Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 2

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Lucia Cosentino
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1 Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 1 Densità di carica elettrica La densità di carica ρ è il rapporto tra la carica elettrica contenuta all interno di un volume e il volume stesso: ρ = Q x y z z y x In un semiconduttore drogato, la densità totale dei carica è: ρ = q 0 p n + N D N A ) Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 2 1

2 Equazione di Poisson La densità di carica elettrica è legata al potenziale elettrico dall equazione di Poisson: 2 V = ρ ε dove ε è la costante dielettrica e 2 è l operatore di Laplace: 2 V = 2 x y ) z 2 V Se consideriamo solo le variazioni lungo l asse x caso monodimensioale), l equazione di Poisson è: d 2 V dx 2 = de dx = q 0 ε p n + N D N A ) Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 3 Approssimazione di svuotamento cariche fisse p - + n regione di svuotamento Esistono due zone neutre in cui le concentrazioni dei portatori n e p) sono costanti: nella zona p le concentrazioni sono p p lacune maggioritarie) e n p elettroni minoritari) nella zona n le concentrazioni sono n n elettroni maggioritari) e p n lacune minoritarie) La zona di svuotamento è completamente svuotata di portatori: n = p = 0 Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 4 2

3 Profili per una giunzione a gradino drogaggio: N D - N A concentrazioni: n, p N D n n -x p x n x -p p -N A La giunzione è in x = 0; il drogaggio è di tipo p per x < 0 e di tipo n per x > 0. La regione di svuotamento si estende da x p a x n. Le aree colorate rappresentano la densità di cariche fisse nella regione di svuotamento. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 5 Equazione di Poisson per la giunzione Con l approssimazione di svuotamento, l equazione di Poisson assume le seguenti forme: per x p < x < 0 cioè nella regione di svuotamento dal lato p): d 2 V dx 2 = de dx = q 0N A ε per 0 < x < x n cioè nella regione di svuotamento dal lato n): d 2 V dx 2 = de dx = q 0N D ε per x < x p oppure per x > x n nella zona neutra): d 2 V dx 2 = de dx = 0 Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 6 3

4 Campo elettrico nella giunzione 1) Integrando l equazione di Poisson si calcola il campo elettrico: nella zona neutra per x < x p oppure per x > x n ): E = 0 nella regione di svuotamento dal lato p per x p < x < 0): E x) = q 0N A x + x p ) ε nella regione di svuotamento dal lato n per 0 < x < x n ): E x) = q 0N D x n x) ε Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 7 Campo elettrico nella giunzione 2) campo elettrico: E -x p x n x Il vettore campo elettrico è continuo il valore di E x = 0) può essere calcolato indifferentemente partendo dal lato p o dal lato n, e si ottiene lo stesso valore; quindi: N A x p = N D x n e la regione di svuotamento di estende di più nella parte meno drogata. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 8 4

5 Equazione di continuità 1) z J n x) J n x + x) y x x x + x In un volume x y z la velocità di incremento del numero di elettroni è legata alla differenza tra la corrente entrante e quella uscente, e alla differenza tra la generazione G n e la ricombinazione R n : n t x y z = Jn x) q 0 J nx + x) q 0 ) y z + G n R n ) x y z Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 9 Equazione di continuità 2) Dividendo per il volume x y z: n t = 1 J n x + x) J n x) + G n R n q 0 x e sostituendo il rapporto incrementale con la derivata, si ha: n t = 1 q 0 J n x + G n R n Questa è l equazione di continuità per gli elettroni. In modo analogo si ricava l equazione di continuità per le lacune: p t = 1 J p q 0 x + G p R p Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 10 5

6 Iniezione 1) L equazione del potenziale di giunzione è: V J = kt q 0 ln n n n po dove il secondo pedice o in n po indica l assenza di tensione applicata esternamente alla giunzione. Risolvendo rispetto a n po, si ottiene: n po = n n exp q ) 0V J kt Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 11 Iniezione 2) + - V D + - Applicando ai capi del diodo una tensione diretta V D, la concentrazione dei portatori minoritari diventa: n p = n n exp q ) 0V J V D ) kt la tensione V J è discorde rispetto ai segni dei terminali del diodo!) V J Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 12 6

7 Iniezione 3) Quando un diodo conduce corrente, vengono iniettati portatori elettroni che si muovono dal lato n verso il lato p, e lacune che si muovono dal lato p verso il lato n). L eccesso di portatori dovuto all iniezione si indica con: n p = n p n po dove n po è la concentrazione dei portatori minoritari in assenza di iniezione. n p = n po exp q ) kt 1 Analogamente, per le lacune: p n = p no exp q kt 1 ) Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 13 Basso livello di iniezione La condizione di basso livello di iniezione si ha quando la concentrazione dei portatori iniettati è minore della concentrazione dei portatori maggioritari, cioè quando, anche tenendo conto dei portatori iniettati, n p p p e p n n n Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 14 7

8 Ricombinazione netta 1) La ricombinazione netta U è la differenza tra ricombinazione e generazione: U = R G In condizioni di iniezione, il prodotto tra le concentrazioni dei portatori è maggiore del quadrato della concentrazione intrinseca: np > n 2 i e quindi la ricombinazione prevale sulla generazione. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 15 Ricombinazione netta 2) In condizioni di basso livello di iniezione, la ricombinazione netta è proporzionale all eccesso di portatori minoritari. Nel semiconduttore drogato p la ricombinazione netta è: U n = n p τ n = n p n po τ n dove τ n è il tempo di vita medio degli elettroni. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 16 8

9 Corrente nella giunzione 1) La derivata di J p rispetto a x è: J p x = q E x) 0 µ p px) + µ p E x) px) ) 2 px) q 0 D p x x x 2 Poiché nella zona neutra E x) = 0, l equazione di continuità diventa: p t = D 2 px) p x 2 U p e, in condizioni di basso livello di iniezione, p t = D 2 px) p x 2 p n p no τ p Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 17 Corrente nella giunzione 2) In regime stazionario tutte le derivate rispetto al tempo sono nulle; quindi l equazione di continuità diventa: D p 2 px) x 2 p n τ p = 0 e la soluzione nella zona neutra di tipo n per x > x n ) è del tipo: ) ) p nx) = Aexp x x n x x + Bexp n Dp τ p Dp τ p con A e B costanti da determinare in base alle condizioni al contorno. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 18 9

10 Corrente nella giunzione 3) Nell equazione: p nx) = Aexp ) x x n + Bexp Dp τ p ) x x n Dp τ p la costante D p τ p = è la lunghezza di diffusione. Poiché la concentrazione di portatori diminuisce allontanandosi dalla giunzione, deve essere B = 0. Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p. 19 Corrente nella giunzione 4) L andamento della concentrazione dei portatori iniettati è: p nx) = Aexp x x ) n Usando la formula dell iniezione dei portatori minoritari, si calcola la costante A, ottenendo: p nx) = p no exp q ) kt 1 exp x x ) n e la corrente è: J p x) = q 0 D p d p n dx = q 0D p p no exp q ) kt 1 exp x x ) n Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p

11 Corrente nella giunzione 5) Dall equazione: J p x) = q 0 D p d p n dx = q 0D p p no exp q ) kt 1 exp x x ) n prendendo il valore della densità di corrente per x = x n, si ha: p no J p x n ) = q 0 D p exp q ) kt 1 Moltiplicando per la sezione della giunzione S, si ricava l intensità di corrente: p no I D = Sq 0 D p exp q ) kt 1 = I S exp q ) kt 1 Elettronica II La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente p

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