MATEMATICA FINANZIARIA (9 CFU) (A - K) Pavia 11/ 1/2010 COGNOME e NOME:... n. di matricola:...

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1 MATEMATICA FINANZIARIA (9 CFU) (A - K) Pavia / /00 COGNOME e NOME: n. di matricola: (Come noto, il risultato finale dell'importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo piu prossimo) Questioni di teoria T.) Studiare analiticamente, e rappresentare gracamente, la funzione M = C( + i) t ; con i 0 e t 0; rispetto alla variabile t: T.) Evidenziare gli elementi che rendono la funzione M = C( + i) t idonea a rappresentare un regime di capitalizzazione e dimostrare la scindibilita di tale regime. T.3) Scritta la denizione di rendita e il signicato nanziario del simbolo s nei, dimostrare come ad esso si perviene. T.4) Caratterizzare la struttura matematica del processo decisionale. T.5) Precisare il concetto di \operazione nanziaria integrativa". Esercizio n. Cinque anni fa, un capitale di e 300:000; 00 e stato investito presso un ente che eettuava le valutazioni al tasso del 6% annuo, nominale, convertibile trimestralmente..a) Calcolare l'ammontare del fondo F (0) oggi :.b) Sapendo che da oggi il tasso sara del 3% semestrale composto e che, per i prossimi 6 anni, saranno eettuati prelievi che costituiscono una rendita immediata, posticipata, a rate semestrali, ciascuna di importo pari a e 35:000; 00; per i primi 4 anni, e di importo pari a e 0:000; 00; per i succesivi anni, calcolare l'ammontare del fondo residuo F (0) fra 0 anni..c) Nell'ipotesi che il capitale F (0); arrotondato all'intero piu prossimo, sia prestato al tasso dell'8% annuo composto, concordando il rimborso a quote capitale costanti, con 3 rate pagabili, rispettivamente, dopo anno, 3 anni e 5 anni, redigere motivatamente il piano d'ammortamento. Esercizio n. In data = =008 si e sottoscritto un titolo con le seguenti caratteristiche: il valore nominale, vn; e pari a e 60:000; 00; il prezzo di emissione e 98; 00 su 00 di vn; le spese di sottoscrizione sono pari al 3 0 = 00 del vn; le cedole, semestrali, sono valutate al tasso del 6% annuo, nominale, convertibile semestralmente, e sono soggette alla ritenuta scale del ; 50%. Alla ne di agosto 009, il titolo e stato venduto al corso secco di 99; 70 su 00 di vn; aumentato del rateo di interesse gia maturato, sostenendo spese del 3 0 = 00 del vn: In riferimento all'anno commerciale, calcolare quanto segue:.a) la spesa A complessivamente sostenuta per l'acquisto del titolo;.b) gli importi C l e C n ; rispettivamente, di ogni cedola lorda e netta;.c) il capitale V incassato alla vendita del titolo. Sapendo che le cedole, di volta in volta incassate, sono state subito investite, al tasso del 5%; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, calcolare:.d) la somma S f complessivamente disponibile alla vendita del titolo;.e) il tasso x; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al quale si e investito il denaro (tasso eettivo di impiego).

2 Esercizio n. 3 Una societa ha emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: rimborso in 6 anni con estrazione a sorte delle obbligazioni, alla ne di ognuno dei successivi anni, rispettivamente, in numero di 4:000; 4:000; 4:000; 3:000; :000; :000; cedola annua, posticipata, valutata al tasso del 4% annuo con ritenuta scale del ; 50%; valore nominale (vn) di ogni obbligazione pari ad e 00; 00; prezzo di emissione pari ad e 98; 50 e rimborso alla pari. In relazione ad una obbligazione vivente appena eettuata la seconda estrazione, calcolare quanto segue: 3.a) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile; 3.b) la nuda proprieta, l'usufrutto ed il valore dell'obbligazione eettuando le valutazioni al tasso annuo composto del 6%. 3.c) la perdita di emissione P e ; 3.d) la 3 quota capitale C 3, la 3 quota interesse I 3 e la 3 rata R 3. Esercizio n. 4 Considerati i seguenti progetti nanziari A e B: 0 anno 3; 5 anni 5 anni A: capitali in e 00:000; 00 +5:000; :000; :000; 00 B: capitali in e 00:000; 00 0:000; :000; :000; 00 4.a) determinare l'ordinamento di preferibilita tra A e B in base al criterio del REA eettuando le valutazioni al tasso annuo del 6%; nominale convertibile semestralmente; 4.b) caratterizzato, e rappresentato sull'asse dei tempi, il progetto C = 3A B; calcolarne il REA, al tasso annuo del 6%; nominale convertibile semestralmente, utilizzando le proprieta del criterio. In relazione al progetto A : 4.c) scrivere l'espressione che permette di determinare il tasso interno di rendimento, x annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale; 4.d) senza calcolarlo, individuare motivatamente il segno del tasso x; 4.e) studiare analiticamente e rappresentare gracamente la funzione REA A (i); al variare del tasso i; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, con i > : Evidenziare il tasso x sul graco REA A (i): Esercizio n. 5 Considerati i progetti nanziari A e B; con K > 0: anni A: 30:000 +8:000 4:000 +0: :000 B: 30:000 0: K 5.a) individuare il progetto ottimo tra A e B al variare di K; in base al criterio del T RM eettuando le valutazioni ai tassi annui, composti, del 0%; per i saldi negativi, e del 3%; per quelli positivi; 5.b) individuare il progetto ottimo tra A e B al variare di K; in base al criterio del rendimento economico nale a tassi, REF (3%; 0%), eettuando le valutazioni ai tassi annui, composti, del 0%; per le poste negative, e del 3%; per quelle positive; 5.c) con valutazioni al tasso del 5% annuo composto, calcolato il rendimento economico nale a tasso, REF A (5%); del progetto A; calcolare il REA A (5%) del progetto A applicando la relazione che lega tra loro tali indici.

3 MATEMATICA FINANZIARIA (9 CFU) (Corso A - K) / /00 RISOLUZIONE Risoluzione esercizio n. I 4 = 6% annuo! i 4 = 6% 4 = ; 5% trimestrale composto;.a) F (0) = 300:000 ; 05 0 = 404:056; 50 ' 404:056; 50;.b) F (0) = 404:056; 50 ; :000 s 8e0;03 ; 03 0:000 s 4e0;03,03 8 = = 79:770; :74; 075 5:996; 9355 = = 33:03; 9765 ' 33:03; 98.c) Importo del prestito: S = 33:03; 00! C k = S 33:03; 00 = ' 77:677; t = anno: I = 33:03; 00 0; 08 = 8:64; 56! R = I + C = 96:39; 89! D = S C = 55:354; 67 E = C = 77:677; 33; t = 3 anni: I = 55:354; 67(; 08 ) ' 5:85; 0! R = I + C = 03:58; 35! D = D C ' 77:677; 33 E = E + C = 55:354; 67; t 3 = 5 anni: I 3 = 77:677; 33(; 08 ) ' :95; 5! R 3 = I 3 + C 3 = 90:60; 84! D 3 = 0; 00 E 3 = 33:03; 00 il piano di ammortamento risulta k t k R k C k I k D k E k 0 0 0; 00 0; 00 0; 00 33:03; 00 0; 00 96:39; 89 77:677; 33 8:64; 56 55:354; 67 77:677; :58; 35 77:677; 33 5:85; 0 77:677; 33 55:354; :60; 84 77:677; 33 :95; 5 0; 00 33:03; 00 Risoluzione esercizio n..a) La spesa A complessivamente sostenuta per l'acquisto del titolo: A = 0; 98 60:000; ; :000; 00 = 58:980; 00;.b) calcolato il tasso semestrale i = 0;06 = 0; 03; si ha C l = 0; 03 60:000; 00 = :800; 00; calcolato il tasso netto semestrale i n ; con i n = 0; 03 ( 0; 5) = 0; 065; si ha la cedola netta C n : C n = 0; :000; 00 = :575; 00;.c) il capitale V incassato alla vendita del titolo: V = 0; :000; :000; 00 0; ; :000; 00 = ; :000; 00 = 60:65; 00;.d) calcolato il tasso semestrale i = p ; 05 = 0; ' ; 47%; si ottiene la somma S f : S f = :575; 00s 3e0;047 ; :65; 00 = 65:047; 586 ' 65:047; ;.e) il tasso x; annuo, al quale si e investito il denaro: 58:980; 00 ( + x) + 8 = 65:047;! ( + x) 5 3 = ; ! x = 0; ' 6; 05% annuo. 3

4 Risoluzione esercizio n. 3 8 < a) Variabile casuale vita residua: A = q = q = q 3= q : 4 0 vita media residua: e = = 0 0 = anni; vita mediana residua (vita probabile): l + l! l + 0:000! = anni; 3.b) nuda proprieta: NP (6%) = 00 ; 06 q + ; 06 =q + ; 06 3 =q + ; =q = 3 0 = 89; ' 89; 0 ; cedola annua netta = 00 0; 04( 0; 5) = 3; 50 ; usufrutto: U(6%) = 3; 50(; 06 + ; 06 p + ; 06 3 p + ; p ) = = 3; 50(; 06 + ; ; 06 + ; 06 ) = 6; 397::: ' 6; 33 ; valore dell'obbligazione = V (6%) = NP (6%) + U(6%) = 89; 0 + 6; 33 = 95; 43 : 3.c) P e = (00 99; 50) 8:000 = 7:000; 3.d) C 3 = 4: = 400:000; I 3 = D 0; 04 = (0:000 00) 0; 04 = 40:000; R 3 = C 3 + I 3 = 440:000: 0 0 Risoluzione esercizio n. 4 4.a) L'ordinamento di preferibilita tra A e B in base al criterio del REA : con i = j = 3% semestrale composto si ha: REA A (3%) = 00:000; :000; 00 ; :000; 00 ; :000; 00 ; 03 0 = = +76:53; ' +76:53; 54; REA B (3%) = 00:000; 00 0:000; 00 ; :000; 00 ; :000; 00 ; 03 0 = = +95:704; 667 ' +95:704; 6; il REA A (3%) del progetto A e minore del REA B (3%) del progetto B e, quindi, si ha A(<)B; 4.b) il progetto C = 3A B : 0 anno 3; 5 anni 5 anni 3A: 300:000; :000; :000; :000; 00 B: 50:000; 00 0:000; :000; :000; 00 B: 50:000; :000; :000; :000; 00 3A REA(3%) C = 3 REA A (3%) REA B(3%) = +3 76:53; 54 4.c) il tasso interno di rendimento, x annuo, del progetto A : 95:704; 6 = +8:78; 54; REA A (i) = 0! 00:000; 00+5:000; 00( + x) +60:000; 00(+x) 3;5 +40:000; 00(+x) 5 = 0; 4.d) il segno del tasso interno di rendimento x; del progetto A; e positivo in quanto il progetto A e un investimento sulla base della successione dei segni delle poste ( ) e la somma di tali poste e positiva e pari a + e 5:000; 00: 4

5 4.e) il REA A (i) del progetto A ha le seguenti caratteristiche: REA A (i) = 00:000; :000; 00v + 60:000; 00v 3;5 + 40:000; 00v 5 REA A (0) = +5:000; 00 ; REA A (i) = 0! i = x = T IR ; lim i! +REA A(i) = + ; lim REA A(i) = 00:000; 00 ; i!+ REA 0 A (i) = 5:000; 00 v 3; 5 60:000; 00 v 4;5 5 40:000; 00v 6 < 0 con i > ; REA 00 A (i) = + 5:000; 00 v3 + 3; 5 4; 5 60:000; 00 v 5; :000; 00v 7 > 0 con i > : Risoluzione esercizio n. 5 5.a) T RM A : S0 A = 30:000; 00 S A = 30:000; 00 ; + 8:000; 00 = 5:000; 00 S A = 5:000; 00 ; 4:000; 00 = 0:500; 00 S3 A = 0:500; 00 ; + 0:000; 00 = :550; 00 S4 A = :550; 00 ; = :850; 00 S5 A = :850; 00 ; + 5:000; 00 = +:94; 50 = T RM A T RM B : S0 B = 30:000; 00 S B = 30:000; 00 ; 0:000; 00 = 43:000; 00 S5 B = 43:000; 00 ; 4 + K = 6:956; 30 + K = T RM B T RM A T RM B! +:94; 50 6:956; 30 + K! K 64:870; 80 T RM A > T RM B 0 < K < 64:870; 80 A(>)B T RM A = T RM B K = 64:870; 80 A(=)B T RM A < T RM B K > 64:870; 80 A(<)B 5.b) il rendimento economico nale, REF A (3%; 0%); ai due tassi, del progetto A: REF A (3%; 0%) = 30:000 ; 5 + 8:000 ; :000 ; 3 + 0:000 ; :000 = = 7:6; 44 = 7:6; 4; il rendimento economico nale, REF B (3%; 0%); ai due tassi del progetto B: REF B (3%; 0%) = 30:000; 00 ; 5 0:000; 00 ; 4 + K = 6:956; 30 + K; REF A REF B! 7:6; 4 6:956; 30 + K! K +55:794; 6 REF A > REF B 0 < K < +55:794; 6 A(>)B REF A = REF B K = +55:794; 6 A(=)B REF A < REF B K > +55:794; 6 A(<)B: 5.c) il rendimento economico nale, REF A (5%); a tasso, del progetto A: REF A (5%) = 30:000 ; :000 ; :000 ; :000 ; :000 = = 6:00; 6565 = 6:00; 7; il REA(5%) = REF A (5%) ; 05 5 = 4:709; 03 ' 4:709; : 5