F1 ) pagamento di 100 (immediato), ritorno di 15 dopo 1 anno e 105 dopo 2 anni

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1 CALCOLO & USO & CONFRONTO TIR/VAN ESEMPIO TIR/VAN 1 Per confrontare due attivita (flussi) sia VA che TIR/IRR forniscono indicazioni che vanno utilizzate con accortezza, e tenendo presente il loro effettivo significato. Dati 2 flussi F1 ) pagamento di 100 (immediato), ritorno di 15 dopo 1 anno e 105 dopo 2 anni F2 ) pagamento di 100 (immediato), ritorno di 7 dopo 1 anno, 7 dopo 2 anni, 110 dopo 3 anni Valore attuale Si suppone che tassi di interesse correnti/ottenibili siano t Significa che S (tra j anni) ora vale S(1+t)-j (rectius: da somma S(1+t)-j ora investita posso ottenere S tra j anni) Se applico al primo flusso (pagamenti + ricavi) VA1 = (1+t) (1+t) 2 se applico al secondo flusso ottengo VA2 = (1+t)-1 + 7(1+t) (1+t)-3 Questo confronto permette anche di osservare che, se posso reinvestire a tasso t dopo 3 anni otterro dal primo flusso (1+t )3 (VA ) = 15(1+t)2+105(1+t)1 e dal secondo (1+t )3 (VA ) = 7(1+t)2 + 7(1+t) Quindi con il Van considero anche la possibilità di reinvestimento a tasso t L operazione risulta vantaggiosa rispetto ai tassi correnti se VA>0 e tra due operazioni dovrei scegliere quella con un VA maggiore In questo caso a vari tassi t si ha 1,00% 3,00% 3,50% 7,00% 9,00% 12,00% 17,78 13,54 12,51 5,73 2,14-2,90 F1 20,56 14,06 12,51 2,45-2,75-9,87 F2 Se t < 3.5% F2 e piu conveniente. Per tassi > 3.5% risulta piu conveniente F1 F1 risulta vantaggiosa fino ad un tasso (imprecisato) tra 9% e 12%, F2 risulta vantaggiosa fino ad un tasso (imprecisato) tra 7% e 9% Con tassi dell 1% il pagamento iniziale ( equo ) dovrebbe essere 117,78 (F1) o 120,56 (F2), con tassi 3,5% dovrebbe essere 112,51 ( F1 e F2), con tassi 9% dovrebbe essere 102,14 (F1) o 97,25 (F2). Il valore attuale non considera la possibilita di tassi diversi nei tempi futuri. TIR/IRR Per ogni operazione si puo calcolare il TIR/IRR cioe (se esiste ) l unico tasso che attualizza correttamente i valori (positivi e negativi) del flusso. Per il flusso 1 si ha l equazione 0 = (1+t) 1+105(1+t) 2 oppure 0 = -100(1+t)2 + 15(1+t) +105 [siccome t>-1 basta trovare l unica radice positiva x* di 0 = -100x2 + 15x +105 e risulta t = x*-1]

2 Per il flusso 2 si ha 0 = (1+t)-1+7(1+t) (1+t)-3 oppure 0 = -100(1+t)3 +7(1+t)2 +7(1+t) [basta trovare l unica radice positiva x* di 0 = -100x3 +7x2 +7x ] Il TIR/IRR risulta 10.24% per il flusso 1 e 7.92 % per il flusso 2 ESEMPIO TIR/VAN 2 Questi tassi forniscono i valori per cui il valore attuale = 0 ( e oltre i quali l operazione non e conveniente, l indicazione e interessante se i tassi possono variare nel tempo ). Nonostante il TIR piu elevato il flusso 1 risulta meno vantaggioso a tassi < 3.5% Se pero e possibile reinvestire i proventi nella stessa attivita allora il TIR piu elevato indica la preferibilita del flusso 1 ( e/o del tipo di investimento). Un confronto diretto dei due flussi non e possibile per i diversi tempi e le diverse quantita ( fronte di 100 F1 restituisce 120, F2 restituisce 124 ma in tempi diversi ) ma e possibile confrontare quanto la somma di 100 produce in tempi uguali Ad esempio nell arco di 6 anni si avrebbe questa situazione con il flusso e anno per anno Con il flusso 2 invece con saldi nei vari anni La somma al termine dei sei anni e prossima (~122 ) ma il flusso1 ha prodotto ancora ~51 e il flusso 2 solo ~32 Inoltre il primo flusso puo essere modificato in modo da ottenere, rispetto al flusso 2, somme maggiori in tempi piu brevi. Se dopo 4 anni non si reinveste 16 si ha con risultato annuale Al termine dell anno 5 il flusso 1 da un vantaggio di che compensa ampiamente la differenza (~16) che si genera al tempo > 16 >16(1+t) 1 t >0.

3 ESEMPIO TIR/VAN 3 Esempio 2 E possibile scegliere tra due attività (investimenti) A1 prevede un esborso di 100 e un ritorno di 150 dopo un anno A2 prevede un esborso di 100 e un ritorno di 200 dopo 2 anni La scelta dipende dal soggetto Un imprenditore e portato a scegliere la prima attività :se il ritorno (150) puo essere reinvestito allo stesso modo al secondo anno si avrà un ritorno di 225. Un semplice investitore (senza possibilità di reinvestimento nella stessa attività ) al termine dell anno puo investire 150 ad un tasso corrente t e il ritorno dopo 2 anni sarà 150(1+t) dala prima attività e 200 dalla seconda. Se (1+t) < 200/150 = 1.33 (tasso < 33%) l attività 2 e preferibile. Un investitore con possibilità (garanzia?) di reinvestimento nella prima attività ragionerà come un imprenditore L imprenditore e l investitore con reinvestimento scelgono il TIR piu elevato (TIR = 50% per A1, TIR = 41.42% per A2) l investitore semplice considera i due valori attuali al tasso t ( corrente) Infatti VA1 = (1+t)-1 VA2 = (1+t)-2 VA1 < VA2 150 (1+t)-1 < 200 (1+t)-2 150(1+t) < 200 Come tasso t considera il tasso che puo ricavare da un investimento ( che suppone uguale al tasso che paga per rimborsare un finanziamento) Infatti se la somma 100 e presa a prestito dopo 1 anno da A1 risulta 150, pagato il prestito resta (1+t) = (1+t) VA1 che puo essere ancora investito a tasso t per ottenere dopo due anni (1+t)2 VA1 Da A2 torna (dopo 2 anni) 200 e pagato il prestito resta (1+t)2 = (1+t)2 VA2 A tassi ragionevoli (es 10% ) risulta VA1=36.36 e VA2= In questo caso da un investimento di 100 al termine del secondo anno con A1 si avrebbe solo 165 (=rendimento annuo 28.5%) invece di 200 (=rendimento annuo 41.42%) Benche TIR/IRR sia un indicatore interessante spesso Valore attuale e preferibile Solo se e possibile il reivestimento da A1 si ottiene 225 ( =rendimento annuo 50%)

4 VA vs IRR Confronto tra VA (valore attuale) e IRR/TIR (Internal revenue rate/tasso interno di rendimento) Formula Calcolo VA ESEMPIO TIR/VAN 4 IRR/TIR VA k=1,n Ak(1+t)-k t* tc. VA(t*) = 0 Semplice e sempre possibile assegnato t. Valore di t dipende da considerazioni esterne ( o (1+t)n VA(t*) = 0 ) Richiede soluzione eq (polinomiale) e garanzia unicita Necessario t* >-1 Calcolo con Excel ( I flussi A sono gli elementi di un Vettore ) Significato Se usato per confrontare due flussi /attivita =NPV(t, valori ) valori puo essere un vettore di arbitraria lunghezza [ es NPV(5%, A1:A44) ] piu singoli valori [es NPV(5%, A1,100,A4,.) ] Ogni singolo valore puo essere un intervallo [es NPV(5%, A31:A41, A51:A59, A71:A81)] Valore del flusso Individua il piu conveniente (in assoluto) =IRR Con argomento intervallo es IRR( A1:A10) o vettore IRR({ ,5000,6000}) Si puo indicare un tasso t0 prossimo alla soluzione es IRR ( A1:A10, 1%) Rendimento dell operazione ( suppone implicitamente attivi reinvestiti nello stesso modo) Individua l attivita piu redditizia (se reinvestimento ) Problema del valore reale Per periodi non troppo brevi e interessante cercare di eseguire i calcoli in valore reale. Non e possibile sapere ne i prezzi futuri ne i beni necessari Se si suppone un tasso di inflazione di j % i prezzi P diventano (in media) dopo k anni (1+j)k. Se un bene (paniere di beni) ha prezzo attuale P la somma S acquista ora S/P quantita di bene e e tra k anni [ (prezzo ) P (1+j)k ] solo (S/P) (1+j)-k quantita di bene. La somma S (futura ) vale come potere di acquisto attuale (S) (1+j)-k Un flusso ai espresso in termini reali diventa ai (1+j)-i e Il TIR ( in termini reali) si ottiene imponendo 0 = a0 + i=1,n ai (1+j)-i (1+t)-i = a0 + i=1,n ai (1+s)-i [ (1+s)= (1+j) (1+t) ] Risolvendo al solito

5 ESEMPIO TIR/VAN 5 P(x) = i=0,n ai x n-i = i=0,n ai (1+s) n-i = 0 si ha x = 1+s = (1+j) (1+t) s = x-1, t (reale) = (s-j) (1+j)-1 Se il tasso di inflazione non e costante nel tempo le formule cambiano e l ultima relazione non vale. Il VAN esprime il valore attuale di un flusso futuro e permette il confronto con una somma posseduta in questo momento. Il fattore di sconto [ (1+t)-i o equivalente ] esprime il deprezzamento derivante dal mancato possesso per un periodo. Il VAN puo essere calcolato in due modi. Se si suppone che il deprezzamento includa anche la perdita di potere di acquisto si considerano solo le quantita ai. Se il fattore di sconto pesa semplicemente la non disponibilita si devono considerare i valori ai (1+j)-i. Questo conto permette implicitamente un confronto tra l investimento e l acquisto di un bene sicuro [ casa?, oro?, titolo legato all inflazione? ecc... ] Un conto analogo a quello del valore reale si ha se si considerano due valute e il tasso di inflazione corrisponde al deprezzamento,supposto costante nel tempo (? ) di una valuta rispetto all altra.