03 - Le funzioni reali di variabile reale

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1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale ppunti del corso di Matematica 03 - Le funzioni reali di variabile reale nno ccademico 2013/2014 D Provenzano

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3 1 Introduzione 2 Generalitá sulle funzioni bbiamo giá introdotto il concetto di relazione come una legge che, dati due insiemi e non vuoti, associa a certi elementi di uno o piú elementi di Per formalizzare l esistenza di tale relazione tra i due insiemi abbiamo usato la scrittura R : ovvero R = {(a, b) : arb} Vogliamo adesso introdurre il concetto di funzione, essendo tale concetto di fondamentale importanza nello studio della matematica Quando acquistiamo un bene di consumo diciamo che il prezzo totale pagato é funzione della quantitá complessivamente acquistata llo stesso modo si dice che lo stato di salute di un individuo é funzione dello stile di vita che conduce In tutti questi caso evidenziamo l esistenza di una qualche relazione tra una variabile (il prezzo pagato ovvero il benessere di un individuo) ed un altra Il termine funzione appartiene quindi al nostro linguaggio corrente Vogliamo ora darne una definizione rigorosa 2 Generalitá sulle funzioni Definizione Siano e due insiemi non vuoti Una funzione (o applicazione) definita nell insieme ed a valori in é una particolare relazione che associa ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di La funzione f definita nell insieme ed a valori in si indica con la scrittura f : che esprime il fatto che f opera da verso Definizione Chiamiamo grafico o diagramma della funzione f : R R il sottoinsieme G f di R R costituito da tutte e sole le coppie (, y) per le quali y = f(): G f = {(, y) R 2 : y = f()} Perché la rappresentazione della relazione su un sistema di assi cartesiani ortogonali descriva l andamento di una funzione é necessario che comunque si tracci una retta parallela all asse delle y essa intersechi il grafico al più in un punto D Provenzano 3

4 2 Generalitá sulle funzioni y O y Grafico di f() = 2 con dom(f) = R e cod(f) = R + {0} Esempio 21 y O y O Il primo grafico dell esempio 21 descrive una funzione, il secondo descrive una relazione I due insiemi e che caratterizzano la funzione si dicono rispettivamente insieme di partenza, ovvero dominio o anche insieme di definizione della funzione, e insieme di arrivo della funzione Se con si indica il generico elemento di, allora f() è l elemento di che la funzione f associa a e si chiama immagine della tramite la funzione f Spesso accade che una funzione venga assegnata senza specificare dominio e insieme di arrivo, bensí fornendo esclusivamente la legge che permette di associare ad la corrispondente immagine f() In tal caso si conviene di scegliere come dominio della funzione l insieme dei numeri reali per i quali l espressione analitica che esprime la legge non perda di significato e come insieme di arrivo l insieme dei valori reali distinti assunti dalla funzione 4 D Provenzano

5 2 Generalitá sulle funzioni Definizione Sia f : una funzione Si chiama codominio di f o insieme delle immagini di f, e si denota con cod(f), im(f) o f(), l insieme i cui elementi sono le immagini di tutti gli elementi di : cod(f) = im(f) = f() = {f(), } L insieme si può pensare come un insieme che deve contenere almeno cod(f) Gli eventuali numeri reali che appartengono a ma non appartengono al codominio della funzione non giocano alcun ruolo Il codominio di una funzione é quindi un sottoinsieme, proprio o improprio, dell insieme di arrivo: cod(f) Precisamente si tratta degli elementi di che la f assume al variare di in Facendo uso dei diagrammi di Eulero-Venn possiamo rappresentare una funzione nel seguente modo: f f() cod(f) Esempio 22 Sia f una funzione da in, con = {1, 3, 4, 5} e = {0, 2, 7} La funzione f : risulta cosí definita: f(1) = 0, f(3) = 2, f(4) = 0, f(5) = Non v é dubbio che quella rappresentata nell esempio 22 sia una funzione Infatti e sono due insiemi non vuoti ed inoltre ad ogni elemento di D Provenzano 5

6 2 Generalitá sulle funzioni è associato, mediante la f, uno ed un solo elemento di L elemento 7 non é immagine di alcun elemento di ma ciò non contraddice la definizione di funzione Esempio 23 Sia f una funzione da in, con = {1, 3, 4, 5} e = {0, 2, 7} La funzione f : risulta cosí definita: f(1) = 0, f(1) = 2, f(3) = 2, f(4) = 0, f(5) = Esempio 24 Sia f una funzione da in, con = {1, 3, 4, 5} e = {0, 2, 7}, La funzione f : risulta cosí definita: f(1) = 0, f(4) = 0, f(5) = Quelle rappresentate nell esempio 23 e 24, invece, non sono funzioni perché, sebbene e siano ancora due insiemi non vuoti, la definizione di funzione in entrambi i casi non é verificata Nel primo caso allo stesso elemento 1 sono associati, mediante la f, due elementi 0 e 2 di, mentre nel secondo caso all elemento 3 non é associato alcun elemento dell insieme 6 D Provenzano

7 3 Funzione surgettiva, iniettiva e bigettiva Esempio 25 Si consideri la funzione f : R R f() = 2 = R cod(f) = R + {0} Esempio 26 La funzione f() = associa a la sua radice quadrata In tal caso, visto che il numero è definito se e solo se 0, allora: dom(f) = R + {0} cod(f) = R + {0} Esempio 27 Si consideri la funzione f() = log a () Si tratta della funzione logaritmo in base a, con a > 0 e a 1 Poiché tale funzione é definita soltanto per valori positivi della, mentre puó assumere tutti i valori compresi tra e +, risulta: dom[log a ()] = R + cod[log a ()] = R Definizione Si dice che f : è una funzione reale di variabile reale se e sono sottoinsiemi di R 3 Funzione surgettiva, iniettiva e bigettiva Definizione Si dice che f : R R è una funzione surgettiva se f() = o equivalentemente se y, : f() = y In altre parole, una funzione f é surgettiva se il suo codominio e l insieme di arrivo coincidono: = cod(f) Definizione Si dice che f : R R è una funzione iniettiva se 1, 2 : 1 2 f( 1 ) f( 2 ) Cioè, f è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio Definizione Una funzione f : R R si dice funzione bigettiva se è iniettiva e surgettiva In tal caso si dice anche che gli insiemi e sono in corrispondenza biunivoca La funzione dell esempio 31 é surgettiva Infatti: f() = = {7, 4} D Provenzano 7

8 3 Funzione surgettiva, iniettiva e bigettiva Esempio 31 = {1, 3, 2}, = {7, 4} f : f(1) = 7, f(3) = 4, f(2) = Esempio 32 = {1, 3, 2}, = {7, 6, 4, 8} f : f(1) = 7, f(3) = 4, f(2) = La funzione f dell esempio 32 è una funzione iniettiva infatti, scelti comunque due elementi distinti in le corrispondenti immagini sono elementi distinti dell insieme 8 D Provenzano

9 4 Funzione pari e funzione dispari Esempio 33 1 = {1, 3, 2} = {7, 6, 4} f(1) = 7, f(3) = 4, f(2) = Funzione pari e funzione dispari Definizione Sia un insieme simmetrico rispetto all origine e sia f : R R una funzione reale di variabile reale, si dice che la funzione f() é pari se f( ) = f() Una funzione pari è simmetrica rispetto all asse delle y ed infatti il punto medio del segmento che unisce i punti (, f()), (, f( )) giace sull asse delle y y 0 Grafico di una funzione pari D Provenzano 9

10 5 Funzione composta e funzione inversa Esempio 41 La funzione f() = 2 é pari Infatti R, f() = f( ) = 2 Definizione Sempre nell ipotesi che sia un insieme simmetrico rispetto all origine, diremo che la funzione f : R R è dispari se f( ) = f() Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine degli assi Esempio 42 La funzione f() = 3 é dispari Infatti ( R) risulta f( ) = f() = 3 y 2 8 O 8 2 Grafico di una funzione dispari 5 Funzione composta e funzione inversa Definizione Siano f e g due funzioni cosí definite f : R R g : C R R e tali che f() C allora, comunque si scelga un elemento in, ad esso, per definizione di funzione, si può associare l elemento f() che, per l ipotesi fatta su f(), appartiene all insieme C Ma se f() è un 10 D Provenzano

11 5 Funzione composta e funzione inversa elemento di C allora su f() si può fare agire la funzione g ottenendo g(f()), che è certamente un elemento dell insieme R La funzione così definita avente come dominio e come insieme di arrivo R prende il nome di funzione composta Schematicamente, : f() g(f()) f() C g(f()) R f g La funzione composta sará indicata con g f : R e risulterá cosí definita, (g f)() = g(f()) f() g(f()) f g g f f() C R R rafico, in sintesi, f associa al generico elemento di l elemento f() f() C, visto che f() C allora é possibile considerare l elemento g(f()) R Esempio 51 La funzione h() = si può pensare come la composizione delle funzioni f : R R f() = g : R + {0} R + {0} g() = Più precisamente h() = (g f)() = g(f()) = g( 2 + 4) = D Provenzano 11

12 5 Funzione composta e funzione inversa Il dominio della funzione composta g f è un sottoinsieme di dom(g f) = { : f() f() C} = { : f() C} In generale, g(f() f(g() anche quando la funzione composta puó essere costruita in entrambi i casi Definizione Sia data la funzione f : R R Si dice che f è invertibile se esiste una funzione g : R R tale che, (g f)() = g(f()) = Una siffatta funzione g, se esiste, si chiama funzione inversa di f e si denota con il simbolo f 1 La funzione inversa é, pertanto, quella funzione che associa all elemento y = f() dell insieme esattamente l elemento dell insieme su cui agiva la funzione f La funzione f e la sua inversa f 1 hanno dominio e codominio invertito f y = f() f 1 Teorema 51 Una funzione f è invertibile f è bigettiva Per determinare l equazione della funzione inversa, se possibile, si deve esprimere in funzione di y Si ottiene un espressione algebrica che rappresenta l equazione della funzione inversa con il ruolo delle variabili scambiato: a partire da y = + 1 si ricava = y 1 e scambiando il ruolo della variabili si determina f 1 () = 1 La funzione trovata è l inversa della data Per esempio, ponendo = 7 nella funzione f() = + 1, si ottiene f(7) = = 8 Sostituendo il valore = 8 nella funzione inversa f 1 = 1 si ottiene nuovamente f 1 (8) = 8 1 = 7 Piú in generale, e y : (f 1 f)() = f 1 (f()) = f 1 ( + 1) = = (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)) = f(y 1) = y = y 12 D Provenzano

13 5 Funzione composta e funzione inversa Esempio 52 Si consideri la funzione esponenziale di base 2 f() = 2 Si tratta di una funzione bigettiva e dunque invertibile, definita in R ed avente come codominio R + f : R R + La funzione inversa f 1 () = log 2 () avrà allora come dominio R + e come codominio R f 1 : R + R Esempio 53 Si consideri la funzione: f : R R + {0} f() = 2 Questa funzione non é bigettiva e dunque non é invertibile Per poter ottenere una funzione invertibile bisogna considerare una restrizione del dominio che renda la funzione iniettiva Se consideriamo la precedente funzione definita esclusivamente nei reali non negativi: f : R + {0} R + {0} allora la funzione inversa esiste ed é f 1 : R + {0} R + {0} f 1 () = y O y 0 0 f() = 2 0 y 0 f 1 () = Grafico di f() = 2 e della sua inversa f 1 () = D Provenzano 13

14 7 Massimi e minimi di una funzione, estremo superiore ed estremo inferiore In un sistema di assi cartesiani, il grafico della funzione inversa risulta simmetrico a quello della funzione di cui rappresenta l inversa rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante 6 Funzione crescente, decrescente, monotona, positiva Definizione Sia f : R R llora f si dice: crescente se 1, 2 : 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ); non decrescente se 1, 2 : 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ); decrescente se 1, 2 : 1 < 2 ) f( 1 ) > f( 2 ); non crescente se 1, 2 : 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ); Se f verifica almeno una delle precedenti proprietà si dice monotona In particolare se f è crescente o decrescente allora si dice che è strettamente monotona La monotonia in senso stretto é condizione sufficiente per garantire l esistenza della funzione inversa Essa invece non é condizione necessaria perché, se la funzione non é continua, essa puó realizzare una corrispondenza biettiva (e quindi risultare invertibile) anche se non é monotona Definizione Una funzione è positiva (negativa) se il codominio della funzione, cod(f), contiene soltanto valori positivi (negativi) Definizione Una funzione è non negativa (non positiva) se il codominio della funzione, cod(f), contiene soltanto valori positivi o nulli (negativi o nulli) 7 Massimi e minimi di una funzione, estremo superiore ed estremo inferiore Definizione Si consideri la funzione f : R R, si dice che f ammette minimo se l insieme cod(f) ammette minimo, ossia se m : f(m) f(), In tal caso si pone min(f) = min(cod(f)) = f(m) nalogamente, se M : f(m) f(),, si pone: ma(f) = ma(cod(f)) = f(m) e diremo che la funzione ammette massimo f(m) cod(f) Se f ammette minimo per m (massimo per M ), allora m (M) si dice ascissa di punto di minimo (massimo) per f o anche ascissa di punto di minimo assoluto (massimo assoluto) per f 14 D Provenzano

15 Definizione Si consideri la funzione f : R R 8 Funzione covessa e concava si dice che m é punto di minimo relativo per la funzione f quando I(m) : I(m), risulta f(m) f(); si dice che M é punto di massimo relativo per la funzione f quando I(M) : I(M), risulta f(m) f() Definizione Diremo che L é l estremo superiore della funzione f se:, f() L; ϵ > 0, almeno un : f() > L ϵ Definizione Diremo che l é l estremo inferiore della funzione f se:, f() l; ϵ > 0, almeno un : f() < l + ϵ Definizione Si consideri la funzione f : R R Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente) se l insieme cod(f) è limitato superiormente (inferiormente), cioé quando il codominio della funzione ammette estremo superiore (inferiore) La funzione f si dice limitata (illimitata) se l insieme cod(f) ammette estremo superiore ed estremo inferiore finiti (infiniti) Una funzione limitata é tale per cui, dati l, L R, con l < L l f() L, 8 Funzione covessa e concava Definizione Si consideri un intervallo I (aperto o chiuso, né aperto né chiuso, limitato o illimitato) e la funzione f : I R R Si dice che f é una funzione convessa quando, 1, 2 I, e t [0, 1], vale la seguente disuguaglianza tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ) f[t( 1 ) + (1 t)( 2 )] La funzione é detta strettamente convessa quando la precedente disuguaglianza vale in senso stretto Definizione Si consideri la funzione f : R R Si dice che f é una funzione concava quando, 1, 2, e t [0, 1], vale la seguente disuguaglianza tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ) f[t( 1 ) + (1 t)( 2 )] La funzione é detta strettamente concava quando la precedente disuguaglianza vale in senso stretto D Provenzano 15