Gli indicatori di rendimento dei titoli obbligazionari

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1 Gli indicatori di rendimento dei titoli obbligazionari Economia del Mercato Mobiliare A.A

2 Capitalizzazione e attualizzazione 1 legge della finanza: un euro oggi vale più di un euro domani VALORE TEMPORALE DEL DENARO? 11,000 10,000 10%? 10% C M VA VS CAPITALIZZAZIONE portare avanti nel tempo il valore di un capitale aggiungendo degli interessi Montante = Capitale * fattore di capitalizzazione ATTUALIZZAZIONE portare indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile ad una data futura Valore Attuale = Valore a Scadenza * fattore di sconto N.B. il fattore di capitalizzazione è il reciproco del fattore di sconto A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 2

3 Legge di capitalizzazione semplice OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L interesse è funzione lineare di: 21,000 Capitale impiegato 19,000 17,000 Tasso d interesse 15,000 Tempo 13,000 I = C*i*t M = C+I= C* (1+i*t) FATTORE di CAPITALIZZAZIONE 11,000 9, OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE Il valore attuale si ottiene moltiplicando il Valore a Scadenza per il fattore di sconto VA = VS* 1/(1+i*t) FATTORE di SCONTO o ATTUALIZZAZIONE A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 3

4 Legge di capitalizzazione composta OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L interesse è funzione: del tempo degli interessi già maturati M 1 = C(1+i); M 2 = M 1 *(1+i)= C(1+i) 2 M t = C* (1+i) t FATTORE di CAPITALIZZAZIONE 27,000 25,000 23,000 21,000 19,000 17,000 15,000 13,000 11,000 9, Ipotesi implicita: gli interessi maturati in momenti precedenti vengono continuamente reinvestiti fino a scadenza OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE VA = VS* 1/(1+i) t FATTORE di SCONTO A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 4

5 Capitalizzazione semplice vs composta Es. i=10% capitalizzazione annua per t=1 i due fattori di capitalizzazione coincidono per t<1 è maggiore il fattore di capitalizzazione semplice per t>1 è maggiore il fattore di capitalizzazione composta t cap. semplice cap. composta A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 5

6 Tassi equivalenti: regime semplice 1+i A =1+i k *k i A = i k *k i K = i A /k i A tasso annuo i k tasso periodale k n di volte in cui gli interessi sono incassati nell anno Es. investiamo 1,000 in BTP a 5 anni al tasso nominale del 4.5% La cedola è pagata semestralmente: ogni 6 mesi incasseremo (pari a 0.045/2=2.25% del nostro capitale) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 6

7 Tassi equivalenti: regime composto 1+i A =(1+i k ) k i A tasso annuo i k tasso periodale k n di volte in cui gli interessi sono capitalizzati nell anno i A = (1+i k ) k -1 i K = (1+i A ) 1/k -1 Es. E più conveniente l investimento A al 2.5% semestrale o l investimento B al 10% biennale? A) i A = ( ) 2-1=5.1% B) i A = (1+0.10) 0.5-1=4.9% A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 7

8 Binomio rischio-rendimento RENDIMENTO Esprime il risultato economico dell operazione redditività (per convenzione si esprime in rapporto al capitale investito e alla durata dell investimento, in genere su base annua) RISCHIO È legato all impossibilità di prevedere con certezza il risultato economico dell operazione d investimento grado di incertezza della attività finanziaria Le scelte di investimento non possono considerare uno solo di questi aspetti prescindendo dall altro: analizziamo i principali indicatori di rendimento in assenza di rischio di credito (insolvenza della controparte) e di liquidità (difficoltà di smobilizzo) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 8

9 Il profilo finanziario delle obbligazioni (1/4) In base alle modalità di remunerazione, è possibile distinguere i titoli obbligazionari in : TITOLI CON CEDOLA Pagano periodicamente un interesse CEDOLA FISSA L importo della cedola è predeterminato CEDOLA VARIABILE L importo della cedola è legato a variabili reali o finanziarie TITOLI ZERO COUPON Il rendimento è dato dalla differenza tra prezzo d emissione e valore di rimborso n.b. sempre emessi sotto la pari A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 9

10 Il profilo finanziario delle obbligazioni (2/4) Le obbligazioni possono essere emesse: SOTTO LA PARI Pr. di Emissione < Val. Nominale Lo scarto d emissione è una componente positiva del rendimento PE=97.5 VN=100 ALLA PARI Pr. di Emissione = Val. Nominale Il rendimento sarà dato solo dal pagamento periodico di interessi PE=100 SOPRA LA PARI Pr. di Emissione > Val. Nominale VN=100 Lo scarto d emissione è una componente negativa del rendimento PE=102 VN=100 A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 10

11 Il profilo finanziario delle obbligazioni (3/4) Il rendimento può quindi essere distinto in 2 componenti: reddito staccato, legato all importo delle cedole e ai flussi derivanti dal loro reinvestimento reddito incorporato, rappresentato dalla differenza tra valore di rimborso a scadenza (o prezzo di vendita, se l holding period non coincide con la durata residua del titolo) e valore d emissione/prezzo d acquisto COMPONENTI CERTE cedole di obb. a tasso fisso scarto d emissione per obbligazioni non indicizzate detenute fino a scadenza COMPONENTI ALEATORIE cedole di obb. indicizzate reinvestimento cedole guadagni e perdite in conto capitale in caso di smobilizzo anticipato/obb. indicizzate A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 11

12 Il profilo finanziario delle obbligazioni (4/4) Per i titoli che pagano flussi intermedi ha più senso calcolare il rendimento con il regime dell interesse composto, mentre per i titoli ZC ha più senso il regime dell interesse semplice In generale valgono le seguenti convenzioni: Per i titoli a breve termine (con scadenza inferiore ad 1 anno) si utilizza il regime di capitalizzazione semplice Per i titoli a medio-lungo termine (con scadenza superiore ad 1 anno) si utilizza il regime di capitalizzazione composta Occorre tuttavia anche considerare la necessità di operare confronti tra titoli con diversa durata, a parità di proprio orizzonte temporale di investimento (così che può avere senso, ad esempio, il rendimento composto su base annua per ZCB con durata trimestrale) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 12

13 Il rendimento dei titoli senza cedola: i BOT (1/3) Si ricorda che il prezzo d acquisto è pari al prezzo medio ponderato d asta, a cui si aggiunge la tassazione anticipata sullo scarto d emissione e le commissioni praticate dall intermediario Per prassi, viene comunicato il rendimento sia netto che lordo, calcolato sia con il regime di capitalizzazione semplice che con quello di capitalizzazione composta. Si considerano i giorni effettivi di durata del titolo rispetto ad un anno commerciale di 360 giorni (per i CTZ, invece, si usa la convenzione giorni effettivi su anno civile di 365 giorni) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 13

14 Il rendimento dei titoli senza cedola: i BOT (2/3) Imposta: 12.5% su scarto d emissione = Rendimento semplice lordo 100 = r sem 92, r 360 sem = = 3.873% circa 360 A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 14

15 Il rendimento dei titoli senza cedola: i BOT (3/3) Rendimento semplice netto Rendimento composto lordo Rendimento composto netto A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 15

16 Scarto d emissione maturato Ad eccezione del caso dei BOT, le imposte sullo scarto d emissione vengono corrisposte in via posticipata In virtù delle convenzioni di mercato, lo scarto d emissione matura in modo proporzionale alla durata originaria del titolo Chi detiene il titolo alla scadenza, pagherà le imposte sull intero scarto d emissione In caso di compravendite tra emissione originaria e scadenza, l acquirente vedrà scontarsi la ritenuta d acconto sullo scarto d emissione maturato alla data di scambio A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 16

17 Il rendimento dei titoli con cedola: corso secco e corso tel quel (1/2) Quando un titolo viene negoziato in una data diversa da quella di emissione o di stacco cedola, occorre considerare che gli interessi maturati saranno incassati dal compratore, ma spettano al venditore Si distinguono, quindi, due quotazioni: Corso secco che non considera gli interessi in corso di maturazione Corso tel quel che considera gli interessi in corso di maturazione Corso tel quel = corso secco + rateo interessi A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 17

18 Il rendimento dei titoli con cedola: corso secco e corso tel quel (2/2) Corso secco: Cedola semestrale: 4.5% pagata 1 ottobre e 1 aprile di ogni anno Negoziazione: giovedì 9 gennaio Regolamento: martedì 14 gennaio Durata semestre in giorni effettivi: 182 Giorni di rateo (dal 2 ottobre al 14 gennaio): 105 Rateo: 4.5*105/182 = Corso tel quel lordo imposte = = Corso tel quel netto imposte = = A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 18

19 Il rendimento dei titoli con cedola a tasso fisso Consideriamo i seguenti indicatori: Tasso di Rendimento Nominale (TRN) Tasso di Rendimento Immediato (TRI) Tasso di Rendimento Effettivo a Scadenza (TRES) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 19

20 TRN (tasso di rendimento nominale) Fornisce esclusivamente un informazione sul livello del tasso contrattualmente dovuto dall emittente di un titolo a reddito fisso: considera solo il reddito staccato (cedole) non tiene conto né del prezzo né del profilo finanziario del titolo (es. scadenza e distribuzione temporale cedole) È il rapporto tra cedola annuale e valore nominale TRN = Cedola / Valore Nominale Nel caso di titolo con cedole semestrali il TRN è generalmente indicato su base annua: l importo della cedola si calcola secondo il regime di capitalizzazione semplice es: i BTP a 5 anni con TRN del 4.25% pagano due cedole semestrali del 2.125% A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 20

21 TRI (tasso di rendimento immediato) TRI = Cedola / Corso secco E il rapporto tra cedola e corso secco del titolo (prezzo di mercato non tenendo conto degli interessi in corso di maturazione) Nel caso di cedole con frequenza inferiore all anno, si considerano i tassi equivalenti in regime di capitalizzazione composta, per considerare i frutti da reinvestimento cedole TRI ann = (1+TRI sem ) 2-1 Rispetto al TRN, considera il prezzo di mercato piuttosto che il valore nominale e i frutti da reinvestimento cedole, ma non considera il possibile capital gain e il completo profilo finanziario dell investimento A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 21

22 TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (1/2) Una misura più completa del rendimento (ex ante) di un titolo obbligazionario è rappresentata dal TRES Si considerano tutti i flussi finanziari, positivi (cedole e valore di rimborso) e negativi (prezzo pagato), nella loro esatta manifestazione temporale Si calcola il tasso di rendimento che soddisfa l uguaglianza tra il valore attuale dei flussi di cassa futuri e il prezzo pagato TRES? prezzo t 1 t 2 t 3 A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 22

23 TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (2/2) Il TRES è quindi il tasso interno di rendimento delle obbligazioni che, in regime di capitalizzazione composta, soddisfa l uguaglianza tra il prezzo di acquisto effettivo (prezzo tel quel) e la sommatoria dei valori attuali dei flussi di cassa Ipotesi implicite: n FC k P telquel = (1 + TRES) t k k=1 detenzione del titolo fino a scadenza (rimborso al valore nominale) reinvestimento dei flussi intermedi fino alla scadenza ad un tasso pari al TRES e costante per tutto il periodo (curva dei rendimenti piatta e non soggetta a variazioni nel tempo) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 23

24 Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (1) Se conosco: l ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il TRES posso calcolare il prezzo del titolo ES: Si determini il prezzo di un obbligazione con le seguenti caratteristiche: vita residua: 4 anni frequenza cedola: annuale TRES 5% valore di rimborso a scadenza 100 Nelle 3 seguenti ipotesi: 1. TRN 6% 2. TRN 5% 3. TRN 4% A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 24

25 Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (2) Caso 1: importo cedola P circa Caso 2: importo cedola 5 P Caso 3: importo cedola P circa A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 25

26 Rapporto tra TRES, TREN e prezzo del titolo Se P = VN TRES = TRN Se P < VN ho una componente aggiuntiva di rendimento rappresentata dallo scarto d emissione, quindi TRES > TRN Se P > VN ho una componente negativa di rendimento rappresentata dallo scarto d emissione, quindi TRES < TRN A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 26

27 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (1/8) Se conosco: l ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il prezzo del titolo posso calcolare il TRES Non esiste una formula chiusa in grado di esplicitare il TRES in funzione delle grandezze alle quali è legato il suo calcolo avviene attraverso un procedimento iterativo di approssimazione Sotto alcune ipotesi è peraltro possibile ricavare il TRES in modo più semplice: a) TRES di uno ZCB b) TRES di un titolo a tasso fisso che quota alla pari c) TRES di un titolo a 3 flussi d) TRES di una rendita perpetua A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 27

28 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (2/8) a) TRES di uno ZCB è sufficiente considerare che P VNt 1TRES t TRES VN P 1 t 1 Es. ZCB a 2 anni P=97.90, VN=100 TRES % circa b) Il TRES di un titolo con cedola che quota alla pari è uguale al tasso cedolare (come abbiamo già visto) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 28

29 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (3/8) c) In caso di titoli con una struttura a 3 flussi finanziari Pr=98 C=3 C=3 t 1 t 2 VN = Tres 1 Tres Tres 31 Tres Ponendo (1+ Tres)= x: 98x 2 3x Quindi un equazione di secondo grado che ammette due soluzioni ax 2 bx c 0 b 2 b 2a 4ac A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 29 x 1,2

30 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (4/8) Risolvendo l equazione otteniamo due soluzioni per la variabile x, delle quali consideriamo solo quella positiva, altrimenti il risultato sarebbe impossibile 98x 2 3x x 1, x 1 x Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x 1Tres Tres % A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 30

31 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (5/8) Il tasso calcolato nell esempio precedente è un tasso periodale: risulta espresso su base annua se i flussi sono annuali, su base semestrale se i flussi sono semestrali, su base mensile se i flussi sono mensili, e così via Per convertire il tasso periodale in un tasso annuale si usa la legge di capitalizzazione composta: k 1 1 i A i k i A = tasso annuo; i k = tasso periodale k = n di volte per cui il periodo si ripete in 1 anno Es. Calcolare il TRES di un obbligazione avente: - vita residua di un anno - prezzo d acquisto di 99 - valore nominale di rimborso tasso cedolare (annuo)= 4% - frequenza della cedola semestrale A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 31

32 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (6/8) Pr=99 C=2 C=2 t 1 t 2 VN= Tres 1 Tres s s Tres 21 Tres s s Ponendo (1+ Tres s )= x 99x 2 2x x 1, x x A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 32

33 Esempi: calcolo del TRES di un titolo (7/8) Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x 1Tres s Tres s % Tres a Tres s 2.52% 99 Per ottenere direttamente il tasso annuo Tres 1 Tres a Tres 21 Tres a a a Ponendo (1+ Tres a ) 0.5 = x 99x 2 2x Tres a Tres a % A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 33

34 Esempi : calcolo del TRES di un titolo (8/8) d) Rendita perpetua o consol: per un obbligazione senza data di scadenza e senza rimborso del capitale, con cedola fissa pari a C, si ha P c C i c i c C P c Tale formula fornisce un approssimazione utile per il calcolo del rendimento di obbligazioni dalla scadenza molto lunga (es. 20 anni) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 34

35 TRES con cedola in corso di maturazione (1/2) Finora abbiamo supposto che il titolo venga negoziato in data di emissione o di stacco cedola, così che il prezzo tel quel sia uguale a quello di aggiudicazione in asta o al corso secco sul secondario (e le cedole future maturano per anni o semestri interi) Rimuoviamo questa ipotesi semplificatrice e immaginiamo un titolo negoziato con cedola in corso di maturazione Chiamando x il numero di giorni trascorsi dall ultimo stacco cedola ed n il numero di cedole residue, il TRES deve essere così determinato: P telquel = σn k=1 FC k (1+TRES) t k x 365 A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 35

36 TRES con cedola in corso di maturazione (2/2) Esempio: Corso secco 105 Cedola annua 5% Vita residua 3 anni e 8 mesi Data di negoziazione 1/09/2012 Data di scadenza 1/05/2016 Giorni rateo: = (1+TRES) ( ) (1+TRES) ( ) (1+TRES) ( ) (1+TRES) ( ) Con la funzione Excel TIR.X o con il risolutore è possibile vedere come il TRES sia uguale a circa % A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 36

37 Il rendimento dei titoli con cedola variabile (1/3) Nel caso dei titoli con cedola variabile, il calcolo del TRES è complicato dalla natura aleatoria dei flussi periodici Consideriamo un titolo con rimborso alla pari, prima cedola nota c e cedole successive pari ad un parametro di riferimento i rif più uno spread s L indicatore utilizzato è definito Tasso di Rendimento Tendenziale (TRET) e risulta così definito P telquel = c n 1 + TRET t 1 + k=2 i rif + s TRET t k TRET t n A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 37

38 Il rendimento dei titoli con cedola variabile (2/3) Per procedere al calcolo del TRET occorre dare un valore al parametro di riferimento i rif E possibile procedere in due modi: Stimare il parametro con un modello matematico di riferimento o utilizzare i tassi impliciti nella curva dei rendimenti per scadenza Applicare per tutte le scadenze successive il valore dell ultimo stacco cedola o l ultimo valore noto alla data di valutazione La differenza tra TRET e parametro di riferimento è detta margine finanziario e può essere così interpretata: Se il margine finanziario è maggiore dello spread significa che il mercato richiede un premio al rischio maggiore di quello fissato dall emittente (e viceversa) Tale interpretazione si base comunque sull ipotesi di costanza del parametro di riferimento, tutt altro che verosimile A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 38

39 Il rendimento dei titoli con cedola variabile (3/3) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 39

40 Il rendimento dei titoli indicizzati (1/4) Così come per i titoli a cedola variabile, anche per i titoli indicizzati ci sono difficoltà nel calcolo del TRES Consideriamo un titolo che paga cedole date dal prodotto di un tasso reale r c per il capitale rivalutato alla data di stacco cedola (C riv,k ), pari al capitale nominale (C vn ) per un coefficiente di indicizzazione (CI pc, k ) riferito alla variazione dei prezzi al consumo tra la data di emissione e quella di stacco del flusso. Il valore di rimborso (C ind ) è dato dal prodotto tra il capitale nominale (C vn ) e un coefficiente di indicizzazione (CI pc, n ) riferito alla variazione dei prezzi al consumo tra la data di emissione e quella di scadenza del titolo A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 40

41 Il rendimento dei titoli indicizzati (2/4) Un primo indicatore utilizzabile è il Tasso di Rendimento Indicizzato (TRIN): n Pr = k=1 r c C riv,k 1 + TRIN t k + C ind 1 + TRIN t n Rispetto al TRET, il calcolo è reso ancora più difficile dal fatto che nessuna componente risulta certa, neppure la prima cedola, in quanto il parametro di indicizzazione è noto solo alla fine del periodo di maturazione degli interessi. Pur essendo possibile procedere alla sua stima, il TRIN risulta soggetto ad ampi margini di errore e risulta di scarso utilizzo operativo A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 41

42 Il rendimento dei titoli indicizzati (3/4) Un alternativa è il Tasso di Rendimento Reale (TRR), calcolato ipotizzando tutte le cedole future pari a r c, il rimborso al valore nominale e il prezzo pagato al netto del coefficiente di indicizzazione Il rendimento ottenuto è un rendimento reale; per essere confrontato con quello offerto da altri investimenti dovrebbe essere maggiorato di un tasso di inflazione medio previsto per l holding period di riferimento, il che richiede una stima come nel caso del TRIN (seppure meno puntuale, essendo necessaria una media e non una previsione puntuale su ogni scadenza) A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 42

43 Il rendimento dei titoli con rimborso per ammortamento (1/2) Il rimborso progressivo può avvenire con due diverse modalità, che sono equivalenti per l emittente, ma non per il sottoscrittore: L emittente rimborsa ogni anno integralmente una certa quota di titoli, selezionati per estrazione. In questo caso, è necessario prevedere tutti i possibili scenari con le relative probabilità di accadimento e calcolare il tasso di rendimento a scadenza come valore atteso L emittente rimborsa ogni anno una certa quota del prestito a tutti i sottoscrittori A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 43

44 Il rendimento dei titoli con rimborso per ammortamento (2/2) Nel secondo caso, si procede al calcolo del Tasso di Rendimento Effettivo Medio (TREM) n P telquel = k=1 c k + C k 1 + TREM t k dove c k è la cedola fissa periodica e C k la quota capitale rimborsata ogni anno A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 44