Tracciamento diagrammi di Nyquist
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- Lia Blasi
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1 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Tracciamento diagrammi di Nyquist Prerequisiti Due Amenità sui numeri complessi Formula di Eulero:
2 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Motivazione Un alternativa ai diagrammi di Bode per la rappresentazione della funzione di risposta armonica sono i cosiddetti diagrammi polari o di Nyquist. Essi sono di grande importanza per lo studio della stabilità dei sistemi in retroazione: su di essi si basa il fondamentale criterio di stabilità di Nyquist. Sia la funzione di risposta armonica nella seguente forma fattorizzata: K m ( ± z i u n h ( ± p j j h+ Spesso, quando il diagramma di Nyquist viene usato per l analisi della stabilità, è sufficiente la conoscenza qualitativa dell andamento del diagramma stesso. Primi elementi sul tracciamento Si noti che (jω: R C e che il diagramma viene tracciato sul piano complesso (jω per ω(-,+. Una importante proprietà ai fini del tracciamento è la seguente: PROP. * (jω((jω * (-jω CONSEUENZA: Nel tracciare il diagramma di Nyquist possiamo tracciarlo per ω (0, e poi ribaltarlo rispetto all asse delle ascisse. N.B. Una cosa importante da tenere in conto è che il diagramma di Nyquist forma una curva chiusa sul piango (jω. li asintoti si chiudono all infinito (da 0 - a 0 + in senso orario. Tale curva chiusa è nota come curva di Cauchy e fa un numero di giri quanti sono necessari per raccordare la fase tra (j0 - e (j0 +, ovvero un numero di rotazioni di 80 in senso orario per quanti sono i poli nell origine. Procedura di Tracciamento Per avere un andamento qualitativo del diagramma di Nyquist facciamo i seguenti passi: Analisi asintotica ω (0,, ovvero calcolare lim lim lim Re[ ] lim Re[ ] 0+ [ ] [ ] 0+ ω 0+ + Calcolare eventuali intersezioni con gli assi Fare Diagramma di Bode delle fasi di (jω per eliminare ambiguità 4 Proprietà * (jω(-jω Eventuale chiusura ad infinito (fare tanti mezzi giri ovvero rotazioni di 80 in senso orario chiuse da 0 - a 0 + ad infinito quanti sono i poli nell origine Combinando queste informazioni si ottiene un diagramma di Nyquist qualitativamente corretto.
3 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Esercizio : L integratore ( s s j jω ω Re [ ] 0 ω Im[(jω] Pertanto: lim lim [ ] 0 [ ] 0 Re[(jω] Esercizio : Polo stabile ( s ( s lim lim sτ ωτ j + + ω τ + ω τ + ω τ + Non abbiamo intersezione con l asse, vediamo dove vanno i vari limiti. Ci rimane da capire cosa fa la fase, vediamone l andamento, che è monotono dec /τ dec -/ Quindi infine abbiamo: Im[(jω] Re[(jω]
4 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Esercizio : Polo instabile ( s con K>0 lim lim K sτ K j K K Kωτ K j ω τ + ω τ + ω τ + ωτ K 0 Le considerazioni sulla monotonicità della fase sono le stesse: dec /τ dec -/ - Pertanto: Im[(jω] -+j0 -K Re[(jω] N.B. Si noti come per K>, il sistema ad anello chiuso è instabile! 4
5 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Esercizio 4 ( s 0 ( s + ( s Fattorizziamo in parte reale e parte immaginaria: lim lim 0 ( jω( jω + + ( jω( jω 0 0 ( ω jω ( ω + ( ω ( ω ( ω + ( ω ( jω ( ω + ( ω + 4 Si noti come da questo risulta che essa avrà una intersezione con l asse reale. Vediamo dove essa avviene: Re [ ] 0 ( ω 0 ω ± 0 Prendiamo ω + visto che ci interessa, allora, vediamo che l intesezione avviene per un valore dell asse immaginario: Im[ ] 0 ( ω ( ω + ( ω + 4 ( 0 ( + ( + 4 ( Possiamo quindi tracciare, notando la monotonicità dei diagrammi di Bode: Im[(jω] Re[(jω]
6 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Esercizio ( ( s + s s( s + ( + jω jω + e infine: lim ω + j ω ω ( + 4 lim jω 0 ( jω + + ( ω ( ω + 4ω j j ( jω + ( jω + j + ( jω + ( + 4 ω ω jω + ( jω + ( ω + 4ω ( jω j + ω ( ω + 4ω E facile vedere come non ci siano intersezioni con gli assi, in quanto la parte reale è sempre positiva e quella immaginaria sempre negativa (per. Si noti inoltre che lim Re[ ] Il diagramma sarà quindi: 4 Im[(jω] /4 Re[(jω] 6
7 Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone Esercizio 6 0 ( s s ( s Diventa ( ( + jω s j j jω( jω ω( jω ( + jω ( + jω j j ω ω + + ( + ω ( + ω ω( ω lim lim jω 0 lim lim Re lim Re \ ( [ ] [ ] + [ ] 0 [ ] Im[(jω] Re[(jω] -0 7
Diagrammi di Nyquist o polari
0.0. 3.3 1 qualitativa Ampiezza Diagrammi di Nyquist o polari Esempio di diagramma polare senza poli nell origine: 40 20 G(s) = 100(1+ s 50 ) (1+ s 10 )2 (1+ s 20 )(1+ s 100 ) Imag 0 20 15 20 30 80 0.1
Il criterio di Nyquist
0.0. 4.5 1 Il criterio di Nyquist IlcriteriodiNyquistconsentedistabilireseunsistema,delqualesiconosce la risposta armonica ad anello aperto, sia stabile o meno una volta chiuso in retroazione: r(t) e(t)
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