LICEO delle SCIENZE UMANE B. PASCAL
|
|
- Gianpaolo Benedetto Bosco
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LICEO delle SCIENZE UMANE B. PASCAL Prof. Loredana Mannarino
2 INDICE 1. FUNZIONI ESPONENZIALI 1.1. Richiami sulle potenze Il grafico della funzione esponenziale Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali FUNZIONE LOGARITMICA 2.1. Definizione e proprietà Il grafico della funzione logaritmica Equazioni logaritmiche Disequazioni logaritmiche GONIOMETRIA 3.1. La misura degli angoli La circonferenza goniometrica I grafici delle funzioni goniometriche Formule fondamentali Angoli associati Formule goniometriche TRIGONOMETRIA 4.1. Relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Teoremi in un triangolo qualsiasi CALCOLO COMBINATORIO 5.1. Permutazioni Disposizioni Combinazioni 24 2
3 1. FUNZIONI ESPONENZIALI 1.1 Richiami sulle potenze Il concetto di potenza, che inizialmente è stato introdotto nel caso in cui l esponente è un numero naturale e poi ampliato agli esponenti interi negativi si può estendere anche agli esponenti razionali e successivamente agli esponenti irrazionali. Nel caso di potenze ad esponente intero e razionale, valgono le regole di seguito indicate: - Potenze ad esponente intero negativo a = ( ) = a ( ) = ( ) con a R 0, b 0, n N - Potenze ad esponente razionale a = a a = con a R >0, m N, n N 0 E importante osservare che nella definizione di potenza ad esponente razionale, la base deve essere un numero positivo. Per quanto riguarda le potenze ad esponente irrazionale, è necessario osservare che un qualunque numero irrazionale, pur non potendo essere espresso da una frazione, può essere approssimato sia per eccesso che per difetto mediante numeri razionali. Ciò consente di dare un significato alle potenze con base positiva ed esponente irrazionale. La potenza 3 per esempio, ha significato se si considerano le potenze di 3 con esponenti razionali uguali ad approssimazioni della 2. Le approssimazioni razionali di 2 per esempio, rappresentate da numeri decimali con 1, 2, 3, cifre decimali sono: 1,4 = < 2 < 1,5 = ,41 = < 2 < 1,42 = ,414 = < 2 < 1,415 = , e 3, sono approssimazioni per difetto e per eccesso di 3 cioè: 3, = 4,65 <3 < 5,19 = 3, e, considerando approssimazioni migliori 3, e 3, si ha 3, =4,70 < 3 < 4,75 =3,. Continuando con approssimazioni sempre migliori si possono determinare quante cifre dopo la virgola si vogliono ed individuare così il numero 3. 3
4 In sintesi: una potenza con base positiva ha significato sia se l esponente è un numero razionale che irrazionale e quindi, si può considerare una potenza con base positiva ed esponente reale qualsiasi. Le proprietà delle potenze esponente reale già viste negli anni precedenti, valgono anche per le potenze ad a α a β = a α+β a α : a β = a α-β (a α ) β = a α β a α b α = (a b) α a α : b α = (a:b) α con b Il grafico della funzione esponenziale La funzione esponenziale costituisce il modello matematico di numerosi fenomeni di varia natura (fisici, chimici, biologici, economici ) nei quali al crescere indefinitamente, in valore assoluto della variabile indipendente x corrisponde un rapido aumento o un rapido avvicinarsi allo zero della variabile dipendente y. Si parla, rispettivamente di crescita esponenziale o di decadimento esponenziale. Definizione: Se a è un numero reale positivo, esiste per qualsiasi valore di x R il numero a x ed è definita la funzione f: x a x di equazione y=a x Nel caso particolare di a=1 si ha y=1 x = 1 che è l equazione di una funzione costante per qualsiasi valore di x R ; escluso questo caso particolare, si ha che: y=a x con a>0 e a 1 è l equazione della funzione esponenziale di base a Escludendo il caso a=1, relativamente ai valori della base a, possono presentarsi due casi: a>1 0<a<1 che corrispondono a due diversi grafici per la funzione esponenziale Consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base a>1: y=2 x e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate nella tabella sottostante 4
5 x y= 2 x P (x; y) =1 A(0;1) =2 B(1;2) =1/2 C (-1;1/2) =4 D(2;4) =1/4 E(-2;1/4) Riportando nel piano cartesiano i punti A, B, C.ottenuti, si ottiene il grafico caratteristico della funzione esponenziale, nel caso in cui la base è >1 E y= 2 x C A B Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base a>1: la funzione è definita per tutti i valori dell asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è crescente (al crescere dei valori della x crescono anche i valori della y) Analogamente a quanto fatto per la base >1, consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base 0<a<1, = 1 2) x, riportiamo in tabella e poi nel piano cartesiano alcuni punti: D 5
6 x y= ( ) P (x; y) 0 ( 1 2 ) = 1 A(0;1) 1 ( 1 2 ) = 1 2 B(1; ) -1 ( 1 2 ) = 2 C (-1;2) 2 ( 1 2 ) = 1 4 D(2; ) -2 ( ) =4 E(-2;4) E 4 y = (1/2)x C A B D Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base 0<a<1: la funzione è definita per tutti i valori dell asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è decrescente (al crescere dei valori della x decrescono i valori della y) NOTA: La funzione esponenziale più importante è quella che ha per base il numero irrazionale e, detto numero di Nepero e= 2, Poiché risulta e>1 la funzione esponenziale y= e x è crescente. Un altra funzione molto utilizzata è y= e -x =(1/e) x che è decrescente. 6
7 1.3. Equazioni esponenziali Definizione : si definisce equazione esponenziale un equazione in cui l incognita figura nell esponente di almeno una potenza. La forma canonica di un equazione esponenziale è la seguente: a = a a 0 e a 1 da cui è possibile dedurre che i due membri risulteranno uguali quando, avendo basi uguali, sono uguali gli esponenti, quindi: l uguaglianza si riconduce ad una uguaglianza tra gli esponenti: Esempi: = 3 = = 3 = 3 ( 1 2 ) = 4 2 = = 2 5 = 5 = Disequazioni esponenziali Definizione: si definisce disequazione esponenziale una disequazione in cui l incognita figura nell esponente di almeno una potenza. Una disequazione esponenziale si presenta nelle forme canoniche di seguito riportate. La risoluzione di ciascuna di esse viene ricondotta ad una disuguaglianza tra gli esponenti, (in seguito all andamento del grafico della funzione) come a fianco indicato a < a a 1 < a a a 1 a < a 0 < a < 1 a a 0 < a < 1 < Esempi: 5 < 5 <
8 ( 1 3 ) < (1 3 ) 2 ( 1 4 ) (1 4 ) < 3 2. FUNZIONE LOGARITMICA 2.1 Definizione e proprietà Definizione: si definisce logaritmo in base a del numero b (detto argomento) e si scrive log a b, l esponente da attribuire alla base a per ottenere l argomento b: log a b= a =b a>0 e 1; b>0 In particolare: 1 = 0 a = 1 a = 1 a = a Si definisce logaritmo decimale il logaritmo in base 10 e si scrive: sottintendendo la base, o più semplicemente, Si definisce logaritmo naturale il logaritmo la cui base è il numero di Nepero e, si scrive frequentemente o più Dalla definizione, si può dedurre che valgono le seguenti proprietà fondamentali a = a = b a 0 e 1 b 0 Inoltre è possibile dimostrare le seguenti: - Il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è la somma dei logaritmi dei singoli fattori b = b a 0 e 1 b Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è la differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore ( ) = b a 0 e 1 b Il logaritmo della potenza di un numero positivo è il prodotto tra l esponente e il logaritmo della base della potenza b = b a 0 e 1 b 0 8
9 - Formula per il cambiamento di base b = a 0 e 1 b 0 0 e Il grafico della funzione logaritmica La funzione logaritmica in base a : =loga a>0 e a 1 è la funzione inversa della funzione esponenziale di base a. Si può quindi comprendere come, analogamente alla funzione esponenziale anche per la funzione logaritmica si presentano i due casi: a>1 e 0<a<1 Consideriamo un caso particolare di funzione logaritmica con base a>1: y=log 2 x e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate nella tabella sottostante x y= log 2 x P (x; y) 1/16-4 (0.0625;-4) 1/8-3 (0.125; -3) 1/4-2 (0.25; -2) 1/2-1 (0,5;-1) 1 0 (1; 0) 2 1 (2;1) 4 2 (4;2) 8 3 (8;3) 16 4 (16; 4) 9
10 (16; 4) (8; 3) (4; 2) (2; 1) (1; 0) (0,5; -1) (0,25; -2) (0,125; -3) (0,0625; -4) -5 Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base a>1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa crescente interseca l asse x nel punto (0 ; 1) non interseca mai l asse y (l asse y è asintoto verticale per valori di x vicini a 0) Ripetendo il procedimento nel caso di base 0<a<1 (in particolare ) si ottiene il grafico seguente: 10
11 5 4 (0,0625; 4) 3 (0,125; 3) 2 (0,25; 2) (0,5; 1) (1; 0) (2; -1) (4; -2) (8; -3) (16; -4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base 0<a<1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa decrescente interseca l asse x nel punto (0 ; 1) non interseca mai l asse y (l asse y è asintoto verticale per valori di x vicini allo 0) 11
12 2.3 equazione logaritmiche Si definisce equazione logaritmica un equazione in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. La forma canonica è la seguente: = Da cui è possibile ricondurre l equazione di partenza ad una uguaglianza tra gli argomenti dei logaritmi (essendo le basi uguali) quindi: = N.B: nel risolvere l equazione, occorre verificare l accettabilità delle soluzioni trovate. Sono accettabili tutti i valori che rendono gli argomenti dei logaritmi positivi. Esempio: 2 = applicando la proprietà del logaritmo di una potenza, si ha = da cui, uguagliando gli argomenti si ha = che è un equazione di II grado, scrivendola in forma canonica e risolvendola, si ottiene = 0, = = = 2 = 3 Condizioni di accettabilità: { 0 0 { 0 0 Pertanto delle due soluzioni trovate, l unica accettabile è x=3 2.4 Disequazioni logaritmiche Definizione: si definisce disequazione logaritmica un equazione in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. Forme canoniche sono quello sotto indicate che vengono ricondotte alle disuguaglianze tra gli argomenti (per la tipologia del grafico) a fianco indicate: Se la base a del log è a >1 < < 12
13 Se la base a del log è 0<a<1 < < Nota: al posto del simbolo < o > può figurare anche oppure Esempio: 3 5 < < Condizione di accettabilità: Pertanto la soluzione trovata essendo > -5/3 è accettabile Esempio: Condizioni di accettabilità: { { 1 3 < 1 3 < < La soluzione della disequazione sarà pertanto 4<x<7 13
14 3. GONIOMETRIA 3.1 La misura degli angoli La goniometria è quella scienza che si occupa della misura degli angoli. Partendo dalla definizione è evidente come sia necessario per prima cosa definire cosa si intende per angolo e come si misura. Definizione: si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: si dice arco (di circonferenza) l intersezione tra una circonferenza e un angolo al centro della circonferenza stessa. Definizione: si definisce grado la 360 parte dell angolo giro. Consideriamo un angolo al centro α di due circonferenze C e C1 di raggi r e r1. Detti l e l1 gli archi corrispondenti, si ha che 1 = 1 Oltre ai gradi sessagesimali, un altra unità di misura degli angoli è il radiante che è definito come l angolo al centro di una circonferenza che corrisponde ad un arco di lunghezza uguale al raggio. Se g è la misura in gradi di un angolo e α la misura in radianti dello stesso angolo, si ha: 360 :2π= :α da cui = oppure α = Nella tabella sottostante vengono riportati alcuni angoli notevoli espressi in gradi e il corrispondente valore in radianti 14
15 3.2 La circonferenza goniometrica E una circonferenza che ha origine nel centro degli assi cartesiani e raggio unitario e nella quale si assume come senso di rotazione positivo quello antiorario. A partire dalla circonferenza goniometrica si definiscono le funzioni goniometriche principali: seno (indicato con senα); coseno (indicato con cosα) e tangente (indicata con tgα) senα= OQ=y P cosα= OR=x P tgα= TS=y T definita per α Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, il sen è il valore dell ordinata y p del punto P, determinato dall intersezione, sulla circonferenza goniometrica, del lato OP che delimita l angolo con la circonferenza appunto. Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, il cos è il valore dell ascissa x p del punto P determinato dall intersezione, sulla circonferenza goniometrica, del lato OS che delimita l angolo con la circonferenza appunto. Fissato un angolo e la circonferenza goniometrica, la tg è il valore dell ordinata y T del punto T determinato dall intersezione, tra il lato OP che delimita l angolo e la retta tangente alla circonferenza nel suo punto di ascissa 1. alle definizioni date è evidente che le funzioni -1 senα 1 e -1 cosα 1 mentre la funzione tgα può assumere un qualunque valore reale, ma non è definita per valori dell angolo pari a
16 3.3 I grafici delle funzioni goniometriche Dalla definizione data è possibile ottenere l andamento della funzione sen al variare dell'angolo e analogamente, per le funzioni cos e tg si ottiene: 16
17 La tabella sottostante, riporta i valori di sen cos e tg per alcuni angoli notevoli 3.4 formule fondamentali Riprendendo la circonferenza goniometrica, nel piano cartesiano la sua equazione è: = 1 Per le definizioni date di sen e cos, è evidente che la relazione precedente può essere scritta nella forma e a α = 1 nota come prima formula fondamentale Riprendiamo ancora la figura sottostante, si può osservare che i triangoli ORP e OST sono simili, Quindi è possibile scrivere: OR:PR=OS:TS per le definizioni date di sen, cos e tg diventa cos sen =1: tg da cui α = nota come seconda formula fondamentale È opportuno definire anche la funzione reciproca della tg chiamata cotangente (si indica con ctg α = α e α = 1 α 17
18 Le due equazioni fondamentali, possono essere considerate un sistema di due equazioni. Se è noto il valore di una delle funzioni goniometriche, il sistema può essere risolto considerando come incognite i valori delle due restanti: { e a α = 1 α = n α α Vale per esempio: e α = α = 3.5 Angoli associati Nella circonferenza goniometrica consideriamo il punto B1 associato all angolo orientato di misura, avente quindi coordinate B1(cos sen Consideriamo poi i punti B2, B3, B4 simmetrici di B1 rispettivamente rispetto all asse y; all origine; all asse x. B1 (cos ; sen ) B2 (-cos ; sen ) B3 (-cos ; -sen ) B4 (cos ; -sen ) Gli angoli: si dicono associati all angolo punti B2, B3, B4 sono associati agli angoli rispettivamente agli angoli Dal confronto tra le coordinate si ottengono le seguenti relazioni: in π α = in α π α = - α an π α = - an α in π α = - in α π α = - α an π α = an α in 2π α = - in α 2π α = α an 2π α = an α Considerazioni analoghe possono essere fatte considerando gli angoli: α ; α; α; α Si ottengono le seguenti relazioni: in ( π 2 α) = α in ( π 2 α) = α ( π α) = in α 2 an ( α)= α ( π 2 α) = in α an ( α)= - α in ( 3π 2 α) = α in ( 3π 2 α) = α ( 3π 2 α) = in α ( 3π 2 α) = in α an ( α)= α an ( α)= - α 18
19 3.6 Formule goniometriche Formule di addizione in α β = in α β α in β α β = α β in α in β an α β = n α β,α, β, kπ Formule di sottrazione in α β = in α β α in β α β = α β in α in β an α β = n α-β,α, β, kπ Formule di duplicazione in 2α = 2 in α α 2α = α α an 2α = con α +kπ e k Formule di bisezione in α 2 = 1 2 α α 2 = 1 α 2 an = con α π +2kπ Formule parametriche in α = 2t 1 t α = Con t=tan e α π +2kπ 19
20 4.TRIGONOMETRIA E quella parte della matematica che si occupa di risolvere i triangoli cioè determinare gli elementi incogniti quando siano noti tre elementi di cui almeno uno è un lato. 4.1 relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con a, b, c i lati e con e gli angoli opposti a tali lati, come nella figura sottostante Valgono le seguenti relazioni α = α = anα = β = β = anβ = In generale si può dire che il seno, il coseno e la tangente di un dato angolo sono dati rispettivamente dalle relazioni : in = = an = atet t a a te u a atet ad a e te a te u a atet t a a atet ad a e te a a a 20
21 4.2 Teoremi in un triangolo qualsiasi Consideriamo un triangolo qualsiasi e indichiamo con a, b, c i lati e con e gli angoli opposti a tali lati, come nella figura sottostante. E possibile dimostrare che valgono i teoremi sotto indicati: Teorema dei seni a in α = b in β = in γ Teorema del coseno (Carnot) a = b 2b α = a b 2b a α b = a 2b γ Area del triangolo A = 1 2 a b e γ = 1 2 a e β = 1 b e α 2 21
22 5. CALCOLO COMBINATORIO Permette di calcolare in quanti modi si possono combinare, seguendo certi criteri, gli elementi di un dato insieme. I possibili modi di raggruppare permettono di distinguere i raggruppamenti in permutazioni, disposizioni e combinazioni 5.1 Permutazioni Permutazioni semplici: dati n elementi distinti, le permutazioni semplici Pn di questi elementi sono tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l ordine secondo il quale gli n elementi si susseguono. Esempio, nella figura sottostante sono riportati i possibili raggruppamenti con tre elementi distinti A, B,C Il numero di permutazioni possibili è ottenuto dalla relazione: P = =! I imb! è detto fattoriale del numero n" ; esso è il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n. Ad esempio 5!=5*4*3*2*1=120 Si ha in r 0!=1!=1 Riferendosi all esempio, è evidente come le permutazioni di 3 elementi distinti sono 6, cioè sono sei i possibili raggruppamenti che possono essere realizzati a condizione che gli elementi differiscano per l ordine. Applicando la formula P 3 =3! = 3 2 1=6 22
23 5.2 Disposizioni Disposizioni semplici: dati n elementi distinti e un numero k n, le disposizioni semplici Dn,k di n elementi di classe k, sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi dati, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro o per qualche elemento o per l ordine secondo il quale gli elementi si susseguono. L immagine sottostante rappresenta le disposizioni semplici di tre elementi, A, B e C presi 2 a 2, le coppie cerchiate corrispondono ad una scelta di disposizioni dalle quali le altre differiscono per l'ordine degli oggetti (come indicato dalle frecce). Si calcolano con la relazione D, = 1 2 k 1 o anche, usando la forma fattoriale D, =! k! Applicando la relazione, riferendosi all esempio riportato, essendo n = 3 e k= 2 si ha : D, =!! =!! =! = 23
24 5.3 Combinazioni Combinazioni semplici: le combinazioni C n,k di n elementi distinti, di classe k, con k n sono i sottoinsiemi di k elementi distinti di un dato insieme di n elementi Nella figura sottostante gli oggetti cerchiati corrispondono alle combinazioni semplici di 3 oggetti presi 2 a 2. Sono calcolate attraverso la relazione: C, =, = equivalente alla seguente, scritta in forma fattoriale C, = n! n k! k! Applicando la formula, riferendosi all esempio, si ha: n=3; k=2 C, = n! n k! k! = 3! 3 2! 2! = = 3 24
INDICE. 4. TRIGONOMETRIA 4.1. Relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo Teoremi in un triangolo qualsiasi. 21
ISTITUTO B. PASCAL INDICE 1. FUNZIONI ESPONENZIALI 1.1. Richiami sulle potenze...3 1.. Il grafico della funzione esponenziale.4 1.3. Equazioni esponenziali...6 1.4. Disequazioni esponenziali..7. FUNZIONE
DettagliAPPUNTI DI GONIOMETRIA
APPUNTI DI GONIOMETRIA RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: Dicesi
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF / PS-MF IV Lezione TRIGONOMETRIA Dr. E. Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
DettagliTeoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14
Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche
Dettaglidove i simboli α gradi ed α radianti indicano rispettivamente la misura dell angolo in gradi ed in radianti. Da qui si ottengono le seguenti formule
8 Trigonometria 81 Seno, coseno, tangente Un angolo α può essere definito geometricamente come la parte di piano compresa tra due semirette, dette lati dell angolo, aventi origine nello stesso punto O,
DettagliHP VP. (rispettivamente seno, coseno e tangente di β)
Trigonometria Prerequisiti: Nozione di angolo e di arco. Obiettivi convertire le misure degli angoli dai gradi ai radianti e viceversa; sapere le relazioni fra gli elementi (lati, angoli) di un triangolo;
DettagliGoniometria e Trigonometria
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione La goniometria è la parte della matematica
DettagliProgramma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico.
Programma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Funzione esponenziale e logaritmica. a) Riepilogo delle proprietà delle potenze.
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche GONIOMETRIA : scienza
DettagliITI M.FARADAY Programmazione Modulare a.s Matematica
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 Matematica modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche del modulo Ore previste Periodo mensile Competenze MODULO 1 RACCORDO
DettagliITI M.FARADAY PROGRAMMAZIONE DIDATTICA a.s CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4.
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 Matematica MACRO UNITÀ PREREQUISITI TITOLO UNITÀ DI APPRENDIMENTO COMPETENZE PREVISTE PERIODO RACCORDO CON IL BIENNIO U.D.A.1:
DettagliTRIGONOMETRIA. Ripasso veloce
TRIGONOMETRIA Ripasso veloce Definizioni principali Sia u un segmento con un estremo nell origine e l altro sulla circonferenza di centro l origine e raggio (circonferenza goniometrica) che formi un angolo
DettagliTRIGONOMETRIA. Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.
TRIGONOMETRIA DA RICORDARE: Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 80 Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90 Due angoli si dicono opposti quando la
DettagliPROGRAMMAZIONE III Geometri. ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 30
PROGRAMMAZIONE III Geometri ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 30 B Geometria analitica 32 C Goniometria 30 D Trigonometria
DettagliGONIOMETRIA. sin (x) = PH OP. ctg (x ) = cos (x) = CB sin (x) cosec (x ) = 1 = ON sin (x)
GONIOMETRIA sin (x = PH OP cos (x = OH OP tg (x = sin(x = TA cos(x ctg (x = cos (x = CB sin (x sec (x = 1 = OM cos(x cosec (x = 1 = ON sin (x La tangente si calcola sempre sulla retta verticale passante
Dettagli1 Funzioni trigonometriche
1 Funzioni trigonometriche 1 1 Funzioni trigonometriche Definizione 1.1. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza centrata nell origine di un piano cartesiano e raggio unitario. L equazione
Dettagli1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE
1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di
DettagliCLASSI: TerzeMateria: MATEMATICA e COMPLEMENTIOre settimanali previste: 4
CLASSI: TerzeMateria: MATEMATICA e COMPLEMENTIOre settimanali previste: 4 modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche Ore previste Periodo Competenze Modulo 1 RACCORDO CON IL BIENNIO EQUAZIONI (SISTEMI)
DettagliCLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 N. modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche del modulo Ore previste Periodo mensile Competenze 1 Raccordo con il biennio
DettagliPROGRAMMA DI MATEMATICA
A.S. 2015/2016 ALGEBRA - Equazioni letterali fratte PROGRAMMA DI MATEMATICA - Disequazioni di 1 grado ad una incognita intere e frazionarie - Sistemi di disequazioni di 1 o grado in una incognita - Sistemi
DettagliMATEMATICA. Definizioni:
Definizioni: Funzione: dati due insiemi A e B, dove A è l insieme di partenze e B quello di arrivo, una funzione tra di essi è una relazione che ad ogni elemento dell insieme A associa uno e un solo elemento
DettagliCapitolo 3. Le funzioni elementari
Capitolo 3 Le funzioni elementari Uno degli scopi di questo capitolo è lo studio delle funzioni reali di variabile reale, ossia funzioni che hanno come dominio un sottoinsieme di R e codominio R. Lo studio
DettagliMATEMATICA COMPLEMENTI DI MATEMATICA
ISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G. e M. MONTANI FERMO Anno Scolastico 2014/ 15 PROGRAMMA SVOLTO DI Disciplina: MATEMATICA Classe di Concorso A047 3 ore settimanali Disciplina: COMPLEMENTI DI MATEMATICA
DettagliISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G.
ISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G. e M. MONTANI FERMO Anno Scolastico 2015/ 16 PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA 3 ore settimanali COMPLEMENTI DI MATEMATICA 1 ora settimanale Classe: 3^ INFORMATICA sez.
DettagliCLASSE 1B INSIEMI NUMERICI:
IIS Via Silvestri 301 -Roma Plesso Volta. Indirizzo Elettronica ed Elettrotecnica Programma svolto di Matematica a.s. 2018/2019 Prof.ssa Claudia Dennetta CLASSE 1B INSIEMI NUMERICI: Numeri naturali: Le
DettagliPrerequisiti di Matematica Trigonometria
Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Angoli Un angolo è una porzione di piano
DettagliProgramma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016
Programma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016 Le funzioni goniometriche La misura degli angoli Gli angoli e la loro ampiezza La misura in gradi La misura i radianti Dai
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Dettagli1.3. Logaritmi ed esponenziali
1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione
DettagliGli insiemi, la logica
Gli insiemi, la logica 1 Dato l insieme A = {x N : x < 5}, quale delle seguenti affermazioni è falsa: (a) 1 A (b) 5 / A (c) 2 A (d) A (e) {1, } A 2 Sono dati gli insiemi A = {, 5, 7, 9} e B = {5, 7} Quali
DettagliIstituto di Istruzione Secondaria Superiore Statale «Via Silvestri 301» Programma di MATEMATICA
1. MODULO 1: RICHIAMI DI CALCOLO LETTERALE La scomposizione di polinomi e le operazioni con le frazioni algebriche 2. MODULO 2: LE EQUAZIONI Istituto di Istruzione Secondaria Superiore Statale Classe 1
Dettagliche ci permette di passare da un sistema di misura all'altro con le:
Goniometria Misura degli angoli Gli angoli vengono spesso misurati in gradi sessagesimali (1 = 1/360 dell'angolo giro), anche se una Legge dello Stato italiano del 1960 impone di esprimerli in radianti.
DettagliAngolo. Si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O.
Angolo Si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O. Trigonometria - Corso di matematica - Alessia Ceccato 1 Circonferenza goniometrica
DettagliContenuti del programma di Matematica. Classe Terza
Contenuti del programma di Matematica Classe Terza A.S. 2014/2015 Tema Contenuti GEOMETRIA Misura della lunghezza della circonferenza e NEL PIANO area del cerchio. COMLEMENT Equazioni e disequazioni con
DettagliLICEO GINNASIO JACOPO STELLINI
LICEO GINNASIO JACOPO STELLINI Piazza I Maggio, 26-33100 Udine Tel. 0432 504577 Fax. 0432 511490 Codice fiscale 80023240304 e-mail: info@liceostellini.it - Indirizzo Internet: www.stelliniudine.gov.it
DettagliIl valore assoluto (lunghezza, intensita )
Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza
DettagliFunzioni goniometriche
Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE ANGOLI Col termine angolo indichiamo la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine, chiamata vertice. Possiamo definire anche l angolo come la parte di piano
DettagliProgramma di MATEMATICA
Classe 3B Indirizzo ELETTRONICA ED ELETTROTECNICA 1. MODULO 1: GEOMETRIA ANALITICA La parabola: la parabola come luogo geometrico del piano. Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano e ricerca
DettagliGli insiemi, la logica
Gli insiemi, la logica 1 Dato l insieme A = {x N : x < 5}, quale delle seguenti affermazioni è falsa: (a) 1 A (b) 5 / A (c) A (d) A risp (e) {1, } A Sono dati gli insiemi A = {, 5, 7, 9} e B = {5, 7} Quali
DettagliAnno Scolastico:
LICEO SCIENTIFICO DI STATO "G. BATTAGLINI" TARANTO PROGRAMMA DI MATEMATICA svolto nella Classe III Sezione A. Anno Scolastico: 2012-2013. Docente: Francesco Pantano. 1. Disequazioni. Richiami sulle disequazioni
DettagliLiceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2015/2016 Classe 4 A C Prof. Matteo Bonetti. Esponenziali e logaritmi
Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2015/2016 Classe 4 A C Prof. Matteo Bonetti Esponenziali e logaritmi 1. Richiami sulle proprietà delle potenze; estensione della definizione
Dettagli--- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze
Corso Zero di Matematica per FARMACIA A.A. 009/0 Prof. Massimo Panzica Università degli Studi di Palermo FARMACIA CORSO ZERO DI MATEMATICA 009/0 --- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze
DettagliIstituto Fogazzaro. Programma di Matemetica. Anno Scolastico 2014/2015. Classe III. Equazioni di II grado
Programma di Matemetica Anno Scolastico 2014/2015 Classe III Equazioni di II grado Equazioni di secondo grado complete, formula risolutiva Scomposizione di un equazione di II grado Equazioni di secondo
DettagliISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS EMPOLI PIANO DI LAVORO PROF. BICCI ANDREA CONSIGLIO DI CLASSE 3 SEZ. B Informatica INDIRIZZO INFORMATICO ANNO SCOLASTICO 2015-2016 MATERIE MATEMATICA (tre ore settimanali)
DettagliLezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale Sistemi di riferimento e spostamento 2 Sistemi di riferimento e spostamento
DettagliIstituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA
Classe: 1 a C Libro di testo: Bergamini Trifone Barozzi Matematica verde vol. 1 ed. Zanichelli Insiemi Definizione di insieme, rappresentazione grafica, tabulare, caratteristica di un insieme Gli insiemi
DettagliSENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO
Goniometria e trigonometria Misurare gli angoli nel sistema circolare L unità di misura del sistema circolare è il radiante def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un
DettagliLOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org
LOGARITMI Sia un numero reale positivo ed un numero reale, positivo, diverso da 1; si dice logaritmo di in base il valore da attribuire come esponente alla base per ottenere una potenza uguale all argomento.
DettagliUNITÀ DIDATTICA 3 FUNZIONI GONIOMETRICHE
UNITÀ DIDATTICA FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 La misura degli angoli In ogni circonferenza è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra angoli al centro e archi: a ogni angolo al centro corrisponde
DettagliNUMERI NATURALI: - Ripetizione dei numeri naturali e delle quattro operazioni con relative proprieta
PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 1^B/ 1C DEL LICEO SCIENTIFICO MALPIGHI SEZIONE ASSOCIATA DELL I.I.S. VIA SILVESTRI 301 ANNO SCOLASTICO 2018-2019 INSEGNANTE: NEGRI MARINA ALGEBRA NUMERI NATURALI:
DettagliLezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni 2 e 4 Dr. Andrea Malizia 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale 2 Sistemi di riferimento e spostamento 3 Sistemi di
DettagliFUNZIONI TRIGONOMETRICHE
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE RICHIAMI DI TEORIA Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano descritti dai punti di r
DettagliLE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato
DettagliISTITUTO TECNICO NAUTICO SAN GIORGIO. Anno scolastico 2011/12. Classe I Sezione E. Programma di Matematica. Docente: Pasquale Roberta.
Anno scolastico 2011/12 Classe I Sezione E Insiemistica. - Concetto di insieme e rappresentazione di un insieme. - Sottoinsiemi - Principali operazioni fra insiemi: unione, intersezione, complementare
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE G. GALILEI - SIENA
LICEO SCIENTIFICO STATALE G. GALILEI - SIENA PROGRAMMA DI MATEMATICA SVOLTO NELLA CLASSE 2 sez.e RICHIAMI DI ALGEBRA * prodotti notevoli * scomposizione di un polinomio in fattori * frazioni algebriche
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliIl coseno di un angolo
Il coseno di un angolo Per capire cos è il coseno di un angolo dobbiamo fare riferimento alla circonferenza goniometrica. Prendiamo un angolo a sulla nostra circonferenza tracciano una linea dall origine.
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliSYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III
SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado e la loro risoluzione. La formula ridotta. Equazioni pure, spurie e monomie. Le relazioni
DettagliRoberto Galimberti MATEMATICA
Docente Materia Classe Roberto Galimberti MATEMATICA 4L Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2011-2012 Data 31/12/11 Obiettivi Cognitivi Minimi conoscere la definizione di circonferenza come luogo
DettagliClassi: 4A inf Serale Disciplina: MATEMATICA Ore settimanali previste: 3
Classi: 4A inf Serale Disciplina: MATEMATICA Ore settimanali previste: 3 Titolo unità didattiche in cui è diviso Titolo Modulo il modulo Prerequisiti per l'accesso al modulo 1: Calcolo numerico e letterale,
DettagliPrerequisiti di Matematica Trigonometria
Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Angolo è una porzione di piano racchiusa
DettagliI.T.T.L. BUCCARI CAGLIARI PROGRAMMA DI MATEMATICA E COMPLEMENTI DOCENTE: PODDA GIAMPAOLO
I.T.T.L. BUCCARI CAGLIARI ANNO SCOLASTICO 2017/201 8 CLASSE II I E PROGRAMMA DI MATEMATICA E COMPLEMENTI DOCENTE: PODDA GIAMPAOLO IL PIANO CARTESIANO L ascissa di un punto su una retta: la distanza di
DettagliProgramma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G
Liceo Scientifico Statale G. BATTAGLINI Corso Umberto I 74100 Taranto Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Prof. Paolo Pantano Richiami di Algebra Equazioni e disequazioni Definizioni.
DettagliConoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.
Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la
DettagliProgramma Svolto CONTENUTI DISCIPLINARI SVOLTI PRIMO QUADRIMESTRE ISTITUTO D ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE. Anno scolastico
ISTITUTO D ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE I.T.C.G. L. EINAUDI LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO MURAVERA Programma Svolto Anno scolastico 2016-2017 DISCIPLINA : Matematica CLASSI PRIME SEZ. B Corso SCIENZE APPLICATE
DettagliIntroduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...
DettagliTerza BM Meccanica. Matematica. Docente
Anno scolastico 2014/ 2015 Classe Sezione Indirizzo Materia Terza BM Meccanica Nome e cognome Rita Demartini Docente Firma Pagina 1 di 7 PERCORSO FORMATIVO E DIDATTICO Modulo n.1: Ripasso equazioni, disequazioni
DettagliCorso di Analisi: Algebra di Base. 7^ Lezione
Corso di Analisi: Algebra di Base 7^ Lezione Goniometria.Elementi di trigonometria piana. Unità di misura degli angoli. Misura di angoli orientati. Circonferenza goniometrica. Angoli e archi noti. Le funzioni,
DettagliArgomento2 Iparte Funzioni elementari e disequazioni
Argomento Iparte Funzioni elementari e disequazioni In questa lezione richiameremo alcune fra le più comuni funzioni di variabile reale, mettendone in evidenza le principali proprietà. Esamineremo in particolare
DettagliPROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE II D
Anno scolastico 2016/2017 LICEO CICERONE - POLLIONE "Sezione classica" Via Div. Julia Formia Tel. 0771-771.261 PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE II D Matematica e fisica Prof. Francesco Mazzucco 1 Matematica
DettagliCORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RARESENTAZIONI GRAFICHE ER L ISTITUTO TECNICO SETTORE TECNOLOGICO Agraria, Agroalimentare e Agroindustria classe seconda ARTE RIMA Disegno del rilievo Unità Didattica:
DettagliClassi: 4A inf Sirio Disciplina: MATEMATICA Ore settimanali previste: 3
Classi: 4A inf Sirio Disciplina: MATEMATICA Ore settimanali previste: 3 Titolo unità didattiche in cui è diviso Titolo Modulo il modulo Prerequisiti per l'accesso al modulo 1: Calcolo numerico e letterale,
DettagliI LICEO CLASSICO. Le equazioni e le disequazioni di II grado e di grado superiore
CONOSCENZE indirizzo CLASSICO I LICEO CLASSICO Le equazioni e le disequazioni di II grado e di grado superiore Equazioni di secondo grado incomplete; equazioni di secondo grado complete; formula risolutiva
DettagliProgrammazione per Obiettivi Minimi. Matematica Primo anno
Programmazione per Obiettivi Minimi Matematica Primo anno Saper operare in N, Z e Q. Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze con esponente intero e relativo. Saper operare con i monomi.
DettagliCENNI DI TRIGONOMETRIA
CENNI DI TRIGONOMETRIA Seno Consideriamo una circonferenza C e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che la circonferenza C sia centrata nell origine degli assi e abbia raggio. Dall origine
DettagliGoniometria Domande, Risposte & Esercizi
Goniometria Domande, Risposte & Esercizi Angoli e Archi. Dare la definizione di grado sessagesimale (DMS). Il grado sessagesimale si definisce come la 36ª parte di un angolo giro. Esso viene indicato con
DettagliRisoluzione dei triangoli rettangoli
Risoluzione dei triangoli rettangoli In questa dispensa esamineremo il problema della risoluzione dei triangoli rettangoli. Riprendendo la definizione di seno e coseno, mostreremo come questi si possano
DettagliFrazioni. 8 Esercizi di Analisi Matematica Versione Argomenti: Operazioni sulle frazioni Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b
8 Esercizi di Analisi Matematica ersione 2006 razioni Argomenti: Operazioni sulle frazioni Difficoltà: Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b a + b a b 1/3 1/2 1/3 1/2 1/3 1/2 a b a a + b
DettagliSCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA
Pag. 1 di 5 SCHEDA OBIETTIVI MINIMI Materia:MATEMATICA Classi QUARTA A e QUARTA B Spec.: LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE a.s: 2016 / 2017 4 3 2 1 Presidente di dipartimento 0 DOC DS Maria Grazia Gillone
DettagliGoniometria per il TOL - Guida e formulario
Goniometria per il TOL - Guida e formulario Luca Talenti Gli argomenti più complessi del TOL sono probabilmente la goniometria e la trigonometria. Se non si arriva dal liceo scientifico, spesso questi
DettagliEsame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s
Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).
DettagliIntroduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione alla II edizione Introduzione Test d ingresso v vii ix 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5
DettagliESERCIZI. 1.2 Dire quali dei seguenti insiemi sono vuoti e descriverne il complementare nell insieme dei numeri reali: C:= {x R x 1 3 e x 1 2 };
ESERCIZI. INSIEMISTICA. Sia l insieme dei punti dello spazio, Γ una sfera e N il suo polo nord. Quali delle seguenti relazioni sono corrette? N Γ; N ; Γ ; Γ ; N ; Γ N.. Dire quali dei seguenti insiemi
Dettagli9) Ricava per quali valori di x è positiva e per quali è negativa la funzione di equazione: > 0 [ 0 < x < ] ; y < 0 se. 1 [ x ] 0 [ x 1 ] + >
Verifiche 4 C 4 H Anno scolastico 010/011 ESPONENZIALI LOGARITMI 1) Calcola il dominio della funzione: y = log / (5 x) + 1 [ x < 5 ] ) Calcola il dominio della funzione y = 3 log (x 8) [ - 4 x < < x 4
DettagliANGOLI. ANGOLO OTTUSO ( β > 90 ) ANGOLO ACUTO ( β < 90 )
ANGOLI Angolo è ciascuna delle due parti nelle quali un piano viene diviso da due semirette aventi la stessa origine. Le due semirette sono dette lati dei due angoli e l'origine comune il loro vertice.
DettagliFunzioni, equazioni e disequazioni esponenziali. Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche
Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 4^ I a.s. 2015/16 - Docente: Marcella Cotroneo Libri di testo : L. Sasso "Nuova Matematica a colori 3" e "Nuova Matematica a colori
Dettaglimatematica classe terza Liceo scientifico
LICEO SCIENTIFICO STATALE LEONARDO DA VINCI Anno scolastico 2013/2014 LE COMPETENZE ESSENZIALI CONSIDERATE ACCETTABILI PER LA SUFFICIENZA Si precisa che gli obiettivi indicati sono da raggiungere in relazione
DettagliFunzioni e grafici. prof. Andres Manzini
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)
DettagliAppunti di Trigonometria per il corso di Matematica di base
Appunti di Trigonometria per il corso di Matematica di base di Giovanna Neve Diploma accademico di primo livello per il corso di Tecnico di Sala di Registrazione Conservatorio C. Pollini Padova Indice
Dettagli