ESAME 13 Gennaio 2011

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1 ESAME 13 Gennaio 2011 Esercizio 1. Si consideri un operazione finanziaria che ha valore x 0 = 120 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = 135 all istante t. Supponendo che l operazione in esame sia soggetta ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuale i = 4%, calcolare t. Relativamente al periodo [0, t], determinare: 1. il tasso di interesse; 2. l intensità di sconto su base trimestrale. Sotto un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare: 3. il tasso di interesse su base trimestrale e quello su base biennale; 4. l intensità istantanea di interesse su base semestrale. Esercizio 2. Simone e Luisa hanno accumulato una somma S = euro per l istruzione universitaria del figlio; ora hanno intenzione di effettuare prelievi trimestrali costanti posticipati per i prossimi 6 anni dal conto che ha rendimento pari al 2.5%. Allora: 1. calcolare l ammontare di ogni prelievo affinché, a scadenza, il conto si azzeri; 2. compilare le prime cinque rate del piano di ammortamento. Se non si possono effettuare prelievi superiori a 900 euro, determinare: 3. la durata necessaria ad azzerare il conto. Esercizio 3. Calcolare il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x/t := {- 160, 90, 90}/{1, 3, 5} con scadenzario in anni. Se il prezzo fosse P = euro, scegliere tra i seguenti il nuovo tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x: 1. i a = 4.12% 2. i b = 3.73% 3. i c = 4.56% Se il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria è uguale al 5%, qual è la nuova scadenza dell operazione finanziaria? Si aggiungano all operazione finanziaria in esame due ulteriori scadenze in sette anni, dove l operazione garantisce 90 euro, ed in nove anni, dove è esigibile una cifra incognita X. Determinare il valore di X affinché il tasso interno di rendimento rimanga uguale a quello calcolato inizialmente. Esercizio 4. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: o un contratto a pronti x che garantisce 100 in t 1 e prezzo P x = 98.9; o un contratto a termine y che garantisce 100 in t 2 e prezzo P y = 97.7 pattuito in t 0 ma pagabile in t 1 ; o un contratto a termine z che garantisce 100 in t 3 e prezzo P z = 98.1 pattuito in t 0 ma pagabile in t 2 ove lo scadenzario è t = {180, 360, 540} giorni. Determinare: 1. le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine, indicandoli in forma percentuale e su base annua, considerando la durata commerciale dell anno. Si consideri un titolo obbligazionario q/t = {40, 40, 40}/{t 1, t 2, t 3 } di prezzo P = 110 euro in t 0 = 0:

2 2. determinare una strategia che permetta di ottenere un guadagno privo di rischi G al tempo t 0 = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni. 3. la duration del primo e del secondo ordine del titolo q secondo le strutture dei tassi calcolata. ESAME 27 Gennaio 2011 Esercizio 1. Si consideri un operazione finanziaria che ha valore x 0 = 150 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = 210 all istante t 1. Supponendo che l operazione in esame sia soggetta ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i = 0.07, 1. calcolare t 1. Relativamente al periodo [0, t 1 ], determinare: 2. il tasso di interesse e il tasso di sconto; 3. l intensità di interesse su base mensile 4. l intensità istantanea di interesse su base semestrale. Esercizio 2. Un privato decide di acquistare una nuova automobile. A tale fine ottiene da una finanziaria un anticipo per l importo S = da rimborsare in 6 anni con rata mensile costante e posticipata calcolata al tasso composto i = 7.5%; 1. compilare il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate. Dopo 4 anni la finanziaria propone al cliente di rimborsare il debito residuo con rate semestrali calcolate ad un tasso di interesse composto i = 8% annuo e secondo un piano di ammortamento di tipo italiano (quota capitale costante), lasciando invariata la scadenza: 1. determinare il debito residuo al tempo t = 4 anni e il valore della prima rata nel nuovo finanziamento. 2. supponendo che l individuo non possa pagare una cifra semestrale superiore a sei volte quella corrispondente al finanziamento precedente dire se l operazione di cambio finanziamento sia possibile per l individuo. (sugg.: si calcoli la prima rata del nuovo finanziamento) Esercizio 3. In un mercato obbligazionario si considerino i seguenti titoli: x/t : {60, 60}/{0.5, 1} anni, acquistato in t = 0 al prezzo P x = 100 y/t : {3, 3, 3, 3, 3, 153}/{1, 2, 3, 4, 5, 6} trimestri, acquistato in t = 0 al prezzo P y = 150. Calcolare: 1. il tasso interno di rendimento del titolo x/t e il tasso interno di rendimento del titolo y/t; Qualora il titolo y/t fosse acquistato in t = 0 al prezzo P y = scegliere il tasso interno di rendimento del titolo y/t tra i seguenti tassi: a) 8.43% b) 7.24% c) 8.00% N.B. : tutti i tassi si intendono su base annuale. Esercizio 4. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: o un contratto a pronti x che garantisce 100 in t 1 ad un prezzo P x = 98.50;

3 o un contratto a pronti y che garantisce 10 in t 2 e 310 in t 3 prezzo P y = 311.1; o un contratto a pronti z che garantisce 250 in t 3 ad un prezzo P z = , ove t ={t 1, t 2, t 3 } = {3, 6, 12} mesi. 1. determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine per periodi consecutivi, indicandoli in forma percentuale e su base annua. Si consideri una operazione finanziaria q/t = {50, 0,50}/{t 1, t 2, t 3 } e si supponga che il titolo q/t sia venduto sul mercato al prezzo P = euro in t = 0: 2. costruire una strategia con i titoli x, y, z e q/t che permetta di ottenere un guadagno privo di rischio G al tempo t = 0 e di chiudere in pareggio le altre posizioni. Esercizio 5. Sia dato un Bullet Bond x di valore nominale 600 euro, vita a scadenza m = 2 anni, cedola annuale del 4% nominale e prezzo P = 596 euro. Valutando il titolo a cedola fissa rispetto ad una legge di capitalizzazione composta con tasso di interesse annuo del 5%, calcolare: 1. la duration D(0, x); 2. la perdita/guadagno corrispondente ad una variazione dei tassi pari a i= ESAME 10 Febbraio 2011 Esercizio 1. Si consideri un operazione finanziaria che ha valore x 0 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = 200 in 4 mesi con tasso di interesse relativo al periodo j = 4.5%: 1. calcolare il valore x 0. Relativamente al periodo [0, 4] mesi, determinare: 2. il tasso di sconto e l intensità di sconto su base trimestrale. Rispetto ad una legge di capitalizzazione composta, calcolare: 3. il tasso di interesse su base annua e su base semestrale; 4. l intensità istantanea di interesse su base quadrimestrale. Esercizio 2. Si considerino due rendite r e s, entrambe immediate, con ottanta rate semestrali costanti. La prima è posticipata e con rata di 750 euro. La seconda è anticipata e con valore attuale W(0, s) = euro. In base ad una legge di valutazione esponenziale di tasso annuo i = 10%, determinare: 1. il valore attuale W(0, r) ed il valore finale della rendita r; 2. il valore della rata della rendita s ed il valore della rendita al tempo t = 25 semestri; 3. il valore della differenza delle rendite al tempo t = 25 semestri. Esercizio 3. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: o un contratto a pronti x che garantisce 25 in t 1 ad un prezzo P x = 24.4 ; o un contratto a pronti y che garantisce 40 in t 2 ad un prezzo P y = 38.4 ; o un contratto a termine z che garantisce 204 in t 3 ad un prezzo, pattuito in t 0 ma pagabile in t 1, P z = 196.4, ove t ={t 1, t 2, t 3 } = {6, 12, 18} mesi. 1. determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine per periodi consecutivi, indicandoli in forma percentuale e su base annua. Si consideri, inoltre, una operazione finanziaria q/t = {20, 20, 1.120}/{t 1, t 2, t 3 }: 2. calcolare il prezzo di mercato V e in t 0 del titolo q/t e scegliere, tra i seguenti tassi, il Tir dell operazione { V e, 20, 20, 1.120}/{t 0, t 1, t 2, t 3 }:

4 a. 3.44% b. 4.24% c. 2.84% 3. utilizzando i titoli obbligazionari presenti sul mercato, costruire il portafoglio che replica il flusso del titolo q/t. Esercizio 4. Si consideri un mercato obbligazionario in cui siano presenti tre titoli obbligazionari x, y e z, i cui valori attuali e duration, calcolati rispetto alla struttura dei tassi in vigore sul mercato, siano: W(0, x) = 200, D(0, x) = 1 anno, W(0, y) = 160, D(0, y) = 2 anni, W(0, z) = 170, D(0, z) = 1.5 anni. Si supponga di detenere un portafoglio costituito da α y = 2 quote del titolo y. Determinare quante quote α x del titolo x e quante quote α z del titolo z bisogna aggiungergli, affinché il portafoglio risultante abbia valore attuale 800 e duration 1.5 anni. ESAME 08 Giugno 2011 Esercizio 1. Si consideri una operazione finanziaria che ha valore x 0 = in t 0 = 0 e restituisce x 1 = all istante t. Supponendo che l operazione in esame sia soggetta ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i = 4.3%, calcolare t. Relativamente al periodo [0, t], determinare: 1. il tasso di interesse ed il tasso di sconto; 2. l intensità di interesse su base annua. Sotto un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare: 3. il tasso quadrimestrale di interesse; 4. l intensità istantanea di interesse su base bimestrale. Esercizio 2. Sia dato un debito S = , rimborsabile in 16 anni a rata costante posticipata mensile secondo un tasso annuo i = 3.2%. Calcolare: 1. l importo della rata R; 2. il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate; 3. l ultima quota capitale e l ultima quota interessi. Qualora l azienda non fosse in grado di pagare una rata superiore a X = euro, calcolare: il numero minimo di rate semestrali necessarie ad ammortizzare il debito contratto. Esercizio 3. Consideriamo i titoli x 1 /t: {-200, 8.4, 8.4, 8.4, 208.4}/{0, 0.5, 1, 1.5, 2}; x 2 /t: {-721, 82, 821}/{0, 2, 4}, ove gli scadenzari sono in anni. Determinare: 1. il tasso interno di rendimento delle operazioni finanziarie descritte; 2. il prezzo P 2 di x 2 / t 2 in modo tale che il suo TIR risulti uguale a i 1 *. Assegnata la struttura dei tassi a pronti i(0,0.5) = 2.48%, i(0,1) = 2.69%, i(0,1.5) = 2.93% e i(0, 2) = 3.21%, calcolare

5 3. il valore di equilibrio del titolo x 1 / t 1. Esercizio 4. Siano V(0, x 1 ) = euro, V(0, x 2 ) = euro, V(0, x 3 ) = euro i prezzi di mercato al tempo t=0 di tre ZCB con valore di rimborso x 1 = 140 euro, x 2 = 185 euro, x 3 = 200 euro esigibili ai tempi t 1 = 90 giorni, t 2 = 180 giorni e t 3 = 360 giorni: 1. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine implicata dalla struttura dei prezzi assegnata, con i tassi in forma percentuale e su base annua, assumendo durata commerciale dell anno 360 giorni; Consideriamo un flusso y = {x 1, x 2, x 3 } di scadenze {t 1, t 2, t 3 } con prezzo di mercato P = euro: 2. costruire una strategia che ci permetta di costruire un arbitraggio tale che sia garantito un guadagno non rischioso G nel tempo t = 0, avendo chiuso in pareggio le altre posizioni e determinare il guadagno G. Si consideri poi il portafoglio formato da h = 2 quote del titolo y/t:{ x 1, x 2, x 3 }/{t 1, t 2, t 3 }, e da k = 1 quote del titolo z/t: {100,150,200}/{ t 1, t 2, t 3 }: 3. calcolare la duration del portafoglio q appena descritto. ESAME- 13 luglio 2011 Esercizio 1.Si consideri un operazione finanziaria che ha valore x 0 = 100 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = 110 all istante t 1. 1.Supponendo che l operazione in esame sia soggetta ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i = 0.045, calcolare t 1. Relativamente al periodo [0, t 1 ], determinare: 2. il tasso di interesse e di sconto 3. l intensità di sconto; Sotto un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare: 4. l intensità istantanea di interesse su base annua e su base mensile; 5. il tasso trimestrale di interesse. Esercizio 2. Un privato decide di acquistare un automobile nuova a Euro. A tale fine richiede un finanziamento per il 50% dell importo da rimborsare in 5 anni con rata mensile posticipata di tipo italiano (quota capitale costante) con tasso annuo del 7.8% che potrà essere eventualmente rivisto dopo 3 anni. 2. compilare il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate. Dopo 3 anni la finanziaria propone al cliente l eventuale revisione del mutuo: il nuovo piano di rimborso prevede rate mensili costanti di 288 Euro, lasciando invariata la scadenza: 3. quale, tra i seguenti, è (approssimativamente) il tasso interno di costo (annuale) del II finanziamento? 14.90% 7.20% 4. Dire (motivando la risposta) se lo scambio proposto dalla banca sia conveniente o meno per il soggetto finanziato. Esercizio 3. In un mercato obbligazionario si consideri un Bullet Bond a scadenza t = 4 anni, cedola semestrale, valore nominale C = 100 euro e tasso nominale annuo TAN = 6.50%. Determinare:

6 1. il prezzo del Bullet Bond affinché abbia tasso interno di rendimento i* = 8%. Si supponga ora che il Bullet Bond sia quotato alla pari 2. determinare il tasso interno di rendimento del Bullet Bond ( su base annua): 3. supponendo di voler spostare la data di esigibilità dell ultima posta del Bullet Bond di t anni, calcolare il tempo t in modo che l operazione finanziaria con il nuovo scadenzario abbia un tasso interno di rendimento i = 6%. Esercizio 4. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: o un contratto a pronti x che garantisce 50 in t 1 ad un prezzo P x = 48.8 ; o un contratto a pronti y che garantisce 40 in t 2 ad un prezzo P y = 38.4 ; o un contratto a termine z che garantisce 102 in t 3 ad un prezzo, pattuito in t 0 ma pagabile in t 1, P z = 98.2, ove t ={t 1, t 2, t 3 } = {1, 2, 3} semestri. 2. determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine per periodi consecutivi, indicandoli in forma percentuale e su base annua. Si consideri, inoltre, una operazione finanziaria q/t = {10, 10, 560}/{t 1, t 2, t 3 }: 3. calcolare il prezzo di non arbitraggio (prezzo di mercato) in t 0 del titolo q/t. 4. Calcolare la duration di primo e di secondo ordine del titolo q/t. 5. Determinare la quota α da investire nel titolo x che bisogna aggiungere ad una quota β=2 del titolo y affinché il portafoglio αx+βy abbia duration uguale al titolo q/t ESAME - 08 Settembre 2011 Esercizio 1. Si consideri un operazione finanziaria che ha valore x 0 = 130 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = 210 in T con tasso di interesse composto semestrale i 2 = 2.2%: 1. calcolare il valore T su base annua. Relativamente al periodo [0, T] anni, determinare: 2. il tasso di sconto e l intensità di sconto su base quadrimestrale. Rispetto alla legge di capitalizzazione composta, calcolare: 3. il tasso di interesse su base annua e su base mensile; 4. l intensità istantanea di interesse su base bimestrale. Esercizio 2. Si consideri una rendita r immediata, di durata 111 semestri e con rata semestrale costante. Tale rendita è posticipata e con rata di 450 euro. Si consideri una legge di valutazione esponenziale, con intensità istantanea δ = anni -1 e, secondo tale legge, determinare: 1. il valore attuale W r = W(0, r) ed il valore finale della rendita r; 2. il valore residuo ed il valore montante al sessantesimo semestre della operazione di acquisto della rendita con prezzo pari a W r. Esercizio 3. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: o un contratto a pronti x che garantisce 60 in t 1 ad un prezzo P x = 56.1 ; o un contratto a pronti y che garantisce 97 in t 2 ad un prezzo P y = 87.4 ; o un contratto a termine z che garantisce 280 in t 3 ad un prezzo, pattuito in t 0 ma pagabile in t 2, P z = 264, ove t ={t 1, t 2, t 3 } = {6, 12, 18} mesi. 1. determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine per periodi consecutivi, indicandoli in forma percentuale e su base annua.

7 Si consideri, inoltre, una operazione finanziaria q/t = {60, 60, 960}/{t 1, t 2, t 3 }: 2. calcolare il tasso interno di rendimento nel caso in cui il titolo abbia prezzo P = 900 ; 3. se il prezzo del titolo q/t fosse P = 942, scegliere tra i seguenti tassi il nuovo Tir: a % b % c % Esercizio 4. Data la struttura dei tassi a pronti su base annua: i(0, 0.5) = 5.71%, i(0, 1) = 5.83%, i(0, 1.5) = 5.91%, i(0, 2) = 6.02% Calcolare: 1. la duration D(0, x) dell operazione finanziaria x/t = {40, 50, 40, 180}/{0.5, 1, 1.5, 2} anni. Indicato con P il portafoglio composto da una quota a = 2 del titolo x e da una quota b di uno ZCB y che paga 100 in t = 0.5 anni, determinare: 2. la quota b in modo che la duration del portafoglio D(0, P) sia uguale a 1.20 anni. ESAME - 08 Novembre 2011 Esercizio 1. Si consideri una operazione finanziaria che ha valore x 0 = 960 in t 0 = 0 e restituisce x 1 = all istante t. Supponendo che l operazione in esame sia soggetta ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i = 8.0%, calcolare t. Relativamente al periodo [0, t], determinare: 1. il tasso di interesse ed l intensità di sconto; 2. l intensità di interesse su base annua. Sotto un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare: 3. il tasso quadrimestrale di interesse; 4. l intensità istantanea di interesse su base trimestrale. Esercizio 2. Sia dato un debito S = , rimborsabile in 12 anni a rata costante posticipata trimestrale secondo un tasso annuo i = 4.1%. Calcolare: 1. l importo della rata R; 2. il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate; 3. il debito residuo dopo 8 anni. Qualora l azienda non fosse in grado di pagare una rata superiore a X = euro, calcolare: il numero minimo di rate semestrali necessarie ad ammortizzare il debito contratto. Esercizio 3. Si consideri il titolo X/t 1 : {-655, 100, 655}/{0, 3, 6} con scadenzario in anni. Determinare: 1. il tasso interno di rendimento delle operazioni finanziarie descritte. Inoltre si consideri il nuovo titolo Y/t 2 : {-655, y 1, 100, y 2, 655}/{0, 1.5, 3, 4.5, 6} con scadenzario in anni. Determinare: 2. le quote y 1 e y 2 di Y/t 2 in modo tale che il suo TIR risulti uguale a 6% e la somma (algebrica) delle due quote sia pari a 250.

8 Assegnata la struttura dei tassi a pronti i(0, 1.5) = 4.68%, i(0, 3) = 4.92%, i(0, 4.5) = 5.16% e i(0, 6) = 5.34%, calcolare 3. il valore di equilibrio del titolo Y/t 2. Esercizio 4. Siano P x = euro, P y = euro, P z = euro i prezzi di mercato al tempo t = 0 di tre ZCB con valore di rimborso x = 180 euro, y = 240 euro, z = 300 euro esigibili ai tempi t 1 = 90 giorni, t 2 = 270 giorni e t 3 = 450 giorni: 1. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine implicata dalla struttura dei prezzi assegnata, con i tassi in forma percentuale e su base annua, assumendo durata commerciale dell anno 360 giorni; Consideriamo un flusso Q = {x, y} di scadenze {t 1, t 2 } con prezzo di mercato P = euro: 2. costruire e descrivere una strategia che ci permetta di costruire un arbitraggio che garantisca un guadagno non rischioso G in t = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni. Si consideri poi il portafoglio formato da α 1 = 1 quota del titolo Q e α 2 = 2 quote dello Zero Coupon Bond z: 3. calcolare la duration del portafoglio appena descritto.