Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS

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Elena Perini
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1 Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 1 esistenza equivalente del MOS MOS = r Dalla conduttanza del MOS in triodo g = i D v DS vds =0 = β (v GS V th ) si calcola la resistenza equivalente: con r = 1 g = 1 β (v GS V th ) β = µε ox t ox W L Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 2 1

2 Capacità di drain SOUCE GATE W DAIN t ox L Capacità tra drain e substrato in un transistore MOS: C D = C j W L D C j = capacità per unità di area della giunzione polarizzata inversamente; L D = lunghezza della regione di drain. Per tenere conto degli effetti di bordo, si aggiunge anche un termine proporzionale al perimetro della regione di drain. Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 3 Capacità di gate SOUCE GATE W DAIN t ox L Capacità del gate di un transistore MOS: C = ε 0 ε SiO2 WL t ox ε 0 = F/m; ε SiO2 = 3.9 (permettività elettrica relativa dell ossido di silicio). Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 4 2

3 Elementi parassiti delle interconnessioni Idealmente, le linee di interconnessione dovrebbero essere dei cortocircuiti; tuttavia qualsiasi elemento di interconnessione è contemporaneamente resistivo, capacitivo e induttivo il modello è una rete LC a parametri distribuiti. Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 5 esistenza delle interconnessioni t w l esistenza di una linea di interconnessione: = l σwt l = lunghezza, w = larghezza, t = spessore della linea; σ = conducibilità del materiale: per il rame (Cu): σ Cu = S/m per l alluminio (Al): σ Al = S/m Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 6 3

4 Capacità delle interconnessioni (1/2) w t d ground plane Capacità di un conduttore sopra ad un piano di massa (trascurando gli effetti dovuti al bordo): C = ε 0 ε r lw d l = lunghezza; ε 0 = F/m; ε r = permettività elettrica relativa dell isolante. Per ridurre la capacità: aumentare d o diminuire l area lw Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 7 Capacità delle interconnessioni (2/2) Capacità tra più conduttori: C 10 C 12 C 23 C 20 C 30 0 (substrate) La riduzione della lunghezza l permette di ridurre e TUTTE le C! Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 8 4

5 ete C distribuita (1/8) Una linea di interconnessione lunga può essere modellizzata come serie di elementi resistivi e capacitivi tutti uguali, aventi lunghezza dx: = r dx è la resistenza; r è la resistenza per unità di lunghezza C = cdx è la capacità; c è la capacità per unità di lunghezza i j 1 i j v j 1 v j v j +1 C C C Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 9 ete C distribuita (2/8) i j 1 i j v j 1 v j v j +1 C C C Nel j-esimo nodo, la tensione è v j e le correnti sono legate dalla legge di Kirchhoff: C dv j dt = v j 1 v j v j v j+1 Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 10 5

6 ete C distribuita (3/8) Dalla relazione: si ricava: cdx dv j dt C dv j dt = v j 1 v j r dx = v j 1 v j v j v j+1 r dx v j v j+1 ( = 1 dv r dx dv ) j 1 dx j Nell ultimo passaggio si è usato il limite per dx 0: v j 1 v j = dv dx dx e v j v j+1 = dv j 1 dx dx j Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 11 ete C distribuita (4/8) Moltiplicando per r, si ottiene: rc dv dv j dx j 1 dv dx = dt dx e per dx 0, si ottiene l equazione differenziale: j rc v(x,t) t = 2 v(x,t) x 2 con v = v(t,x) (la tensione è funzione del tempo t e della distanza x. Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 12 6

7 ete C a parametri distribuiti (5/8) rc v(x,t) t = 2 v(x,t) x 2 è nota come equazione del calore (fu studiata da Fourier per descrivere la propagazione del calore in un solido). Per risolverla occorre conoscere: la condizione iniziale al tempo t = 0 in ogni punto della linea: v(x,0), x l andamento del segnale applicato all estremità x = 0: v(0,t), t La soluzione è funzione della quantità adimensionale x rc 2 t Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 13 ete C distribuita (6/8) Se la condizione iniziale è v(0,x) = 0 per x, e il segnale in x = 0 è un gradino con ampiezza da 0 a V A applicato all istante t = 0, allora la soluzione è: ( ) x rc v(t,x) = V A erf 2 t dove con erf si indica la funzione degli errori, definita come: erf(z) = 2 z e u2 du π 0 Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 14 7

8 ete C a parametri distribuiti (7/8) x = L x = 2L x = 3L x = 4L x = 5L Il ritardo di propagazione è proporzionale al quadrato della distanza dal generatore di segnale: t d (x) 0.7 rc 2 x2 Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 15 ete C distribuita (8/8) Il ritardo della rete è dato dall istante t d per cui la tensione raggiunge il valore v = 1 2 V A; esprimendo t d in funzione della distanza x lungo la linea di interconnessione otteniamo: t d (x) 0.7 rc 2 x2 Quindi: il ritardo lungo una linea a parametri distribuiti aumenta in maniera proporzionale al QUADATO della lunghezza della linea! Elettronica dei Sistemi Digitali Calcolo degli elementi parassiti in tecnologia CMOS p. 16 8

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