(Come noto, il risultato finale dell importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo più prossimo)

Transcript

1 MATEMATICA FINANZIARIA (9 CFU) (A - K) Pavia / 1/011 COGNOME e NOME: n. di matricola: (Come noto, il risultato finale dell importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo più prossimo) Questioni di teoria T.1) Caratterizzato il concetto di regime di capitalizzazione con le relative proprietà, scrivere la de nizione di scindibilità di un regime di capitalizzazione. T.) Precisato il concetto di rendita frazionata, dimostrare come si perviene al suo valore attuale sulla base del fattore di correzione illustrandone il signi cato nanziario. T.3) Descrivere l operazione nanziaria di ammortamento di un prestito; precisare le condizioni di chiusura del prestito e il loro signi cato nanziario; caratterizzare la relazione che de nisce il debito residuo e scrivere come ad essa si perviene. T.4) Caratterizzare la struttura matematica della scelta fra progetti economico nanziari. T.5) De nire i criteri REF e TRM. T.6) Illustrare l algebra dei progetti. Esercizio n. 1 In relazione ai seguenti crediti: e 36:000; 00; fra anni, e 45:000; 00; fra anni e 6 mesi, e 54:000; 00; fra 4 anni, operando in capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso del 5% annuo, calcolare quanto segue: 1.a1) la scadenza media aritmetica t A ; 1.a) la scadenza media nanziaria t F. (Esprimere le scadenze in anni, mesi e giorni; anno commerciale). Sapendo che la somma C, complessivamente riscossa dal creditore, alla scadenza media nanziaria t F, viene versata presso un istituto di credito che e ettua le valutazioni al tasso del 3% annuo, calcolare il montante, dopo 5 anni e 6 mesi, nei seguenti casi: 1.b1) è adottato il regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale; 1.b) è adottato il regime di capitalizzazione composta, convenzione lineare; 1.b3) è adottato il regime di capitalizzazione semplice. Esercizio n. Oggi si è prestata la somma di e :000; 00; al tasso dell 8% annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, concordando il rimborso con rate, annue, la prima delle quali tra 1 anno, e di importo R; le prime 5; mentre le successive sono di importo R..a) Calcolare l importo R delle rate. Si consideri poi noto quanto segue: alla ne del terzo anno, appena pagata la terza rata, il debitore decide di non pagare le successive tre rate e poi di riprendere l ammortamento con nuovi versamenti semestrali, di importo R; concludendo il rimborso nel tempo pattuito; alla stessa epoca, il creditore concede la sospensione temporanea dei pagamenti ma pattuisce l aumento del tasso di 1 punto e mezzo percentuale, no alla ne del rimborso..b) Calcolare l importo R delle nuove rate. 1

2 Esercizio n. 3 Una società ha emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: - durata 6 anni, con estrazione a sorte delle obbligazioni, alla ne di ogni anno, in numero di 0:000, per i primi 3 anni, e :000, per gli anni successivi; - cedola annua posticipata, valutata al tasso del 4% annuo, con ritenuta scale del 1; %; - valore nominale, vn; di ogni obbligazione, con vn = e 0; 00 e rimborso alla pari. In relazione a una obbligazione vivente appena e ettuata la seconda estrazione, calcolare: 3.a) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile (da esprimere in anni, mesi e giorni con riferimento all anno commerciale); 3.b) la nuda proprietà NP, l usufrutto U e il valore V dell obbligazione e ettuando le valutazioni al tasso annuo composto del 5%. Esercizio n. 4 Il 5=5=007 si sono acquistati BT P alle seguenti condizioni: - corso secco di 0; 0 e valore nominale, v:n:; pari a e 5:000; 00; - rimborso alla pari all 1=11=0 e cedole all 1=5 e all 1=11 di ogni anno, al tasso del 3; % annuo, nominale convertibile semestralmente; - ritenuta scale sulle cedole pari al 1; % e commissione bancaria 0; 30% sul v:n:; - spese sse pari a e 5; 00: 4.a) Calcolare il costo d acquisto C a dei BT P e la spesa C s complessivamente sostenuta per tale acquisto. Nell ipotesi che le cedole, man mano esigibili, siano accreditate direttamente su un conto corrente bancario, al tasso del % annuo, nominale convertibile semestralmente, così come l importo rimborsato a scadenza, calcolare quanto segue: 4.b1) l importo, C n ; della cedola netta; 4.b) la somma S complessivamente disponibile su quel conto corrente, alla scadenza dei titoli; 4.b3) il tasso annuo, composto, convenzione esponenziale, dell investimento così realizzato. (NB: considera l anno commerciale con tutti i mesi di 30 giorni). Esercizio n. 5 In riferimento ai seguenti progetti nanziari A e B: anni 0 1 A: capitali in e 6:000; 00 +3:400; 00 +4:0; 00 B: capitali in e 6:000; 00 4:600; 00 +:000; 00 5.a) studiare analiticamente e rappresentare gra camente la funzione REA A (i) del progetto A; al variare del tasso i annuo, composto, con i > 1; 5.b) precisare, sulla base del gra co della funzione REA A (i); per quali valori di i il progetto A è economicamente conveniente e per quali valori di i non è economicamente conveniente; 5.c) caratterizzare, e rappresentare sull asse dei tempi, il progetto C = 3A 1 B; 5.d) precisare motivatamente, senza fare calcoli, se l ordinamento di preferibilità tra due progetti nanziari, stabilito sulla base del criterio REA; cambia nel caso si utilizzi il criterio del montante REF ; 5.e) senza fare calcoli, individuare motivatamente se i due progetti A e B ammettono T IR e, in caso a ermativo, precisatone il segno, stabilire, su tale base, l ordinamento di preferibilità tra A e B; 5.f) dopo aver tracciato in uno stesso sistema di assi cartesiani i gra ci del REA(i); con 0 i T IR A ; dei progetti A e B; determinare, su tale base, l ordinamento di preferibilità tra i due progetti A e B; in tale intervallo.

3 MATEMATICA FINANZIARIA (9 CFU) (Corso A - K) / 1/011 RISOLUZIONE Risoluzione esercizio n. 1 1.a1) la scadenza media aritmetica t M : t M = 36:000; :000; 00 ; :000; :000; :000; :000; 00 = ; 96 anni = anni, 11 mesi e 18 giorni. = 1.a) La scadenza media nanziaria t F dei crediti: 135:000; 00 1; 05 t F = 36:000; 00 1; :000; 00 1; 05 ;5 + 54:000; 00 1; ; 05 t F = 1; ! t F = ; anni ' anni, 11 mesi e 11 giorni; all epoca t F è esigibile la somma C; con C = 45:000; 00; 1.b1) il montante M cc=ce in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale: M cc=ce = 135:000; 00 1; 03 5;5 = 158:83; 188 ' 158:83; 18; 1.b) il montante M cc=cl in regime di capitalizzazione composta, convenzione lineare: M cc=cl = 135:000; 00 1; ; 03 1 = 158:849; 53; 1.b3) il montante M cs in regime di capitalizzazione semplice: M cs = 135:000; ; = 157:75; 00: Risoluzione esercizio n..a) :000; 00 = R a 5e0;08 + a 5e0;08 1; 08 5 = R (3; ; )! R = :000; 00 9; = 5:303; = 5:303; 66;.b) D 3 = 5:303; 66 a e0;08 + a 5e0;08 1; 08 = 5:303; 66 (1; ; ) = = 5:303; 66 8; = 45:767; ' 45:767; 80 ; i = 9; %! i = 0; 0464! 45:767; 80 = Ra 8e0;0464 1; 095 3! R = 45:767; 80 6: ; = 9:16; = 9:16; 39 : 3

4 Risoluzione esercizio n. 3 Noto il numero N estr delle obbligazioni estratte, ogni anno, la funzione di sopravvivenza l x assume i seguenti valori: N estr 0:000 0:000 0:000 :000 :000 :000 l x 90:000 70:000 :000 30:000 0:000 :000 0 anni >< a) Variabile casuale vita residua A : A = 1q 1=1 q =1 q 3=1 q vita media residua e : e = = ; anni = anni, mesi e 1 giorni; vita mediana residua (vita probabile): l + 1l! l + 1:000! = anni; 3.b) la nuda proprietà NP è ottenuta come segue: NP = 0 1; q + 1; 05 1=1 q + 1; 05 3 =1 q + 1; =1 q = = 0 1; ; ; ; 05 4 = 89; ' 89; 97 ; l importo C n della cedola netta: C n = 0 0; 04 (1 0; 15) = 3; ; l usufrutto U è ottenuto come segue: U = 3; (1; ; 05 1 p + 1; 05 3 p + 1; p ) = 7; ' 7; 0 ; il valore V dell obbligazione: V = NP + U = 89; ; 0 = 96; 99 : Risoluzione esercizio n. 4 4.a) Il corso tel quel, tq; può essere ottenuto come segue: j = 3; %! i = 1; 75% semestrale lordo! i netto = 0; 0175 (1 0; 15) = 0; ; tq = 0; 0 + 0; 00 0; = 0; ; 180 0; il costo d acquisto C a : C a = 5:000; 00 = 5:00; ' 5:00; 63; 0 la spesa complessiva C s : C s = 5:00; :000; 00 0; ; 00 = 5:040; 63; 4.b1) l importo, C n ; della cedola netta può essere ottenuto come segue: C n = 5:000; 00 0; = 76; 565 ' 76; 56; 4.b) la somma S complessivamente disponibile: con J = %! i = 1% semestrale, si ottiene: S = 5:000; ; 56 s 7e0;01 = 4.b3) il tasso i; annuo, di investimento: >: = 5:000; ; 56 7; = 5:55; 6856 ' 5:55; 7 ; 5:040; 63 (1 + i) = 5:55; 7! i = 0; ' ; 86% annuo composto. 0 4

5 Risoluzione esercizio n. 5 5.a) REA A (i) = 6:000; :400; 00v + 4:0; 00v REA A (0) = +1:900; 00 ; REA A (i) = 0! 45v + 34v 60 = 0! v = 0; ! T IR A ' 19; 45% annuo; i! 1 +REA A(i) = +1 ; REA A(i) = 6:000; 00 ; REA 0 A (i) = 3:400; 00 v 4:0; 00 v 3 < 0 con i > 1; REA 00 A (i) = + 3:400; 00 v :0; 00 v 4 > 0 con i > 1; 5.b) 1 < i < 19; 45%! A è economicamente conveniente i = 19; 45%! REA A (19; 45%) = 0 i > 19; 45%! A non è economicamente conveniente; 5.c) il progetto C = 3A 1 B può essere rappresentato come segue: anni 0 1 C: capitali in euro 15:000; 00 +1:0; 00 +8:0; 00 5.d) l ordinamento di preferibilità tra due progetti nanziari, stabilito sulla base del REA a un tasso i composto, non viene modi cato nel caso si utilizzi il criterio del montante REF, allo stesso tasso i composto, in quanto il regime di capitalizzazione composta è scindibile; 5.e) entrambi i progetti A e B ammettono un unico T IR in quanto essi presentano poste con una sola inversione di segno; per quanto riguarda il segno del T IR A e T IR B si osserva quanto segue: i! 1 +REA A(i) = +1 ; REA A(i) = 6:000; 00 ; REA A (0) = +1:900; 00 ; i! 1 +REA B(i) = +1 REA B(i) = 6:000; 00 ; REA B (0) = 600; 00 ; entrambe le funzioni REA(i) sono decrescenti; a seguito di quanto sopra si ha: T IR A > 0 e T IR B < 0 e, quindi, il progetto A; sulla base del criterio T IR; è preferito a quello B; cioè A (>) B; 5.f) REA A (i) REA B (i)! 6:000; :400; 00v + 4:0; 00v 6:000; 00 4:600; 00v + :000; 00v 55v 80v 0! 0 < v 80 55! u 55 80! i 0; i T IR A! REA A (i) > REA B (i)! A (>) B: 5