Appello regolare Sessione estiva 10 lug (Matematica Finanziaria)
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- Luciano Puglisi
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1 Università Carlo Cattaneo Istituto di Metodi Quantitativi F860 - Matematica per l Economia e la Finanza II a.a. 007/08 Cognome Nome Voto Appello regolare Sessione estiva 0 lug. 008 (Matematica Finanziaria) Istruzioni: Le risposte devono essere scritte unicamente su questi fogli. Compilare la facciata con i propri dati.
2 . Una obbligazione è disponibile sul mercato al prezzo di e 98; 50, per un valore nominale di e 00; 00, con scadenza tra due anni e rimborso alla pari. La cedola è corrisposta annualmente con un tasso j = %. a.(punti) Calcolare la cedola e scrivere l equazione che determina il tasso interno di rendimento dell operazione. b.(punti) Calcolare il tasso interno dell operazione. c.(punti) Nell ipotesi che, dopo l acquisto, si rilevi una struttura per scadenze piatta con i = %, calcolare la duration del titolo.
3 . Un prestito di e :000; 00 è concesso per anni al tasso annuo e ettivo i = 5; 0%. L ammortamento è corrisposto con rate annue posticipate. a.(punti) Calcolare la prima rata nell ipotesi di un ammortamento all Italiana. b.(punti) Calcolare la rata nell ipotesi di un ammortamento alla Francese. c.(punti) Calcolare il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata nell ammortamento alla Francese. d.(punti) Sempre nel caso di ammortamento Francese, supponendo che il tasso contrattuale sia aumentato di 0; 5 punti percentuali (i 0 = 5; 70%) dopo il pagamento della seconda rata, si calcoli l ammontare dell ultimo versamento.
4 . Dati i vettori x = 5 x = 05 x = 5 x = a.(punti) Determinare quanti tra essi sono linearmente indipendenti. b.(punti) Calcolare la distanza tra i vettori x e x. 0 c.(punti) Veri care se B = 5 è la matrice inversa di A = 0 5
5 . Un azienda deve scegliere quante inserzioni pubblicitarie x e x acquistare in due diverse riviste (denominate e ). Ogni inserzione costa, rispettivamente, p = e p =. Il Budget a disposizione per l iniziativa è pari a 7 ed il ritorno della pubblicità è stimato dalla funzione obiettivo F (x ; x ) = 5x + 7x + x x a.(punti) Scrivere il problema di massimizzazione vincolata che deve a rontare l azienda e la corrispondente funzione Lagrangiana. b.(punti) Determinare i valori di ; x ; x che determinano punti stazionari della funzione Lagrangiana. c.(punti) Attraverso la matrice r L (; x ; x ) determinare l eventuale soluzione del problema. 5
6 Soluzioni F860 - Mat. Econ. e Fin. II ( ). (a) La cedola è pari a da cui si ricavano i ussi di cassa L equazione richiesta è dunque c = 00 0; 0 = ; 00e t 0 e 97; 95 +; ; 50 98; x + 0 ( + x) = 0 (b) Il tasso interno dell operazione è la soluzione (maggiore di precedente, ovvero x = ; 79% circa. (c) La Duration del titolo, nelle ipotesi fatte, è ) dell equazione. (a) Poiché la quota di capitale è D = (; 0) + 0 (; 0) (; 0) + 0 (; 0) = ; 97 e la quota di interesse C = 000 = :000; 00e I = 000 0; 05 = 6; 00e La rata risulta essere R = :6; 00e (b) Nel caso di ammortamento alla Francese, si può ricorrere alla formula 5; 0% R = 000 (; 05) = e :; 0 (c) La successione dei debiti residui risulta essere D 0 = e :000 D = 000 (; 05) :; 0 = e 8:00; 97 D = 800; 97 (; 05) :; 0 = e :0; 0: (d) Dopo il pagamento della seconda rata risulta un debito pari ad e :0; 0: Pertanto la successiva (ed ultima) rata, dovrà essere il montante, al nuovo tasso di interesse i 0 del debito residuo. R = :0; 0 ( + 5; 70%) = e :; 05. 6
7 . (a) Il numero di vettori linearmente indipendenti è pari al rango della matrice A = che risulta essere compreso tra e, essendo non singolare la sottomatrice B = Si possono considerare le orlate di tale matrice 0 C = 0 5 C = det C = det C = 6 dalle quali si evince che il rango è e quindi sono i vettori linearmente indipendenti. (b) Ricordando la de nizione di distanza, si ottiene d (x ; x ) = kx x k = 5 = p (c) La matrice A è invertibile se e solo se non è singolare, ovvero quando 0 6= det A = quindi la matrice è invertibile. La matrice inversa di A deve soddisfare la relazione BA = AB = I. Si calcolano quindi i due prodotti, ottenendo il risultato desiderato.. (a) Il problema vincolato è la cui funzione Lagrangiana è max 5x + 7x + x x s.t. x + x = 7 L (; x ; x ) = 5x + 7x + x x + (7 x x ) (b) I punti stazionari della funzione Lagrangiana risolvono il sistema 8 < 7 x x = 0 x + 5 = 0 : x + 7 = 0 La cui unica soluzione è la terna = 5; x 6 = ; x 6 = 0 9. (c) La matrice Hessiana risulta 0 r L (; x ; x ) = costante per ogni scelta di (; x ; x ). Poiché H = det r L 5; ; il punto è di massimo relativo vincolato. = 6 > 0, 7
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