1. Un capitale C = euro viene investito in t = 0 per 3 anni in capitalizzazione composta ai seguenti tassi:

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1 1. Un capitale C = euro viene investito in t = 0 per 3 anni in capitalizzazione composta ai seguenti tassi: primo anno: tasso d interesse annuo del 6%; secondo anno: tasso d interesse annuo nominale convertibile semestralmente del 2%; terzo anno: tasso effettivo semestrale del 4%. Calcolare il montante finale M, in t = 3, e il tasso annuo di rendimento effettivo dell investimento sull arco del triennio (cioè il tasso annuo al quale capitalizzare C, sull arco di tre anni, per ottenere M). [9 punti] Indichiamo rispettivamente con i, i, i i tre tassi annui effettivi. Montante M 1 relativo al primo anno di impiego: i = 0,06 M 1 = 15000(1 + 0,06) = Per calcolare il montante M 2 relativo ai primi due anni ci serve il tasso annuo i per l impiego di M 1 da t = 1 a t = 2: Quindi i = (1 + 0,02 2 )2 1 = 0,0201 M 2 = M 1 (1 + i ) = ,0201 = 16219,59 Per calcolare il montante finale M ci serve il tasso annuo i per l impiego di M 2 da t = 2 a t = 3: Quindi i = (1 + 0,04) 2 1 = 0,0816 M = M 2 (1 + i ) = 16219,59 1,0816 = 17543,11 Calcoliamo il rendimento annuo effettivo i dell investimento: M = 17543,11 = 15000(1 + i) 3 i = ( 17543, ) = 0,05359 = 5,359%

2 Nota: un modo più elegante di procedere è il seguente: M = 15000(1 + i )(1 + i )(1 + i ) = 17543,11 e per calcolare il tasso i (1 + i) 3 = (1 + i )(1 + i )(1 + i ) da cui segue i = [(1 + i )(1 + i )(1 + i )] = 0, Un azienda ha un credito di S = euro esigibile tra 6 mesi (da oggi). Può cedere tale credito ad una banca contro l immediata riscossione del suo valore attuale a sconto commerciale pari al 7% annuo. Determinare l interesse annuo composto i al di sopra del quale l azienda dovrebbe immediatamente investire la somma incassata affinché l operazione, a 6 mesi, sia conveniente. [9 punti] Il risultato in realtà non dipende dall importo S. Sapete dimostrarlo? [2 punti] Primo passo: si trova il valore attuale del credito S esigibile tra 6 mesi=0,5 anni, applicando la formula dello sconto commerciale. t = 0,5 (anni) d = 0,07 A = S(1 dt) A = 50000(1 0,07 0,5) = Secondo passo: si trova il tasso i che uguaglia il montante di euro, in t = 0,5, alla somma S (quindi si scrive un equazione). M = C(1 + i) t = 48250(1 + i) 0,5 (1 + i) 0,5 = i = ( ) 0, i = ( ) 1 0,5 1 = 0,07385 = 7,385%

3 Conclusione: affinché l operazione sia conveniente, l azienda deve investire ad un tasso superiore al 7,385%. Osservazione: il risultato non dipende da S perché nell equazione S = S(1 dt)(1 + i) t S si semplifica. Infatti i = ( 1 1 dt ) 1 t In un mercato perfetto sono scambiati tre ZCB con scadenza rispettivamente 1, 2, 3 anni, valore nominale a scadenza pari a 100 e prezzi in t = 0 (oggi) rispettivamente di 95, 89, 82. (a) Determinare il tasso di mercato di un impiego senza rischio che ha inizio tra 2 anni e scadenza dopo un anno (tasso forward o tasso futuro). (b) Qual è il prezzo P, tra 2 anni da oggi (cioè in t = 2), di un ZCB di valore nominale 100 e scadenza tra tre anni (cioè in t = 3)? [9 punti] Il tasso di mercato cercato è il tasso annuo forward h 0 (2, 3). Per calcolarlo ci servono solo due tassi annui spot e precisamente h 0 (2) e h 0 (3) che potremo determinare perché conosciamo in t = 0 il corso di due ZCB, uno a scadenza 2 anni e l altro a 3 anni. La conoscenza del prezzo dell altro ZCB, quello a scadenza un anno, ai nostri fini, non serve (quindi non faremo conti inutili). (a) Da 89 = ricaviamo Da 100 (1+h 0 (2)) 2 h 0 (2) = ( ) = 0,06 = 6% 82 = ricaviamo E infine da 100 (1+h 0 (3)) 3 h 0 (3) = ( ) = 0,06839 = 6,839%

4 (1 + h 0 (3)) 3 = (1 + h 0 (2)) 2 (1 + h 0 (2, 3)) (*) ricaviamo il tasso forward h 0 (2, 3) = (1+h0 (3)) 3 (1+h 0 (2)) 2 1 = 0,08537 = 8,537% L ipotesi di mercato perfetto è necessaria affinché l equazione (*) sia valida; tale equazione ha un significato finanziario ben preciso (vedi lezione 23) ma qui è comunque sufficiente applicare la formula per un tasso forward (senza scrivere l equazione). L importante è che lo studente abbia capito che siamo in presenza di una situazione in cui i tassi cambiano nell arco dei tre anni. (b) Il prezzo P in t = 2 di uno ZCB con scadenza in t = 3 è P = h 0 (2, 3) = 100 1,08537 = 92,13 Qui lo studente deve aver capito che stiamo valutando oggi (t = 0) il prezzo futuro (in t = 2) di uno ZCB che scade in t = 3; ecco perché ci serve un tasso futuro (tasso forward) e precisamente il tasso h 0 (2, 3). Domande 1. Qual è il montante di 1 euro, in cc, a un mese da oggi al tasso i? (a) M = (1 + i) 1 12 (b) M = (1 + i 12 ) (c) M = (1 + i) 1 [1 punto] [ a] 2. Considera il seguente flusso di cassa t (migliaia di euro) Qual è l espressione del suo REA? (a) G(i) = (1 + i) + 20(1 + i) (1 + i) 3 (b) G(i) = i + 20 (1+i) (1+i) 3 (c) La funzione G(i) non è definita perché il primo importo è negativo. [1 punto] [ b]

5 3. Se conosco il tasso nominale j 12, qual è il tasso annuo effettivo? (a) i = 12 j 12 (b) i = (1 + j 12 ) 12 1 (c) i = (1 + j )12 1 [1 punto] [ c] 4. Indica un regime di capitalizzazione scindibile e uno non scindibile. [1 punto] [Ad es. il regime della capitalizzazione composta è scindibile, quello della capitalizzazione semplice non lo è] 5. Nella teoria del portafoglio di Markowitz il rendimento di un titolo rischioso è considerato una variabile aleatoria; due titoli rischiosi sono definiti efficienti se: (a) Hanno lo stesso rendimento atteso ma uno dei due ha la varianza del rendimento minore dell altro. (b) Hanno entrambi rendimento atteso positivo. (c) Il titolo che ha rendimento atteso maggiore ha anche una maggiore varianza del rendimento. [1 punto] [ c] 6. A parità di tasso d interesse e sull arco temporale di 6 mesi, quale delle seguenti alternative è vera: (a) è indifferente investire in cc o in cs (b) è più conveniente investire nel regime della capitalizzazione semplice (c) è più conveniente investire nel regime della capitalizzazione composta [1 punto] [ b]