (x; y) = 4p x + y xy x per y > x x y f 5 (x; y) = f xy per y x 6 (x; y) = per y > x x + y per y x D. Formulazione debole di problemi ai limiti per equazioni ellittiche. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale u 00 = f (x) per x ( ; ) u ( ) = u () = 0 0 per x 0 dove f (x) = per x > 0 Signi cato sico equazione di di usione del calore (in stato stazionario) in una sbarra che ha un coe ciente di conducibilità costante; la temperatura ai due riscalda uniformemente la metà destra della sbarra, mentre la metà sinistra non ha pozzi o sorgenti di calore.. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale (a (x) u 0 (x)) 0 = f (x) per x ( ; ) u ( ) = u () = 0 per x 0 0 per x 0 per x > 0 f (x) = per x > 0 Signi cato sico equazione di di usione del calore (in stato stazionario) in una sbarra che ha un coe ciente di conducibilità diverso nella metà di destra e di sinistra (es. due metalli diversi saldati insieme); la temperatura ai due riscalda uniformemente la metà destra della sbarra, mentre la metà sinistra non ha pozzi o sorgenti di calore.

4 . Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale (a (x) u 0 (x)) 0 + b (x) u 0 (x) = per x ( ; ) u ( ) = u () = 0 per x 0 per x > 0 b (x) = per x 0 0 per x > 0 Signi cato sico equazione di di usione e trasporto del calore (in stato stazionario) in un mezzo che ha un coe ciente di conducibilità diverso nella metà di destra e di sinistra (es. due uidi diversi a contatto in 0); solo nella metà di sinistra c è anche un fenomeno di trasporto; la temperatura ai due riscalda uniformemente il mezzo. 4. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale (a (x) u 0 (x)) 0 + c (x) per x ( ; ) u ( ) = u () = 0 per x 0 per x > 0 c (x) = per x 0 0 per x > 0 Signi cato sico equazione di di usione e reazione di una certa sostanza (in stato stazionario) in un mezzo che ha un coe ciente di di usione diverso nella metà di destra e di sinistra (es. due uidi diversi a contatto in 0); solo nella metà di sinistra c è anche un fenomeno di reazione, che distrugge parte della sostanza; la concentrazione u ai due estremi è tenuta costante zero; una sorgente (il termine noto f (x)) immette sostanza nel mezzo uniformemente. 5. Determinare la soluzione debole del seguente problema ai limiti unidimensionale ( (a (x) u 0 (x)) 0 = p jxj per x ( ; ) u ( ) = u () = 0 per x 0 per x > 0 Signi cato sico equazione di di usione del calore (in stato stazionario) in una sbarra che ha un coe ciente di conducibilità diverso nella metà di destra e di sinistra (es. due metalli diversi saldati insieme); la temperatura ai due concentrata vicino all origine riscalda la sbarra. 4

5 Soluzioni degli Esercizi D. 4 (x + ) per x 0 x + 4 x + 4 per x > 0. 0 per x 0 4 x per x > 0. 5 x + e e x e per x 0 4 x 4 e + e (x ) per x > 0 Si noti la di erenza tra il ruolo di a (x) u 0 e b (x) u 0 nell equazione imponendo che l equazione sia soddisfatta in senso debole si trova che dev essere continua (oltra alla u stessa) la funzione a (x) u 0 ; non la funzione b (x) u cos x + sin x per x 0 x x + + per x > 0 Anche in questo caso risultano continue u (x) e a (x) u xi ; mentre il termine di ordine zero c (x) u (x) risulta discontinuo x5= + 0 (x + ) per x 0 (x ) per x > x5= 0 5

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