Come calcolare il valore attuale

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1 CAPITOLO 5 Come calcolare il valore attuale Semplici PROBLEMI 1. a. FA 6 = 1/(1.12) 6 = 0.507; b. 125/139 = 0.899; c (1.06) 8 = ; d /(1.09) 9 = e. VA = C r 1 r(1 r) t = (1 0.09) 9 = f. VAN = 2 milioni /0.85 = VA = = = (1.15) 2 (1.15) 3 3. VA = 4/( ) = Ciascuna rata è pari a 194/25 = 7.76 milioni. Se le rate sono pagate alla fine di ogni anno, VA = = milioni. Poiché i pagamenti sono effettuati all inizio di ogni anno, VA = = milioni. 5. a. VA = 1/0.10 = 10; b. VA = (1/0.10)/(1.10) 7 = 10/2 = 5 (circa); c. VA = 10 5 = 5 (circa); d. VA = C/(r g) = /( ) = Intermedi 6. a. VA = 100/ = b. VA = 100/ = c. VA = 100/ = 3.52 d. VA = 100/ / / = Il valore attuale del flusso di cassa in entrata per 10 anni è: VA = (1.14) 10 = Perciò: VAN = =

2 Alla fine dei 5 anni, il valore dello stabilimento corrisponderà al valore attuale dei 5 rimanenti flussi di cassa di : VA = (1.14) 5 = C t VAN = = (1.12) t t = = a. Poniamo che S t = stipendio nell anno t S t (1.05) VA = = t 1 (40000 /1.05) = = = (1.08) t (1.08) t (1.08 /1.05) t (1.0286) t t =1 t=1 = (1.0286) = t =1 t=1 b. VA (stipendio) = c. Valore futuro = (1.08) = VA = C 1 r 1 r (1 r) t = C 0.08 (1.08) 20 C = = (1.08) È possibile scomporre in singoli flussi di cassa, in modo tale che la somma di essi corrisponda al flusso di cassa totale. Così, la somma dei valori attuali dei singoli flussi di cassa corrisponde al valore dell intero progetto. Il costo della nave è 8 milioni VA = 8 milioni I ricavi ammontano a 5 milioni all anno e i costi di esercizio a 4 milioni. Perciò, il flusso di cassa operativo è di 1 milione all anno per 15 anni. 14

3 VA = 1 milione 0.08 (1.08) 15 = milioni Le importanti ristrutturazioni costeranno 2 milioni ciascuna e verranno effettuate in corrispondenza di t = 5 e t = 10. VA = ( 2 milioni)/ ( 2 milioni)/ = 2288 milioni La vendita come rottame comporta ricavi pari a 1.5 milioni in corrispondenza di t = 15. VA = 1.5 milioni/ = milioni Sommando questi valori attuali si ottiene il valore attuale dell intero progetto: VAN = 8 milioni milioni milioni milioni VAN = milioni 11. Il fatto che Canguro Auto offra un credito a costo zero suggerisce quali siano i pagamenti in contanti; ciò non toglie che il denaro abbia un valore temporale. Un tasso di interesse annuo del 10% corrisponde a un tasso mensile di 0.83%: r mensile = r annuo /12 = 0.10/12 = = 0.83% Il valore attuale dei pagamenti a Canguro Auto è: (1.0083) = 8938 Un automobile di Tartaruga Motori costa 9000 in contanti. Dunque, Canguro Auto fa l offerta migliore, ossia il più basso valore attuale del costo. 12. Un modo per risolvere questo problema consiste nel calcolare il valore attuale di: (1) 100 all anno per 10 anni e (2) 100 all anno per sempre, con il primo flusso di cassa in corrispondenza dell undicesimo anno. Se non si tratta di una truffa, questi valori attuali dovrebbero essere uguali e si può dunque calcolare il tasso di interesse (r). Il valore attuale di 100 all anno per 10 anni è: VA = r 1 (r) (1 r) 10 Il valore attuale, al decimo anno, di 100 all anno per sempre, con il primo pagamento nell undicesimo anno, è: VA 10 = 100/r. In corrispondenza di t = 0, il valore attuale di VA 10 è: 100 VA = (1 r) 10 r 15

4 Uguagliando queste due espressioni del valore attuale, si ottiene: r 1 (r) (1 r) 10 = 100 (1 r) 10 r Utilizzando un metodo per tentativi ed errori o la soluzione algebrica, si ottiene r = 7.18%. 13. Ipotizzate che l ammontare investito sia 1. Ponete che A rappresenti l investimento al 12% capitalizzato su base annuale. Ponete che B rappresenti l investimento all 11.7% capitalizzato su base semestrale. Ponete che C rappresenti l investimento all 11.5% capitalizzato nel continuo. Dopo 1 anno: VF A = 1 (1 0.12) 1 = VF B = 1 ( ) 2 = VF C = 1 e ( ) = Dopo 5 anni: VF A = 1 (1 0.12) 5 = VF B = 1 ( ) 10 = VF C = 1 e ( ) = Dopo 20 anni: VF A = 1 (1 0.12) 20 = VF B = 1 ( ) 40 = VF C = 1 e ( ) = Sarà da preferire l investimento C. 14. a. VA = (1.08) 8 = b. Debito Interessi alla Versamento Anno residuo fine dell anno totale alla all inizio sul debito fine dell anno residuo dell anno Ammortament o del prestito Debito residuo alla fine dell anno

5 Complessi 15. a. Utilizzando la Regola del 72, il tempo necessario perché un investimento raddoppi il suo valore al 12% è 72/12, o 6 anni. Più precisamente, se x è il numero di anni necessari perché l investimento raddoppi il suo valore, allora: (1.12) x = 2 Utilizzando i logaritmi, si ottiene: x (log 1.12) = log 2 x = 6.12 anni b. In caso di capitalizzazione nel continuo per il tasso di interesse r e il periodo x: e r x = 2 Prendendo il logaritmo naturale di ciascun lato: r x = log(2) = Perciò, se r è espresso in termini percentuali, x (il tempo necessario perché l investimento raddoppi il suo valore) = 69.3/(tasso di interesse, in percentuale). 16. Esercizio in Excel. 17. a. Ciò rimanda alla formula di una rendita perpetua a rendimento crescente con un tasso di crescita negativo (g = 0.04): VA = 2 milioni 2 milioni = 0.10 ( 0.04) 0.14 = milioni b. Il valore dell oleodotto nell anno 20 (cioè, in t = 20), ipotizzando che i suoi flussi di cassa durino per sempre, è: VA 20 = C 21 r g = C (1 g)20 1 r g Con C 1 = 2 milioni, g = 0.04, e r = 0.10: 20 ( 2 milioni) (1 0.04) VA 20 = = milioni = milioni 0.14 Successivamente, convertiamo questo ammontare al VA odierno e lo sottraiamo all importo ottenuto con la risposta al punto a. VA = milioni milioni (1.10) 20 = milioni 17