Appunti di Excel per risolvere alcuni problemi di matematica (II parte) a.a

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1 Appunti di Excel per risolvere alcuni problemi di matematica (II parte) a.a Daniela Favaretto* Stefania Funari* *Dipartimento di Matematica Applicata Università Ca Foscari di Venezia

2 Indice UN BREVE RIPASSO 3 IL MONTANTE E IL VALORE ATTUALE 14 AMMORTAMENTO A QUOTE COSTANTI DI CAPITALE 19 REGRESSIONE LINEARE 23 FILTRARE DATI DA UN ELENCO 30 I PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE 37 13

3 IL MONTANTE E IL VALORE ATTUALE 1. Il montante Data una successione di importi monetari R 1,,R k,., R n, che si verificano alle epoche 1,..k,,n, il montante alla scadenza n si calcola come: ESEMPIO Un azienda prevede i seguenti ricavi annuali espressi in Euro: anno importo Assumendo un tasso di valutazione annuale effettivo del 8%, calcolare i valori dei flussi di cassa a scadenza (montante). Dobbiamo ottenere un foglio come quello delle figure 6 e 6a. I valori relativi alle variabili del problema sono contenuti nelle seguenti celle. I dati e il risultato n 1 n 2 ( 1+ i) + R ( 1+ i) +... R. M = R n Nelle celle A3, A4, A5, A6 e A7 digitiamo i numeri 1, 2, 3, 4, 5 rispettivamente. Nelle celle B3, B4, B5, B6 e B7 digitiamo i flussi di cassa corrispondenti. Selezioniamo la cella B9. Nella barra dei menu scegliamo Formato e poi Celle. Nella finestra di dialogo che compare, scegliamo Percentuale e in Posizioni decimali scriviamo 2. Confermiamo con OK. Digitiamo 8 e poi battiamo INVIO. Selezioniamo la cella C11. Digitiamo la formula =B7+B6*(1+B9)+B5*(1+B9)^2+B4*(1+B9)^3+B3*(1+B9)^4 e poi battiamo INVIO. Osservazione Si usa il simbolo * per la moltiplicazione, ^ per l elevamento a potenza, / per la divisione. Nella casella C11 della figura 3a leggiamo la soluzione: il montante cercato è Euro. 14

4 Il problema iniziale è risolto, ma con il foglio ottenuto possiamo risolvere tutti i problemi dello stesso tipo. Figura 6-6a. Il foglio per il calcolo del montante dei flussi di cassa (formula-risultati). 15

5 Osservazione Nella cella B9 abbiamo scritto il tasso in forma percentuale e non ci siamo poi preoccupati di trasformarlo nel tasso unitario i presente nella formula del montante. Questo perché, quando si sceglie il formato Percentuale, Excel scrive il dato in forma percentuale ma lo usa automaticamente in forma unitaria. Per esempio, se vediamo scritto 8% nella cella B9, per applicare la formula precedente, Excel al posto del valore scritto in B9 mette Il valore attuale Data una successione di importi monetari R 1,,R k,., R n, che si verificano alle epoche 1,..k,,n, il valore attuale in t = 0 si calcola come: ESEMPIO V = R 1 2 n ( 1+ i) + R ( 1+ i) R n ( 1+ i). Utilizzando Excel calcolare il valore attuale dei seguenti 6 flussi di cassa al tasso annuo effettivo del 6.5%: anno importo Dobbiamo ottenere un foglio come quello della figura 7. 1 Nella casella C12 (figura 4a) leggiamo la soluzione: il montante cercato è Euro. Il problema iniziale è risolto, ma con il foglio ottenuto possiamo risolvere tutti i problemi dello stesso tipo. 2 16

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7 Figura 7-7a. Il foglio per il calcolo del valore attuale (formula-risultati). Per calcolare il valore attuale netto di un progetto si può utilizzare la funzione finanziaria VAN di Excel. La funzione si presenta nella forma VAN(tasso_int; valore1; valore2;,valoren) dove gli argomenti della funzione hanno il seguente significato: tasso_int valore1,,valoren tasso di interesse relativo all unità temporale considerata, importi periodici R 1,., R n riscossi o pagati nelle diverse epoche. Per risolvere l esercizio utilizzando la funzione finanziaria VAN basta selezionare la cella C12, digitare la formula =VAN(B10;B3:B8) e premere INVIO. Si ottiene come risultato Figura 7b. Uso della funzione VAN per il calcolo del valore attuale netto 18

8 AMMORTAMENTO A QUOTE COSTANTI DI CAPITALE Si consideri il problema di redigere il piano di ammortamento di un debito di ammontare S che deve essere restituito in n anni, secondo un ammortamento a quote costanti di capitale. Si utilizza il regime di capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo i. Indicato con: k generico anno (k = 0,,n), C k quota capitale (costante) in k, I k quota interesse in k, R k rata di ammortamento in k, D k debito residuo in k, E k debito estinto in k, ricordiamo che, nel caso in cui i pagamenti vengono corrisposti posticipatamente al termine di ciascuno degli n anni, fra le grandezze del piano di ammortamento valgono le seguenti relazioni: R k = C k + I k (1) I k = id k-1 (2) D k = D k-1 - C k (3) E k = S - D k (4) Inoltre la quota (costante) di capitale può calcolarsi come S C k = k =1,2,..., n n ESEMPIO Vogliamo ammortizzare un prestito di Euro al 6% annuo in 8 anni con il metodo a quote costanti di capitale (ammortamento italiano). Utilizzando Excel costruisci il piano di ammortamento completo Dobbiamo ottenere un foglio come quello della figura 8. 19

9 Figura 8-8a. Il foglio per il calcolo del piano di ammortamento a quote costanti di capitale (formule-risultati). 20

10 I valori relativi alle variabili del problema sono contenuti nelle seguenti celle: Somma ottenuta in prestito (debito) Numero delle rate Tasso di interesse Quota capitale B2 B3 B4 B6 I dati e il calcolo della quota capitale Selezioniamo la cella B2: digitiamo e poi battiamo il tasto INVIO. Selezioniamo la cella B3: digitiamo 8 e poi battiamo INVIO. Selezioniamo la cella B4: digitiamo 6 (formato Percentuale) e poi battiamo INVIO. Selezioniamo la cella B6: digitiamo la formula e poi battiamo INVIO. =B3/B2 Nella cella B6 leggiamo l importo della quota capitale: 1250 Euro. Il problema di determinare la quota capitale è risolto; si tratta ora di redigere il piano di ammortamento. I dati e i risultati Compiliamo la prima colonna (quella degli anni): selezioniamo la cella A9 e digitiamo il numero 0; selezioniamo la cella A10 e digitiamo =A9+1 e premiamo INVIO; selezioniamo la cella A10, posizioniamo il cursore in basso a destra della cella selezionata e trasciniamo il cursore fino alla cella A17. In questo modo si copierà =A10+1 sulla cella A11, =A11+1 sulla cella A12, e =A16+1 sulla cella A17. Compiliamo la terza colonna (quella delle quote capitale): selezioniamo le celle C10, C11,, C17 e in ognuna digitiamo =B6. Dopo ogni digitazione battiamo il tasto INVIO. Anziché digitare =B6 in ogni cella dalla C10 alla C17, è possibile scrivere =B$6 nella cella C10 e battere invio; poi selezionare la cella C10, posizionare il cursore in basso a destra della cella selezionata e trascinare il cursore fino alla cella C17. In questo modo si copierà =B$6 su tutte le celle dalla C11 alla C17. Il $ tra B e 6 serve a non fare incrementare l indice di riga nel trascinamento. Compiliamo la quinta colonna (quella del debito estinto): dopo aver scritto in E , selezioniamo la cella E10 e digitiamo =E9-C10; selezioniamo poi la cella E11 e digitiamo =E10-C11; procediamo così fino alla cella E17, in cui digitiamo =E19-C17. Dopo ogni digitazione battiamo INVIO. Anziché scrivere la formula in ogni cella dalla E10 alla E17, basta selezionare la cella 21

11 E10, digitare =E9-C10 e battere INVIO. Successivamente si tratta di selezionare E10 e trascinare il valore con il cursore fino alla cella E17. Compiliamo la sesta colonna (quella del debito residuo): selezioniamo la cella F10 e digitiamo =F9-E10; selezioniamo poi la cella F11 e digitiamo =F9-E11; continuiamo così fino alla cella F17 in cui digitiamo =F11-E17. Dopo ogni digitazione battiamo INVIO. Anziché scrivere la formula in ogni cella dalla F10 alla F17, basta selezionare la cella F10, digitare =F$9-E10 e battere INVIO. Successivamente si tratta di selezionare F10 e trascinare il valore con il cursore fino alla cella F17. In questo modo l indice di riga di F9 resterà immutato, mentre l indice di riga di E10 aumenterà di una unità ad ogni cella. Compiliamo la quarta colonna (quella della quota interessi): selezioniamo la cella D10 e digitiamo =E9*B4; selezioniamo poi la cella D11 e digitiamo =E10*B4; continuiamo così fino alla cella D17 in cui digitiamo =E16*B4. Dopo ogni digitazione battiamo INVIO. Anziché scrivere la formula in ogni cella dalla D10 alla D17, basta selezionare la cella D10, digitare =E9*B$4 e battere INVIO. Successivamente si tratta di selezionare D10 e trascinare il valore con il cursore fino alla cella D17. Compiliamo infine la seconda colonna (quella della rata): selezioniamo la cella B10 e digitiamo =C10+D10; selezioniamo poi la cella B11 e digitiamo =C11+D11; procediamo così fino alla cella B17, in cui digitiamo =C17+D17. Dopo ogni digitazione battiamo INVIO. Anziché scrivere la formula in ogni cella dalla B10 alla B17, basta selezionare la cella B10, digitare =C10+D10 e battere INVIO. Successivamente si tratta di selezionare B10 e trascinare il valore con il cursore fino alla cella B17. Attenzione che tutte le celle, tranne quelle della prima colonna, devono essere nel formato Valuta. Osservazione Ricordiamo che per ottenere il formato Valuta bisogna selezionare la cella e nella barra dei menu scegliere Formato e poi Celle e, nella finestra di dialogo che compare, scegliere Valuta; per confermare scegliere OK. A questo punto il piano di ammortamento è completato e risulta esattamente quello in figura 8a. 22