M = C(1 + it) = 1000 (1 + 0, ) = 1070

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1 1. Data l operazione finanziaria di investimento scadenze (mesi) importi M determinare il montante M utilizzando: (a) il tasso annuo d interesse i = 0,12 in capitalizzazione semplice; [3 punti] (b) il tasso d interesse trimestrale i 4 = 0,03 in capitalizzazione composta; [3 punti] (c) il tasso annuo nominale j 12 = 12%. [3 punti] Soluzione (a) Poiché il tasso dato è annuo ma la scadenza è in mesi possiamo procedere in due modi: calcolare il tasso mensile equivalente i 12 = i = 0,01 (siamo in capitalizzazione semplice) oppure utilizzare come unità di misura del tempo t l anno (perciò 7 mesi=7/12 di anno). Utilizzando ad esempio la seconda opzione M = C(1 + it) = 1000 (1 + 0, ) = (b) Qui di nuovo possiamo calcolare il tasso mensile equivalente oppure utilizzare come unità di misura del tempo il trimestre (perciò 7 mesi=2 trimestri + 1/3 di trimestre=7/3 trimestri). Utilizzando ad esempio la seconda opzione M = C(1 + i 4 ) t = 1000(1 + 0,03) 7 3 = 1071,40 (c) Il tasso mensile effettivo è Quindi i 12 = j = 0,01 M = C(1 + i 12 ) 7 = 1000(1 + 0,01) 7 = 1072,14

2 2. Un finanziamento di euro viene rimborsato in 7 anni in questo modo: in ciascuno dei primi 3 anni si pagano solo gli interessi annui sulla somma finanziata; per altri 3 anni si pagano rate semestrali di euro; alla fine del settimo anno si paga un unica rata di importo R. Tutte le rateazioni sono posticipate (si paga alla fine dell anno o del semestre). Se il tasso d interesse applicato è per tutta la durata dell operazione del 4% annuo in capitalizzazione composta, qual è l importo della rata R? [Suggerimento: rappresentare il flusso di cassa dell operazione e scrivere un equazione di equivalenza finanziaria] [9 punti] Soluzione Il flusso di cassa, avendo indicato con R 1 le prime tre rate, con R 2 le sei rate semestrali e con R l ultima rata: anni rate R 1 R 1 R 1 R 2 R 2 R 2 R 2 R 2 R 2 R L equazione di equivalenza finanziaria: somma finanziata = = somma dei valori attuali in t = 0 di ogni singola rata Le prime tre rate sono ciascuna di importo pari a R 1 = ,04 = 4200 Il valore V 1 delle prime tre rate in t = 0 è il valore attuale di una rendita posticipata a rata costante R 1 : V 1 = 4200 a 3ǀ 0,04 = ,77509 = 11655,38 Il valore in t = 3 delle sei rate semestrali è il valore attuale in t = 3 di una rendita posticipata a rata costante R 2 = 15000; tale valore dovrà poi essere attualizzato in t = 0. Il tasso semestrale equivalente ad un tasso annuo del 4% è i 2 = (1 + i) = 1, = 0,01980

3 Quindi il valore V 2 delle sei rate semestrali in t = 0 è: V 2 = a 6ǀ 0,0198 (1 + 0,04) 3 = = , ,88900 = 74745,48 Infine il valore V 3 dell ultima rata R (incognita) in t=0 è V 3 = R (1 + 0,04) 7 = R 0,75992 L equazione di equivalenza diventa allora = V 1 + V 2 + V 3 = 11655, ,48 + R 0,75992 da cui segue R = , ,48 0,75992 = 24475,13 Nota Poiché stiamo operando in capitalizzazione composta sarebbe stata equivalente ai fini del calcolo di R l equazione montante in t = 7 della somma finanziata = = somma dei montanti in t = 7 di ogni singola rata mentre non sarebbe stata equivalente se avessimo operato in capitalizzazione semplice (regime non scindibile). 3. Sono dati due titoli rischiosi A e B i cui rendimenti (annui) sono rappresentati dalle variabili aleatorie R A e R B. Dall analisi delle serie storiche si sono desunte le seguenti distribuzioni di probabilità: il titolo A ha probabilità 20% di avere rendimento 0,1 e 80% di avere rendimento 0,15; il titolo B ha probabilità 40% di avere rendimento 0,2 e 60% di avere rendimento 0,3. (1) Calcolare rendimento atteso, varianza e deviazione standard dei rendimenti dei due titoli. [4 punti] (2) Dire, giustificando la risposta, se i due titoli sono efficienti oppure se uno domina l altro. [2 punti] (3) Quale sarà il rendimento atteso di un portafoglio P composto per il 40% dal titolo A e per il 60% dal titolo B? [1 punto] (4) I dati a disposizione consentono il calcolo della covarianza dei rendimenti dei due titoli? [1 punto] (5) La covarianza dei rendimenti dei due titoli, se fosse nota, potrebbe incidere sulla varianza del rendimento del portafoglio? [1 punto]

4 Soluzione (1) E(R A ) = 0,1 0,2 + 0,15 0,8 = 0,14 E(R B ) = 0,2 0,4 + 0,3 0,6 = 0,26 var(r A ) = (0,1 0,14) 2 0,2 + (0,15 0,14) 2 0,8 = 0,0004 var(r B ) = (0,2 0,26) 2 0,4 + (0,3 0,26) 2 0,6 = 0,0024 σ R A σ R B = 0,0004 = 0,02 = 0,0024 = 0,04899 (2) I due titoli sono efficienti infatti il titolo B, che ha rendimento atteso maggiore, ha anche varianza (cioè, secondo Markowitz, rischio) maggiore. (3) Il rendimento atteso di un portafoglio è uguale, grazie alla linearità del valore atteso, alla somma pesata dei rendimenti attesi dei singoli titoli dove i pesi sono le quote di capitale investito; quindi nel nostro caso E(R P ) = 0,4 E(R A ) + 0,6 E(R B ) = = 0,4 0,14 + 0,6 0,26 = 0,212 (4) I dati forniti nel testo dell esercizio non consentono il calcolo della covarianza dei rendimenti dei due titoli infatti non sono note le probabilità congiunte, ad esempio non sappiamo quale sia la probabilità che il titolo A abbia rendimento 0,1 e contemporaneamente il titolo B abbia rendimento 0,2 (le probabilità congiunte sono nel nostro caso quattro). Nel calcolo della covarianza entrano in gioco proprio le probabilità congiunte e non quelle marginali che sono a noi note. (5) La covarianza dei rendimenti inciderebbe sulla varianza, cioè sul rischio, del portafoglio. Sul piano finanziario si capisce infatti che, ad esempio, una forte correlazione positiva tra i rendimenti dei due titoli avrebbe l effetto di amplificare la rischiosità del portafoglio: se il rendimento di un titolo è maggiore del suo valore atteso è probabile che la stessa cosa avvenga per il rendimento dell altro e, viceversa, se è inferiore, è probabile che lo sia anche l altro (quindi, per l investitore, si prospettano risultati molto positivi oppure molto negativi rispetto alle aspettative). D altra parte una forte correlazione negativa tra i rendimenti dei due titoli avrebbe l effetto opposto di bilanciare il portafoglio, riducendone la rischiosità (se un rendimento è al disotto delle aspettative è probabile che il rendimento dell altro sia al di sopra). Sul piano

5 matematico la varianza di un portafoglio di due titoli è data dalla formula (non richiesta nel testo dell esercizio) var(r P ) = x 1 2 var(r A ) + x 2 2 var(r B ) + 2x 1 x 2 cov(r A, R B ) da cui risulta evidente la dipendenza dalla covarianza (oltre che dalle due quote di capitale x 1 e x 2 e dalle varianze). Domande 1. Qual è il montante di 1 euro, in cc, a un mese da oggi al tasso quadrimestrale i 3? (a) M = (1 + i 3 ) 1 3 (b) M = (1 + i 3 3 ) (c) M = (1 + i 3 ) 3 [1 punto] [ a] 2. Qual è il valore attuale di 1 euro disponibile tra un mese, in cs, al tasso quadrimestrale i 3? (a) A = 1 (1+i 3 ) 1 3 (b) A = 1 1+ i 3 3 (c) A = 1 + i 3 3 [1 punto] [ b] 3. Il valore oggi di un euro disponibile tra un anno è 96 centesimi; qual è il tasso di sconto d in capitalizzazione composta? (a) 0,04 (b) 0,04167 (c) 0,02 [1 punto] [ a]

6 4. Considera l investimento (anni) Qual è il suo tasso interno di rendimento (TIR)? (a) 10% (b) 5% (c) 4,881% [1 punto] [ c] 5. Il fattore di montante f(t) nel regime della capitalizzazione composta è una funzione del tempo t: (a) lineare (b) esponenziale (c) iperbolica [1 punto] [ b] 6. Completare il seguente piano di ammortamento: t K I R E D t K I R E D [1 punto]