Proprietà Elettroniche del Silicio

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1 Proprietà Elettroniche del Silicio Il Silicio (Si) è un materiale semiconduttore. Il silicio puro ha una resistività elettrica relativamente elevata a temperature ambiente (RT). In un semiconduttore vi sono 2 tipi di portatori di carica: Elettroni (di conduzione) carichi negativamente; Lacune cariche positivamente. La concentrazione (#/cm 3 )dielettronidiconduzioneedilacunepuò essere modificata in vari modi: aggiungendo specifici atomi impurezza (droganti) applicando un campo elettrico cambiando la temperatura irraggiando con particelle energetiche (p. es. fotoni)

2 Proprietà strutturali I solidi possono classificarsi in tre forme: amorfi(atomi disposti irregolarmente, es. vetro) policristalli (piccole regione ordinate dette grani, es. poly-si come elettrodo di gate nei MOSFET) cristalli (ordine a lungo raggio con disposizione regolare degli atomi, es. c-si, diamante)

3 Atomo di Silicio Cristallo di Silicio struttura del diamante I dispositivi a semiconduttore ad elevate prestazioni richiedono un materiale pressochè privo di difetti.

4 Notazione cristallografica Indici di Miller h: inverso dell intercetta sull asse x k: inverso dell intercetta sull asse y Notazione ( h k l ) { h k l } [ h k l ] < h k l > Interpretazione piano cristallino piani equivalenti direzioni cristalline direzioni equivalenti l: inverso dell intercetta sull asse z Si esprimono i valori delle intercette in multipli della costante reticolare; h k ed l sono gli interi più piccoli che stanno nel medesimo rapporto.

5 Piani cristallografici Cella unitaria costante reticolare Si =5.431 Å ρ = N at /V = 8/(5.431 Å) 3 = = atomi/cm 3 vista in direzione <111> vista in direzione <100> vista in direzione <110>

6 r Livelli di energia 3p 2 3s 2 2p 6 2s 2 B a r r i e r a d i p o t e n z i a l e 3p 2 3s 2 2p 6 2s 2 B a r r i e r a d i p o t e n z i a l e 3p 2 3s 2 2p 6 2s 2 1s 2 1s 2 1s 2 Si a>>r Si Si Atomo isolato (idrogeno H) E E 5 4 E 3 E 2 3p 2 3s 2 2p 6 E n ( H) mq 13.6 = = 8ε hn n (Modello di Bohr) ev E 1 2s 2 1s 2 Si

7 Formazione delle bande di energia N atomi disposti regolarmente Si Si Si Si Si 1s 2

8 Formazione delle bande di energia

9 Calcolo formale: Equazione di Schröedinger L equazione di Schröedinger è una relazione matematica che descrive il comportamento ondulatorio di una particella (elettrone) 2 d Ψ 2m( E V) Ψ= dx E è l energia totale, V l energia potenziale, m la massa della particella Ψ è la funzione d onda dell elettrone ΨΨ*dx è la probabilità di trovare l eletrone nell intervallo spaziale dx. 0

10 Equazione di Schröedinger per trovare la relazione esistente tra l energia ed il momento degli elettroni in un semiconduttore occorre risolvere l eq. di Schröedinger (EqSc) elettrone libero (nessuna interazione con ioni reticolo V=0 in EqSc) ikx ( ϖ t) 2π Ψ ( xt, ) = Ae conk= e p= λ ( p momento dell ' elettrone) h p k p = k E = = = m m m λ * de 2 e 2 de = m = m = massa efficace dp m dp relazione parabolica tra energia e momento h λ pesante leggera

11 Tipiche strutture a bande di energia a 0 K

12 Gap di energia per il Silicio cristallino a temperatura ambiente (RT) l ampiezza dela banda proibita per il Si è 1.12 ev E ( T) = T 4 2 in generale g T con con T in gradi Kelvin ed E g in ev

13 Silicio in equilibrio termico: Concentrazione di portatori intrinseci Per predire, quantitativamente, il numero di elettroni (e lacune) liberi in un semiconduttore, occorre conoscere: 1. La densità di stati permessi nella banda di energia 2. La probabilità che questi stati siano occupati

14 Densità degli stati Nello spazio rettangolare k la densità di punti è 4 π 3 k+ dk k 4πk dk ( ) Dividendo per il volume della cella unitaria e tenendo conto del principio di esclusione di Pauli 2 2 4π k dk k 2 = dk = n( k) dk numero di elettroni 3 2 8π π k = k 2 ( = ) 2 2 essendo E m si ottiene ipotizzando m cost ( ) 1 3 ( ) ( ) n E de = 2m E de 2 3 2π

15 Densità degli stati g c (E)dE è la densità degli stati nella banda di conduzione compresa tra E e E+dE analogamente g v (E)dE è la densità di stati nella banda di valenza tra E e E+dE dalla meccanica quantistica 1 gc E m 2 3 n E Ec 2π 1 gv E m 2 3 p Ev E 2π ( ) = ( 2 ) ( ) ( ) = ( 2 ) ( ) m n, m p = massa efficace di elettroni e lacune E c, E v = limite di banda di conduzione e valenza

16 Probabilità di occupazione: distribuzione di Fermi-Dirac La probabilità che una stato di energia sia occupato da un elettrone è descritta dalla distribuzione di Fermi-Dirac f E ( ) = ( ) essendo E f il livello di energia per cui f D (E f ) = 0.5 (probabilità di occupazione pari al 50%) per E >> E f f D (E f ) tende alla statistica di Maxwell- Boltzmann 1 1 D E E kt + ( E Ef ) kt f ( E) e = f ( E) D e f M

17 Probabilità di occupazione: distribuzione di Fermi-Dirac ( f ) f ( E) = e M E E kt questa approssimazione è valida per semiconduttori nondegeneri. Quando un semiconduttore è degenere, cioè quando gli atomi droganti introdotti sono in concentrazione così elevata da interagire tra di loro, va usata f D.

18 Concentrazione portatori Calcoliamo la concentrazione di portatori liberi: =

19 Concentrazione elettroni In definitiva la concentrazione di elettroni liberi in banda di conduzione è data da: E ( ) ( ) ( ) ( ) sup n gc E fd E de gc E fm E de Ec 0 N = = 32 2π mkt n ( c f ) ( c f ) = 2 e N 2 = C e C 32 2π mkt n = = 2 E E kt E E kt densità efficace degli stati in banda di conduzione 19 3 = cm per Si a 25 C

20 Concentrazione lacune Analogamente la concentrazione di lacune libere in banda di valenza è data da: E v ( ) ( ) v p g ( ) ( ) v E f E D E de gv E fm E de inf N = = 32 2π mkt p ( f v) ( f v) = 2 e N 2 = V e V 32 2π mkt p = = E E E kt E E kt densità efficace degli stati in banda di valenza = cm per Si a C

21 Concentrazione intrinseca di portatori Il tasso di eccitazione di elettroni in banda di conduzione (e cioè il tasso di generazione di una coppia e-h) è funzione della temperatura: G = f T ( ) Il tasso di ricombinazione e-h è funzione della temperatura e della concentrazione di e ed h : in equilibrio (condizioni stazionarie) 1 R = npf T ( ) G = R ( vale sempre) 2

22 Legge dell azione di massa in equilibrio (condizioni stazionarie) ( ) 1 G= R np= = n ( ) i pi f2 T i i ( C f ) ( f v) 2 E E kt E E kt i = = C V ( ) EC EV kt = = C C V V i C V E g E g kt 2kT f T n = p = concentrazione intrinseca di elettroni (lacune) n np N e N e n = = N N e N N e N N e

23 Legge dell azione di massa n i è funzione di T ed E g. Sostituendo l espressione di E g ni = T e ( ΔEg ) kT 10 essendo Δ Eg = ni T per il Si E = 1.21 ev a T = 0 K g 10 3 ni cm per Si a T = 25 C n i è il parametro che determina le condizioni operative di un materiale semiconduttore (per drogare efficacemente un materiale il numero di portatori di carica aggiuntivi deve essere >> n i )

24 Livello di Fermi intrinseco dovendo essere n i = n = p sulla base delle relazioni ( E ) 2 c Ei kt π mkt n n= NC e con NC = 2 ( E ) 2 i Ev kt π mkt n p = NV e con NV = 2 E i E + E 3 mp E + E = + ktln 2 4 mn 2 c v c v E i rappresenta il valore assunto dal livello di Fermi E f in un semiconduttore intrinseco (cioè non drogato)

25 Silicio intrinseco (non-drogato) una lacuna (hole = mancanza di carica negativa) è assimilibile ad una carica positiva mobile! n i =10 10 cm -3 art

26 Drogaggio di tipo n Sostituendo un atomo di silicio con un atomo di elementi della V colonna del sistema periodico si crea un elettrone di conduzione. Donori: P, As, Sb rappresentazione 2D P elettrone extra Donore I droganti sono aggiunti per controllare le proprietà elettroniche del materiale. A temperatura ambiente (RT) tutti i donori sono ionizzati e cresce la conducibilità elettrica. Concentrazioni tipiche vanno da cm -3 a10 20 cm -3.

27 Drogaggio di tipo p Sostituendo un atomo di silicio con un atomi di un elemento della III colonna del sistema periodico si crea una lacuna. Accettori: B, In, Al, Ga rappresentazione 2D B +4 lacuna extra Accettore I droganti sono aggiunti per controllare le proprietà elettroniche del materiale. A temperatura ambiente (RT) tutti gli accettori sono ionizzati e cresce la conducibilità elettrica. Concentrazioni tipiche vanno da cm -3 a10 20 cm -3.

28 Drogaggio: livello di Fermi estrinseco N d+ = densità di donori ionizzati (densità di livelli E d non occupati da elettroni, finiti in banda di conduzione) N a- = densità di accettori ionizzati (densità di livelli E a occupati da elettroni che creano lacune in banda di valenza) E c E d drogaggio di tipo n (donori) E c drogaggio di tipo p (accettori) E v E a E v

29 Livello di Fermi estrinseco dalla condizione di neutralità della carica n + N = p + N essendo + a d + N Nd = Nd fd E = e Na = Na fd E = 1+ e 1+ e se E E E ( ovvero anche a T elevate) d a ( 1 ( )) ( ) ( ) f d ( a f ) a f d E E kt E E kt N N e N N quindi n + N = p + N ed essendo np = n + 2 d d a a a d i n= ( N N ) + 4n + ( N N ) ( N 2 N ) per ( N N ) n per il silicio di tipo n d a i d a d a d a i N

30 Livello di Fermi estrinseco poichè deve comunque sempre essere valida la relazione ( Ec E f ) kt ( Ec Ei) kt ( Ei E f ) kt ( Ei E f ) kt n= N e = N e e = n e da cui f C C i E = E + kt i ln n n i 1 analogamente p = Na Nd + ni + Na N d Na Nd 2 ( Ef Ei) kt p p = nie e, quindi E f = Ei kt ln per il silicio di tipo p n 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) i