(a) cinque mesi (b) sette mesi (c) sei mesi (d) otto mesi

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1 Matematica Finanziaria a.a Prof. Ghiselli Ricci Ferrara 16 gennaio 2019 Cognome Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica solo per chi non si è registrato sul sito NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti 1. Un capitale viene impiegato, in un investimento di durata complessiva pari a un anno e mezzo, a un tasso annuo di interesse i 1 = 1,2% per i primi dieci mesi a regime semplice. Successivamente, sul montante ottenuto, si applica un tasso annuo i 2 a regime composto. Determinare i 2 se il montante finale ha fatto crescere il capitale iniziale dell 11,3525%. a 14, 7625% b 15, 7625% c 16, 2576% d 15, 05% 2. Potete investire una somma per un certo periodo a regime semplice a tasso i = 2,19% oppure a regime composto a tasso i 1 = 2,2%. Quale tra i seguenti é il minimo periodo che assicuri la convenienza della seconda opzione? a cinque mesi b sette mesi c sei mesi d otto mesi 3. Su un conto corrente a regime semplice a tasso i = 2% in cui dopo ogni mese vi vengono addebitati 5 per spese bancarie, qual é la minima somma da lasciare per non andare in rosso dopo tre mesi? a 15,95 b 13,75 c 14,05 d 14,95 4. Avete contratto con una banca un piano di ammortamento alla francese a rate mensili per cinque anni a tasso mensile i m = 1,2%. Dopo due anni, cambiate banca pagando una penale α sul debito residuo, con nuovo tasso i m = 1% e durata residua immutata. Per quale valore di α la nuova rata non cambia? a 3,49% b 3,18% c 2,98% d 3,89% 5. Un acquisto di un bene di 7500 viene contrattato in 2 rate semestrali di A quanto ammonta il tasso semestrale? a i s = 3,91% b i s = 4,91% c i s = 4,41% d i s = 5,11% 6. Acquistate un titolo a vita residua dieci mesi, cedola semestrale con tasso cedolare i = 2% e nominale N = Qual é il massimo corso secco affinché il rendimento sia almeno pari a r = 2,4%? a 996,02 b 1000, c 996,82 d 997,82 7. Un titolo presenta il seguente cash-flow: {0; 1000,1;500,2;522,725}. A quale prezzo minimo dovete venderlo dopo sei mesi se non volete abbassare il vostro rendimento iniziale? Risposta: =...

2 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2017, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i = 1%, premio fedeltá al 4 per mille, viene acquistato per un nominale N = La sequenza degli indici FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j = 0,1,2,3, è la seguente: I 0 = 103, I 1 = 103,3, I 2 = 103,5, I 3 = 103,4. In attesa dell uscita dell ultimo indice I 4 a marzo 2019, supponendo di tenere il titolo fino alla scadenza: a determinare il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal futuro valore di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b calcolare il GVAN di tale investimento, nel caso precedente, a costi opportunitá i 1 = 1,2% per i primi sei mesi e i 2 = 1,8% per tutto il tempo rimanente; Supponendo ora di avere venduto il titolo il primo settembre 2018: c dimostrare che il rendimento ottenuto é inferiore a r m se avete venduto alla pari; d Facoltativo: ricavare il legame tra prezzo di vendita del titolo, detto P, e r m al fine di realizzare un rendimento esattamente pari a r m. Teoria Dimostrare che il valore attuale di una somma S a scadenza t > 0 a regime semplice e tasso i > 0 é sempre maggiore di quello a sconto commerciale con tasso di sconto d > i.

3 Soluzione primo quesito Il montante ottenuto dall investimento di un certo capitale C a regime semplice per dieci mesi a tasso annuo di interesse i 1, che chiameremo M 1, è pari a: M 1 = C1 i 1 t 1, ove t 1 = 5/6. Il montante finale, che chiameremo M, ottenuto dall investimento di M 1 a regime composto per i rimanenti otto mesi a tasso annuo i 2 è pari a: M = M 1 1 i 2 t 2 = C1 i 1 t 1 1 i 2 t 2, ove t 2 = 2/3. Siccome il montante finale é M = 1 αc, ove α = 0,113525, la suddetta equazione si trasfoma in da cui, dopo qualche passsaggio algebrico, si trova che Inserendo i dati, si trova che i 2 = 15,7625%. 1 α = 1 i 1 t 1 1 i 2 t 2, 3/2 1 α i 2 = 1. 1 i 1 t 1 Soluzione secondo quesito Si noti che expi 1 = 0,02214 > i 1, quindi siamo nella situazione in cui la retta del regime semplice interseca la curva del composto in corrispondenza di una sola epoca t > 0. Inoltre, se si calcola il montante relativo al capitale di un euro a regime semplice al sesto mese, ossia per t = 0,5, si trova M s 0,5 = 1 0,5 i = 1,01095, mentre se si fa lo stesso a regime composto a tasso i 1, si ha che M c 0,5 = 1 i 1 0,5 = 1, , ossia M s 0,5 > M c 0,5, quindi il minimo periodo che cerchiamo deve essere superiore ai sei mesi. Se invece calcoliamo gli stessi importi in corrispondenza di sette mesi, ossia per t = 7/, si trova che M s 7/ = 1,07750 < 1,07751 = M c 7/, perció il periodo minimo che cerchiamo é di sette mesi. Soluzione terzo quesito Chiamando C il capitale versato sul conto corrente, dopo un mese vi rimane Dopo due mesi vi rimane C 1 i C 1 i i 5, che dopo qualche passaggio algebrico diviene C 1 i i. Ora, é abbastanza facile estendere la formula precedente al caso successivo dei tre mesi senza passaggi intermedi: dopo tre mesi, vi rimane quindi C 1 i i 1 i 2. Pertanto, la somma minima C da lasciare sul conto per non andare in rosso dopo tre mesi si determina attraverso l equazione C 1 i i 1 i 2 = 0, da cui si arriva a C = i 1 i 3. 1 i

4 Inserendo i dati, si trova C = 14,95, con approssimazione alla seconda cifra decimale. La rata R del piano alla francese é data da Soluzione quarto quesito R = D 0 i m, i m n ove n = 60, i m = 1,2%, mentre D 0 é il prestito iniziale. Dopo due anni, ossia k = 24 rate mensili, cambia il tasso, quindi é come se si ricominciasse un nuovo piano alla francese con una nuova rata R, tasso i m = 1%, durata residua di tre anni, ossia p = 36 rate mensili, e debito iniziale pari al debito residuo D k, dato da D k = D i m nk i m n La formula della rata di questo secondo piano, analogamente alla formula in eq.??, tenendo conto che il debito iniziale é ora quello residuo aumentato di α, è data da R = 1 α D k i m 1 1 i m p. Sostituendo D k come nell eq.?? e ricorrendo all eq.??, dopo qualche passaggio algebrico si ha che Siccome noi vogliamo che R R R R = 1 α i m 1 1 i m p 1 1 i m p. i m = 1, riscriviamo la suddetta equazione ricavando esplicitamente l incognita α: α = i m i m 1 1 i m p p i m Inserendo i dati, si trova che α = 3,49%, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione quinto quesito L equazione da impostare é la condizione di chiusura finanziaria, ossia 7500 = i s i s 2, ove i s é il tasso semestrale. La suddetta equazione, con la sostituzione di variabile v = 1/1 i s, diventa di secondo grado, e l unica soluzione finale accettabile é i s = 4,41%, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione sesto quesito La prima cedola sará pagata dopo quattro mesi dall acquisto e l ultima, unitamente al rimborso del nominale, alla scadenza, ossia dopo dieci mesi dall acquisto. Il discounted cash-flow del titolo é dato da Gx = C tq 1 x 1/3 1 x 5/6, ove C tq é il corso tel quel. Se vogliamo che il rendimento del titolo sia almeno pari a r, basta inserire x = r e porre Gr = 0, da cui C tq = 1 r 1/3 1 r 5/6. Ricordando poi che C tq = C s RT, ove C s é il corso secco e RT é il rateo, si trova che C s = RT. 1 r 1/3 1 r 5/6 Il rateo é una parte proporzionale alla cedola, secondo il fattore di proporzionalitá dato dal periodo che scatta dal momento in cui é stata spiccata la cedola precedente all acquisto al momento in cui avete acquistato il titolo. In questo caso, tale periodo é di due mesi, ossia un terzo di sei mesi, pertanto RT = 1 3 in 2 = in 6. L equazione precedente diviene quindi C s = 1 r 1/3 1 r 5/6 in 6.

5 Inserendo i dati, si trova che C s = 996,82 con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione settimo quesito Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento iniziale, denotato r 0, di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cashflow è dato da Gx = x 522,725 1 x 2. L equazione algebrica Gx = 0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v = 1/1 x, dopo qualche semplificazione algebrica, risulterá v 522,725v 2 = 0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che r 0 = 1,5%. Se vendete il titolo dopo sei mesi ad un prezzo V, il rendimento della vostra operazione, denotato r 0,5, soddisfa un equazione classica di una semplice compravendita a regime composto, data in questo caso da V = P 1 r 0,5. Il minimo prezzo di vendita, denotato V min, in corrispondenza del quale il rendimento della vostra operazione non si abbassa rispetto a quello iniziale, é quello tale per cui r 0,5 = r 0, ossia, tenendo conto della precedente equazione, V min = P 1 r 0. Inserendo i dati, si trova che V min = 1007,47, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione ottavo quesito a Si noti, dalla sequenza degli indici, che é presente inflazione nei primi due semestri e deflazione nel terzo, quindi il meccanismo di rivalutazione scatta solo nei primi due. Secondo il regolamento del BTP ITALIA, il detentore del titolo ha diritto ogni semestre ad una remunerazione in simboli, RS j che è data dalla somma di una cedola calcolata su un nominale rivalutato in simboli c j e da un termine detto capitale rivalutato in simboli, CR j, il tutto per j che va da 1 a 4. Le formule generali riguardanti la cedola c j, il capitale rivalutato CR j e la remunerazione semestrale RS j per tutti i semestri, indipendentemente dall andamento dgli indici FOI, sono: c j = 2 1 in1 α j, j = 1,2,3,4; CR j = α j N, j = 1,2,3,4; RS j = c j CR j, j = 1,2,3; RS 4 = c 4 CR 4 1,004 N. In particolare, si noti che RS 4 tiene conto del premio fedeltá, sotto l ipotesi che il titolo sia portato a scadenza. La formula per calcolare i coefficienti di indicizzazione é la seguente: { α j = max 0, I } j 1, j = 1,...,4; 4 I j 1 Facendo tutti i calcoli e ricordandosi di approssimare gli α j alla quinta cifra decimale, per j = 1,2,3, si ha che: 3 Epoche α j CR j c j RS j 1 0, ,91 5,01 7,92 2 0, ,94 5,01 6, Pertanto, il cash-flow dell investimento, che denoteremo A, é dato da a 0 = 1000, a 1 = 7,92, a 2 = 6,95, a 3 = 5, a 4 = 1009 z, ove si noti che a 4 comprende una parte certa, ossia la restituzione del nominale piú il premio fedeltá e la cedola minima classica pari a 5 euro, e una parte incerta, legata alla eventuale rivalutazione del quarto semestre, denotata con l incognita z, ancora non conosciuta, perché dipende dall indice I 4, che al momento non possiamo conoscere, perché uscirá solo a marzo 2019.

6 Il minimo rendimento possibile, detto r m, si avrá ovviamente nel caso in cui anche nell ultimo semestre non scatti il meccanismo di rivalutazione, che comporta automaticamente z = 0. Pertanto, il discounted cash-flow del titolo nella peggiore prospettiva, denominato G Min x, sarebbe G Min x = ,92 1 x 1 2 6,95 1 x x x 2. Considerate il fatto che non siete in grado di trovare la soluzione esatta, denotata appunto r m, dell equazione G Min x = 0, che vi fornirebbe la risposta cercata, perché algebricamente troppo complicata anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado. Allora, ricordando che G Min x è una funzione strettamente decrescente, tale che G Min x > 0 per x < r m e G Min x < 0 per x > r m, dobbiamo testare il segno di G Min x buttandovi dentro valori ragionevoli di x, rammentando che r m é sicuramente superiore al tasso cedolare, quantomeno per il premio finale, e tenendo conto che il meccanismo di rivalutazione semestrale é scattato in due semestri, quindi ha senso considerare valori abbastanza superiori a i, anche se non eccessivamente. Se ad esempio inserite r 1 = 1,4%, risulterá G Min r 1 0,946 > 0, mentre con r 2 = 1,5% risulterá G Min r 2 1,004 < 0, pertanto r 1 < r m < r 2, con l approssimazione richiesta. b Il GVAN richiesto non é altro che GVANi 1,i 2 = ,92 1 i1 6,95 1 i1 1 i2 5 1 i1 1 i i1 1 i 2 3/2. Inserendo i dati, risulta GVAN = 3,88 con approsimazione alla seconda cifra decimale, il che significa che tale investimento, nella sua forma meno redditizia, non é conveniente rispetto al collocamento in banca del capitale iniziale a quei tassi, perché porta ad un minusvalore di circa 4. c Se si é venduto il titolo alla pari il primo settembre 2018, il discounted cash-flow del titolo é dato da G 1 x = ,92 6,95 1 x x x 2 3 Per dimostrare che il rendimento ottenuto, detto r, é certamente inferiore a quello minimo del caso a, ossia r m, basta calcolare G 1 r 1 e verificare che sia G 1 r 1 < 0: in tal modo, infatti, si prova che r < r 1 < r m, ossia la nostra tesi. Siccome si trova facilmente che G 1 r 1 = 1.022, la dimostrazione é conclusa. d Supponendo di aver venduto il titolo il primo settembre 2018 ad un prezzo P > 0 tale da realizzare un rendimento pari a r m, il discounted cash-flow del titolo é dato da G P x = ,92 6,95 1 x x 5 P. 1 x 3 2 Se si confronta tale G P x con G Min x data nel caso a, non é difficile vedere che G Min x = G P x x 2 P. 5 1 x 3 2 Ora, noi sappiamo per ipotesi che r m é il rendimento sia di G Min x che di G P x, ossia G Min r m = G P r m = 0. Quest ultima equazione, introdotta nella eq.??, porta a ossia, dopo qualche semplice passaggio algebrico, r m 2 P 1 r m 3 2 P = rm, = 0, che é esattamente la formula richiesta. Soluzione quesito teorico Il valore attuale di una somma S > 0 a scadenza t > 0 nel regime semplice a tasso i > 0 é A s = S 1 it,

7 mentre quello a sconto commerciale a tasso di sconto d é A sc = S 1 dt. Dimostriamo che A s > A sc, che equivale a 1 dt 1 it < 1. Sviluppando il primo membro della suddetta disuguaglianza, si ottiene ti d idt < 0, che é banalmente vera, visto che per ipotesi i d < 0 e i,d,t sono tutti positivi.