MATEMATICA. Definizioni:

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1 Definizioni: Funzione: dati due insiemi A e B, dove A è l insieme di partenze e B quello di arrivo, una funzione tra di essi è una relazione che ad ogni elemento dell insieme A associa uno e un solo elemento dell insieme B. Dominio: insieme che contiene tutti i valori di che danno un senso alla funzione, cioè tutti gli elementi che possono essere messi in relazione tramite la funzione; è l insieme di partenza. Codominio: insieme delle associate alle ; è l insieme delle immagini. Immagini: tutte le che sono collegate alle. Contro immagini: tutte le che sono collegate alle. Grafico: insieme dei punti su un piano cartesiano del tipo P:( ; tale che ƒ(= Funzione crescente: se prese due qualsiasi dal dominio della funzione, dove una è minore dell altra, allora il valore della funzione data dalla più piccola è minore del valore della funzione data dalla più grande. f( 2 V ; 2 Є Dominio dove < 2 ƒ( < ƒ( 2 f( 2 Funzione decrescente: se prese due qualsiasi dal dominio della funzione, dove una è minore dell altra, allora il valore della funzione data dalla più piccola è maggiore del valore della funzione data dalla più grande. f( V ; 2 Є Dominio dove < 2 ƒ( > ƒ( 2 f( 2 2 Funzione pari: quando il grafico è simmetrico rispetto all asse ƒ( = ƒ(- Funzione dispari: quando il grafico è simmetrico rispetto all origine ƒ( = -ƒ(-

2 Funzione di retta: ƒ( = m + q m: coefficente angolare funzione crescente: m > 0 funzione costante: m = 0 funzione decrescente: m < 0 q q q m Є R q Є R Funzione costante o di retta orizzontale: ƒ( = q Funzione identità: ƒ( = q Є R Dominio = R Grafico: bisettrice Funzione di una parabola: ƒ( = a 2 + b + c a > 0 : a < 0 : Vertice: (-b ; 2a 4a > 0 : 2 intersezioni con l asse = 0 : intersezione con l asse < 0 : 0 intersezioni con l asse Dominio = R = b 2-4ac /2 = -b ± 2a Funzione modulo o funzione a tratti: ƒ( = : 0 - : 0 crescente: positive decrescente: negative ƒ( = - ƒ( = Funzione irrazionale: ƒ( = Dominio: > 0

3 Funzione irrazionale: ƒ( = 3 Dominio = R Funzione fratta: ƒ( = Dominio: 0 Funzioni periodiche o goniometriche: ƒ( = sen(m + k ƒ( = cos(m + k ƒ( = tan(m + k Teoria: Q P La circonferenza deve avere raggio. Il coseno è l ascissa ( del punto P. - α Il seno è l ordinata ( del punto P. Il punto P è il punto di intersezione tra la circonferenza di raggio e la semiretta che forma l angolo. - La tangente è l ordinata ( del punto Q; cioè il punto di intersezione tra la retta = e la semiretta. Alla funzione seno e coseno posso dare qualsiasi angolo, cioè il dominio sarà uguale a R. Il seno e il coseno mi restituiscono valori che vanno da a - (per la dimensione della circonferenza. La tangente non accetta angoli di 90, 270, 450,... ma restituisce qualsiasi valore. Il coseno e il seno sono funzioni periodiche di periodo 360 (2Π, perchè dopo aver passato i 360 i valori si ripetono. Il periodo della tangente è di 80 (Π. Relazione fondamentale: cos 2 α + sin 2 α = tgα = sinα cosα Gradi e radianti: Due semirette con la stessa origine formano 2 angoli, uno interno e uno esterno. Noi prendiamo in considerazione quello interno. Si misura in: gradi: = 360 parte di un angolo giro radianti: α r = l r l : lunghezza r : raggio α r l Radianti: l angolo di un radiante sottende un arco di lunghezza uguale al raggio

4 Funzione seno: ƒ( = sen(m + k Dominio: R La funzione è dispari. Per risolvere la funzione: ƒ( = sen(3 + 2 Dominio: R - Intersezione asse = sen(3 + 2 = 0 0 = sen( = sen( = 0 + k k80 : è la periodicità della funzione = 0 + k80 3 = 0 + k = k80 3 = k60 = - 0,6 + k60 3 Intersezione asse = sen(3 + 2 = 0 = sen( = sen 2 = 0,03 T = 360 = 20 T : il periodo cambia in base alla funzione 3 T = 2Π m Studio del segno: per trovare gli intervalli all interno dei quali calcolare il segno dobbiamo inserire, in = - 0,6 + k60, al posto della k un numero: = - 0, il risultato è un altro punto in cui la funzione interseca l asse ; basta trovare altri 2 punti di intersecazione e calcolare un numero all interno dell intervallo per sapere il segno della funzione. = - 0, = - 0,6 = - 0, = 59,4

5 L intervallo che ho trovato va da -0,6 a 59,4. ƒ(45 = sen( sen 37 = 0,7 = + Funzione coseno: ƒ( = cos(m + k La funzione è pari. Dominio: R Per risolvere la funzione: ƒ( = cos(2 + - Dominio: R Intersezione asse = cos(2 + = 0 0 = cos(2 + 0 = cos( = 90 + k k80 : è la periodicità della funzione 2 + = 90 + k80 2 = 90 + k = 89 + k80 = 44,5 + k90 2 Intersezione asse = cos(2 + = 0 = cos(2 0 + = cos = 0,99 T = 360 = 80 T : il periodo cambia in base alla funzione 2 T = 2Π m Studio del segno: per trovare gli intervalli all interno dei quali calcolare il segno dobbiamo inserire, in = 44,5 + k90, al posto della k un numero: = 44, il risultato è un altro punto in cui la funzione interseca l asse ; basta trovare altri 2 punti di intersecazione e calcolare un numero all interno dell intervallo per sapere il segno della funzione. = 44, = 44,5

6 = 44, = 35 L intervallo che ho trovato va da 44,5 a 35. ƒ(60 = cos( cos 2 = -0,5 = - Funzione tangente: ƒ( = tg(m + k La funzione è dispari. Funzioni esponenziali: ƒ( = a a a > 0 Dominio: R Є N appartiene ai nr interi positivi 2 3 = = 0 0 = forma indeterminata Є Z appartiene ai nr interi negativi 2-3 = = 2 Є Q appartiene ai nr razionali (frazioni 2 2/3 = /2 = Є R appartiene ai nr irrazionali (Π, е, 2,... 2 Π = 2 3,4 Grafico ƒ( = a : a > 0 < a <

7 Proprietà delle potenze: 2 a 2 b = 2 a + b 2 a : 2 b = 2 a - b (2 a b = 2 a b 2 a 3 a = (2 3 a Funzioni logaritmiche: ƒ( = log a ( Dominio: > 0 a > > 0 Il logaritmo è la funzione inversa dell esponenziale. Una funzione per avere la sua inversa deve essere iniettiva, cioè prese due diverse le associate devono essere diverse. log a b = c a c = b 2 3 = 8 log 2 8 = 3 Proprietà dei logaritmi: log 2 (a b = log 2 a + log 2 b log 2 (a : b = log 2 a - log 2 b log 2 a b = b log 2 a Grafico ƒ( = log a ( a > a < Ordine di grandezza tra infiniti: Funzione esponenziale: ƒ( = a a > Funzione di una parabola: ƒ( = a 2 + b + c a > 0 Funzione di una retta: ƒ( = m + q m > 0 Funzione di un logaritmo: ƒ( = log a a > e > 0