4.2 Trasformata di Laplace

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1 4.2 Trasformata di Laplace Come abbiamo già detto nel paragrafo precedente, il metodo della T.F. permette di risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti soltanto in un campo molto ristretto; la stessa funzione f(x)= non potrebbe essere accettata né come soluzione né come termine noto. D altra parte, se vogliamo risolvere un equazione con condizioni iniziali al tempo t =, ci interessa sapere solo ciò che succede per t. È quindi conveniente considerare una sorta di T.F. definita da un integrale esteso solo al semiasse delle t >. In tal caso, se f(t) è localmente sommabile, cioè è sommabile su ogni intervallo finito del semiasse reale t, e se esistono una α R, una M > e un t tali che t > t valga la funzione e α t f(t) < M (4.4) g α (t) e αt f(t)θ(t) è sommabile sull intero asse reale α > α. Infatti t > t g α (t) = e (α α )t e α t f(t) e (α α )t M (4.4) e quindi tende esponenzialmente a zero per t +, rimanendo localmente sommabile se tale era f(t). Quindi g α (t) possiede la trasformata di Fourier: G α (ω) = 2π f(t)e αt θ(t)e iωt dt = f(t)e (α+iω)t dt. (4.42) 2π Introduciamo ora la variabile complessa s = α + iω e definiamo 2πGα (ω). Allora la (4.42) diventa f(t)e st dt (4.43) e prende in nome di trasformata di Laplace (T.L.) della funzione f(t); chiamando ascissa di convergenza α R l estremo inferiore degli α per cui vale la (4.4), la F (s) è definita nel semipiano Res > α e ivi è analitica, come si vede facilmente derivando sotto il segno, poiché, grazie alla (4.4), t n f(t) ha la stessa ascissa di convergenza di f(t), per ogni n naturale. L antitrasformata di Laplace è definita da un integrale in campo 9

2 complesso. Infatti antitrasformando la (4.42) si ricava, nell ipotesi che f(t) sia di classe C nell intorno di t, da cui f(t)e αt θ(t) = R lim G α (ω)e iωt dω, (4.44) 2π R R f(t)θ(t) = R 2π lim g(ω)e (α+iω)t dω = F (s)e st ds, (4.45) R R 2πi γ dove il cammino di integrazione γ è una retta parallela all asse immaginario del piano di s, di equazione Re s=α > α. L antitrasformata (4.45) si indica di solito, sottintendendo la θ(t), come f(t) = α+i F (s)e st ds, (4.46) 2πi α i che per essere più precisi andrebbe scritta come f(t) = α+ir 2πi lim F (s)e st ds. (4.47) R α ir Osserviamo subito: si può dimostrare che o() per s in ogni direzione del semipiano di analiticità. Per t < si può quindi applicare il lemma di Jordan (vedi caso 4) chiudendo il cammino con una semicirconferenza nel semipiano a destra di Re s = α, ottenendo f(t) =, visto che F (s) è analitica nel semipiano Re s > α Esempi La trasformata di Laplace della funzione f(t) = è e st dt = s. L integrale converge per Re(s) > (cioè α = ). Il calcolo dell integrale (4.46) mediante il metodo dei residui mostra subito che l antitrasformata di Laplace di /s è θ(t). La trasformata di Laplace della funzione f(t) = t è te st dt = s e st dt = d e st dt = d ( ) = ds ds s s 2

3 La trasformata di Laplace della funzione f(t) = t n è = ( ) n dn ds n = n! s n+. n t n e st dt = ( ) n s n e st dt ( ) e st dt = ( ) n dn ds n s La trasformata di Laplace della funzione f(t) = cos t è = 2 e st cos tdt = e ( st e it + e it) dt 2 + e (s+i)t } = s (s i) (s + i) s 2 +. { e (s i)t Tutte le funzioni discusse in questi esempi hanno ascissa di convergenza α = ; la loro Trasformata di Laplace è perciò analitica in tutto il semipiano Res > ; nell esempio successivo vedremo che non è sempre così. La trasformata di Laplace della funzione f(t) = e at, con a C, è e st e at dt = e (s a)t = (s a) s a, dove è stato necessario supporre Re s > Re a per poter affermare che lim t + e (s a)t = ; per Re s < Re a l integrale che definisce la trasformata di Laplace diverge, quindi l ascissa di convergenza della funzione f(t) = e at è α = Re a; ciò concorda con il fatto che la trasformata di Laplace F (s) è analitica nel semipiano Re s > Re a. Per tutti questi esempi lasciamo allo studente la verifica dell eq. (4.46). Riflettendo su questi esempi lo studente si convincerà anche della seguente importante proprietà: Se la T.L. L s (f(t)) ha poli con Re s > la funzione f(t) esplode esponenzialmente per t + ; viceversa se L s (f(t)) ha singolarità solo a sinistra dell asse immaginario allora f(t) decresce esponenzialmente per t + ; se i poli sono sull asse immaginario f(t) può oscillare o crescere come una potenza di t. Questa proprietà è di grande importanza per le applicazioni a sistemi fisici e fornisce un criterio di stabilità nel tempo. Quando, per esempio, un sistema di amplificazione comincia a produrre un sibilo di ampiezza crescente (fortunatamente limitata dalla non linearità e quindi saturazione del sistema) possiamo dire che una qualche singolarità della T.L. della sua funzione di trasferimento ha acquistato parte reale non negativa.

4 4.2.2 Proprietà della trasformata di Laplace Studiamo ora alcune proprietà delle trasformate di Laplace, analoghe a quelle viste per le trasformate di Fourier. Indicheremo la trasformata di Laplace (4.43) con il simbolo L s [f(t) = f(t)e st dt. La trasformata di Laplace è lineare (per linearità degli integrali): L s [a f (t) + a 2 f 2 (t) = a L s [f (t) + a 2 L s [f 2 (t) La trasformata di Laplace della derivata f (t), se f (t) esiste e ammette T.L., è legata alla trasformata di f(t) dalla relazione: come si ottiene integrando per parti: L s [f (t) = L s [f (t) = sl s [f(t) f(), (4.48) f (t)e st dt = f(t)e st + s f(t)e st dt = f() + s f(t)e st dt = sl s [f(t) f(). È evidente che qui con f() si intende il limite destro di f(x) per x. Nell ipotesi che anche le derivate successive di f(t) esistano e ammettano T.L., la relazione (4.48) può essere iterata per ottenere le trasformate delle derivate successive: L s [f (t) = sl s [f (t) f () = s 2 L s [f(t) sf() f () (4.49) L s [f (t) = sl s [f (t) f () = s 3 L s [f(t) s 2 f() sf () f () (4.5) L s [f (n) (t) = sl s [f (n ) (t) f (n ) () = s n L s [f(t) s n f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n ) (). Dalla (4.5) segue che se la funzione f(t) è n volte derivabile e f (n) (t) ammette T.L. vale L s [f(t) = f() s + f () s 2 + f (n ) () s n + L s[f (n) s n, (4.52) 2 (4.5)

5 che dà utili informazioni sull andamento per s della trasformata di Laplace (teorema di Tauber). È da notare che, anche se f(t) C, non è affatto detto che la serie che facilmente si deduce dalla (4.52) converga. In realtà essa è in generale una serie asintotica, che sarà definita nel corso di Metodi Matematici della Fisica II. La trasformata di Laplace dell integrale di una funzione g(t) è legata alla trasformata di g(t) dalla relazione: [ x L s g(t)dt = s L s[g(x). (4.53) Partendo dalla formula per la trasformata di Laplace per le derivate (4.48) e ponendo g(x) = f (x) si ottiene infatti La (4.48) diventa così: L s [g(x) = sl s [f() + x f(x) = f() + x Ricordando ora che L s [ = /s, otteniamo L s [g(x) = sf() [ x s + sl s ovvero g(t)dt. [ x g(t)dt f() = sl s [f() + sl s g(t)dt f(). L s [g(x) = sl s [ x da cui segue immediatamente la (4.53). g(t)dt f(), g(t)dt Se l argomento della funzione f(t) viene traslato di una costante a, per la trasformata di Laplace vale la seguente relazione: a } L s [f(t + a) = e {L as s [f(t) θ(a) f(t)e st dt. (4.54) Per dimostrare la (4.54) bisogna distinguere i due casi a < e a >. Ricordiamo infatti che la trasformata di Laplace è un integrale tra e e che è sottintesa una θ(t), che implica f(t) = se t <. Quindi Ora, se a <, L s [f(t + a) = f(t + a)e st dt (t =t+a) = = e sa f(t )e st dt. a, a f(t )e s(t a) dt L s [f(t + a) = e sa f(t )e st dt = e sa f(t )e st dt = e sa L s [f(t). a 3

6 Se invece a >, a L s [f(t + a) = e sa f(t )e st dt = e sa f(t )e st dt e sa f(t )e st dt a a = e sa L s [f(t) e sa f(t )e st dt. Se si moltiplica la funzione f(t) per un esponenziale, la trasformata è: L s [ e αt f(t) = L s α [f(t), α C come si può facilmente verificare derivando sotto il segno la L. Se si moltiplica la funzione f(t) per t, la trasformata diventa: L s [tf(t) = d ds L s[f(t), come si può facilmente verificare a partire dalle definizioni di L. Notare che, diversamente da quanto avviene per la T.F., qui siamo sempre sicuri che se f(t) ammette T.L. anche t n f(t) la ammette, n N; equivalentemente, ogni T.L. è sempre infinitamente derivabile nella sua regione di convergenza, mentre ciò non è affatto detto per la T.F. (vedi per esempio la T.F. di a 2 +x 2, par.4..). Teorema di convoluzione. Sia g(t) la convoluzione di due funzioni f e f 2, definita t > come 4 Allora g(t) = t f (t )f 2 (t t )dt. (4.55) L s [g(t) = L s [f (t)l s [f 2 (t). (4.56) La dimostrazione è del tutto analoga a quella vista per le trasformate di Fourier. 4 Notare che malgrado l estremo superiore di integrazione sia t la definizione (4.55) coincide con la (4.3), se si assume che f e f 2 si annullino quando il loro argomento è negativo. 4

7 4.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Come si è detto nel par il metodo della trasformata di Fourier per risolvere equazioni differenziali lineari si può applicare solo in un numero ristretto di casi, cioè quando il termine noto e la soluzione dell equazione differenziale sono sommabili. La trasformata di Laplace permette di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti d 2 u c 2 dt + c du 2 dt + c u = f(t) (4.57) per una classe più estesa di funzioni e permette inoltre di tener conto automaticamente delle condizioni iniziali u() = u du = u dt. (4.58) t= Infatti trasformando secondo Laplace la (4.57) e ponendo L s [u(t) U(s) e L s [f(t) F (s) (ammesso che queste esistano) si ottiene, utilizzando le (4.48) e (4.49), c 2 [ s 2 U(s) su u + c [su(s) u + c U(s) = F (s), (4.59) che dà immediatamente U(s) = c 2su + c 2 u + c u F (s) +. (4.6) c 2 s 2 + c s + c c 2 s 2 + c s + c Antitrasformando si ottiene θ(t)u(t). L antitrasformata del primo addendo dà la soluzione generale dell omogenea associata (interpretando u e u come parametri liberi), mentre l antitrasformata del secondo dà la soluzione particolare dell inomogenea con condizioni iniziali u() = u () =. Notare che la soluzione così ottenuta è particolarmente interessante quando la sollecitazione esterna f(t) sia inserita al tempo t =. In questo caso θ(t)u(t) ci dice cosa succede dopo aver chiuso o aperto l interruttore. Ovviamente la procedura è estendibile a equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi. Esempio 5

8 Consideriamo il circuito oscillante di Fig. 3. e cerchiamo la soluzione dell equazione differenziale con le condizioni iniziali u + RC du dt + LC d2 u = f(t) (4.6) dt2 u = lim t + u(t) (4.62) i = lim C du t + dt. (4.63) Trasformando la (4.6) secondo Laplace e chiamando U(s) e F (s) le trasformate di u(t) e f(t) otteniamo [ U(s) + RC [su(s) u + LC s 2 U(s) su i = F (s). (4.64) C Consideriamo due casi: a) Chiusura del circuito: se il circuito è inizialmente aperto e il condensatore è scarico e lo si chiude all istante t = su un generatore che fornisca una tensione alternata V e iωt (in particolare continua, se ω = ), il termine noto è: f(t) = θ(t)v e iωt, (4.65) le condizioni iniziali sono e la trasformata di Laplace di f(t) è u = i = (4.66) V e iωt e st dt = Quindi la (4.64) fornisce in questo caso: U(s) = V s iω. (4.67) V (s iω)( + RCs + LCs 2 ). (4.68) Per ottenere u(t) dobbiamo antitrasformare la (4.68), che possiede tre poli semplici in s = iω, s,2 = R 2L ± 2 con = R 2 L 2 4 LC. (4.69) 6

9 Ora, se >, s e s 2 giacciono sull asse reale negativo (perché R > ), se <, s = s 2 = R + i 2L 2 e se = i due poli sono reali e coincidenti (polo doppio). L antitrasformata di U vale, secondo la (4.46), u(t) = r+i e st U(s), 2πi r i con r > (4.7) ovvero, se s s 2, u(t) = V { e st } Res LC s=,s,s 2 (s iω)(s s )(s s 2 ) = V [ e iωt LC (s iω)(s 2 iω) + e st (s iω)(s s 2 ) + e s2t. (s 2 iω)(s 2 s ) (4.7) A parte il termine sinusoidale V e iωt LC (s iω)(s 2 iω) = V e iωt s s 2 i(s + s 2 )ω ω = V e iωt 2 + iωrc ω 2 LC, (4.72) che riproduce esattamente la (3.8), la tensione u(t) è quindi una somma di funzioni sinusoidali smorzate nel caso <, mentre per > è una somma di esponenziali decrescenti. È immediato verificare che a t = le condizioni iniziali sono soddisfatte: u() = V [ LC (s iω)(s 2 iω) + (s iω)(s s 2 ) + = (s 2 iω)(s 2 s ) i(t) = V [ iωe iωt L (s iω)(s 2 iω) + s e st (s iω)(s s 2 ) + s 2 e s2t i() =, (s 2 iω)(s 2 s ) mentre per t + (ovvero una volta che il condensatore si sia ca- ricato, quindi per t >> Res = Res 2 = R ) la tensione ai capi del 2L condensatore si riduce a quella sinusoidale (4.72). Se invece s = s 2, U(s) ha un polo doppio in s e il residuo vale { e st } Res = d s(s s ) 2 s=s ds e st s s=s = test s est s 2 dove si è scelto per semplicità ω =, da cui la soluzione u(t) = V LC s 2 s=s = est (s s 2 t ), (4.73) [ + e s t (ts ), (4.74) 7

10 che verifica le condizioni iniziali u() = V LC i(t) = V LC s 2 [ = (4.75) e st (ts 2 s + s ) i() = (4.76) s 2 e per t + si comporta come nel caso precedente. b) Apertura del circuito: se all istante t = il circuito viene aperto, dopo essere stato per lungo tempo a contatto con la batteria a tensione costante V, si avrà f(t) = per t >, (4.77) con le condizioni iniziali L eq. (4.64) diventa in questo caso ( ): da cui u = V e i =. (4.78) U(s)( + RCs + LCs 2 ) = V (RC + slc) U(s) = V s + R L s 2 + R L s + LC = V s + R L (s s )(s s 2 ). Si noti che, per qualunque valore di, s, s 2 R/L; quindi non c è cancellazione fra numeratore e denominatore e U(s) ha sempre due poli semplici (o un polo doppio). Per s s 2 si ha u(t) = V e ( ) st s + R L Res s=s,s 2 (s s )(s s 2 ) che soddisfa le condizioni iniziali: = V es t (s + R/L) e s 2t (s 2 + R/L) s s 2, u() = V s s 2 = V s s 2 i(t) = CV s s 2 [e s t s ( s + R L ) ( e s2t s 2 s 2 + R ) L i() =. 8

11 Se invece s = s 2 = R 2L e ( ) st s + R L u(t) = Res = V d (s s ) 2 ds s=s = V ( + s t + R ) L t e st. ( s + R ) e st L s=s Si verifica facilmente che le condizioni iniziali sono soddisfatte: u() = V i(t) = CV d [( + s t + R ) dt L t e s t ( = CV s 2 t + s t R L + 2s + R L i() = ( 2s + R ) =. L ) e s t In entrambi i casi, per t + sia la tensione u(t) che la corrente i(t) tendono esponenzialmente a zero, come ci si aspetta. Anche qui t + significa t >> 2L/R. 9