Segnali e trasformate

Transcript

1 Segnali e trasformate - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Segnali e trasformate DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 Segnali e trasformate - 2 Segnali tempo continui Sono funzioni reali di variabile reale: la variabile indipendente rappresenta il tempo x = x() t x(): i descrivono l andamento temporale delle variabili di interesse importante caratterizzarne le proprietà Segnali canonici: normalmente nulli per t< gradino unitario rampa parabola t < t < ( t) = rt () = rt () t t t = t Segnali periodici cosinusoide: caratterizzata da ampiezza, pulsazione e fase M cos( ω t + ϕ) 2 t < /2 t

3 Segnali e trasformate - 3 Segnali periodici Un segnale si dice periodico di periodo T se. f ( t+ T) = f() t t 2. T è il più piccolo numero reale per cui la è verificata Un segnale costante è periodico di periodo nullo 2π Pulsazione caratteristica ω = T Periodica di periodo

4 Segnali e trasformate - 4 Segnali periodici Proprietà: date due funzioni periodiche con periodi tra loro commensurabili (ovvero tali che con interi), la loro somma risulta essere una funzione periodica di periodo.5 periodo periodo periodo.5 periodo periodo

5 Segnali e trasformate - 5 Segnali periodici.8 periodo periodo periodo periodo periodo In generale la combinazione lineare di funzioni sinusoidali è un segnale periodico di periodo

6 Segnali e trasformate - 6 La serie di Fourier Risultato fondamentale: Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha + ω () n n () T jn t jnω t f t = F e F = f t e dt n= { } F { F n } La successione n è lo spettro di Fourier del segnale, è lo spettro di ampiezza e { arg ( Fn )} è lo spettro di fase La conoscenza dello spettro di ampiezza e fase permette di ricostruire il segnale originario Se il segnale è reale, si ha F = F n =, 2, n n + jnωt jnωt n n f() t = F + F e + F e n= T

7 Segnali e trasformate - 7 Formulazioni alternative F La serie di Fourier + + si ottiene la forma trigonometrica = T ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) f ( t) = F + F cos n t + jsin n t + F cos n t jsin n t T n n n= n= + ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) = F + 2 Re F cos n t Im F sin n t f() t dt n n n= 2 F = 2Re F = f ( t)cos n t dt f ( t) = F + F cos n t + F sin n t ( ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) cn n cn sn T T n= 2 Fsn = 2Im ( Fn ) = f( t)sin( nω t) dt T T + n n= + ( ω ) f() t = F + 2 F cos n t+ argf n

8 La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e trasformate - 8 Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, la componente continua, e di una infinità numerabile di cosinusoidi, le armoniche, a pulsazioni multiple dell armonica fondamentale Il peso di ogni armonica è stabilito dallo spettro di ampiezza Proprietà Una funzione pari è sviluppabile in soli serie di seni, cioè F cn = Una funzione dispari è sviluppabile in soli serie di coseni, cioè F sn = Teorema di Parseval f() t dt F 2 Fn T = + T n= La potenza media associata al segnale, se esiste, è definita dallo spettro di ampiezza

9 La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e trasformate - 9 Per analisi armonica si intende lo studio dello spettro, cioè la rappresentazione del segnale nel dominio delle frequenze e non del tempo Esistono segnali il cui sviluppo in serie e composto da un numero finito di termini Si definisce banda del segnale l intervallo di pulsazioni compreso tra la minima e la massima pulsazione dei termini non nulli Segnali con un numero infinito di termini non nulli sono in principio a banda illimitata se il segnale è a potenza finita, l ampiezza dello spettro di fase tende necessariamente a zero al crescere della pulsazione da un punto di vista pratico, si parla di banda del segnale, la cosiddetta banda essenziale, intendendo la banda in cui è confinata una percentuale data, solitamente il 95% o il 99%, della potenza totale del segnale

10 Segnali e trasformate - Esempi di spettri La presenza di armoniche a frequenze elevate è legata alla derivata del segnale temporale: a segnali più bruschi corrispondono spettri che si estendono a frequenze più elevate Segnale temporale 25 Spettro serie di Fourier ( )

11 Segnali e trasformate - Segnale temporale smussato Esempi di spettri 25 Spettri serie di Fourier ( )

12 Segnali e trasformate - 2 La trasformata di Fourier Data un segnale (a valori reali o complessi) si definisce trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come Rappresenta l estensione ai segnali non periodici della serie di Fourier Non tutti i segnali ammettono trasformata, l integrale deve esistere Trasformazione inversa Spettro di ampiezza Spettro di fase ( ω) F ( ) jω t F = f() t = f() t e dt ( ) Per segnali reali è sufficiente la conoscenza dello spettro per pulsazioni positive + ( ) ( ( )) ( jωt jωt f t = F F ω = F( ω) e + F( ω) e ) dω jω t f( t) = F F( ω) = F( ω) e dω 2π F ( ω) ( ) ( ) arg F ω π

13 Segnali e trasformate - 3 La trasformata di Fourier Linearità F( ω) = F α f () t + β f () t = ( 2 ) ( ) ( ) = αf f() t + βf f2() t = αf( ω) + βf2( ω) Forma trigonometrica + f( t) = F( ω) cos( ωt+ arg F( ω) ) dω π Un segnale che ammette trasformata di Fourier è esprimibile come somma non numerabile di funzioni elementari cosinusoidali Si può definire il concetto di banda limitata e banda essenziale di un segnale analogamente a quanto fatto per segnali periodici Un segnale diverso da zero in un intervallo di tempo finito può avere banda illimitata Teorema di Parseval f() t dt = F( ω) dω π

14 Segnali e trasformate - 4 Esempio Impulso rettangolare.5 f() t a t < a = altrove x(t).5 a F() = dt = 2a a a jω t e F( ω) = e dt = jω a ( ω a) sin = 2a ω a j ω a a F(w) time (s) w

15 Segnali e trasformate - 5 La trasformata di Laplace La trasformata di Fourier ha una chiara interpretazione fisica, ma non tutti i segnali di interesse sono trasformabili La trasformata di Laplace si applica ad una qualunque funzione a valori complessi coniugati o reali e di variabile reale f() t = σ '() t + jω'() t F( s) = L ( f()): t = f() t e dt s = σ + esiste per praticamente tutti i segnali di interesse risulta definita per ogni s appartenente al semipiano del piano di Gauss posto a destra di una retta parallela alla asse immaginario la cui posizione dipende da f(t) (dominio di convergenza) jω + s t

16 Segnali e trasformate - 6 La trasformata di Laplace Sotto talune (non restrittive) ipotesi la trasformata di Laplace risulta univoca e la trasformazione inversa risulta definita come dove è una qualunque ascissa appartenente al dominio di convergenza di Notazione: Le due funzioni hanno lo stesso contenuto informativo (trasformazione biunivoca).

17 Proprietà della trasformata di Laplace Segnali e trasformate - 7 Linearità Derivazione Integrazione Traslazione temporale Teorema valore iniziale Teorema valore finale

18 Trasformazione segnali elementari Segnali e trasformate - 8

19 Trasformazione segnali elementari Segnali e trasformate - 9 Riferimento a tabella per trasformazioni meno elementari

20 Segnali e trasformate - 2 Esempi trasformazione funzioni complesse

21 Segnali e trasformate - 2 La soluzione delle equazioni differenziali lineari Trasformata di Laplace strumento utile Esempio: equazione omogenea di ordine a y () t + a y() t = y() = y Antitrasformazione utilizzo della formula: scomodo asys () y + ays () = y y Y() s = = as+ a a s+ a / a si sfruttano funzioni elementari di cui si conosce la trasformata at y f() t = e L [ f()] t = y() t = e s+ a a ( / ) per ordini più elevati si sfrutta la formula di derivazione ricorsivamente necessario conoscere tutte le condizioni iniziali necessarie 2 a a t L[ yt ( )] = sl[ yt ( )] y () = ss [ L[ yt ( )] y()] y () = sy( s) sy y

22 Segnali e trasformate - 22 La soluzione delle equazioni differenziali lineari A partire da EDO lineari omogenee, si ottengono sempre trasformate di Laplace per la soluzione in forma razionale fratta Equazioni non omogenee con condizioni iniziali nulle a y () t + a y() t = bu() t y() = asys () + ays () = bus () b Y() s = U() s as+ a conoscendo la trasformata della u(t) si ricava Y(s) e poi per antitrasformazione la y(t) nel caso di U(s) razionale fratta, anche la Y(s) sarà ancora razionale fratta per quanto visto nella lezione precedente, per calcolare il segnale è sufficiente conoscere l antitrasformata dei termini elementari s r s s p s p ( ) attenzione, se il polo è complesso si ottiene un segnale complesso r

23 Segnali e trasformate - 23 Antitrasformazione di funzioni razionali fratte Si utilizza lo sviluppo in fratti semplici calcolo dei coefficienti di ogni termine dello sviluppo già visto poli semplici reali k k t Y() s = y() t = k() t = s t < pt k pt ke t Y() s = y() t = ke () t = s p t < poli semplici complessi coniugati Y() s jϕ jϕ σ t jωt jϕ σ t jωt jϕ k k Me Me = + = + s p s p s σ jω s σ + jω yt () = Me e e + Me e e σ t ( j( ωt+ ϕ) j( ωt+ ϕ) ) σ t = Me e + e = 2Me cos( ω t+ ϕ )

24 Segnali e trasformate - 24 Rappresentazione grafica (molteplicità ).2 Impulse Response Impulse Response Amplitude Amplitude Time (sec) Impulse Response Time (sec) Amplitude Time (sec) 3.5 x 6 Impulse Response.9.8 Impulse Response Amplitude Impulse Response Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) Time (sec)

25 Segnali e trasformate - 25 Antitrasformazione di funzioni razionali fratte poli multipli reali k t Y() s = y() t = k r s r r ( ) r! k t Y() s = y() t = k e! r ( s p) ( r ) p t poli multipli complessi coniugati Y() s ( s p) ( s p) ( s σ jω) ( s σ + jω) r t σ t yt () = 2M e cos t+! ( r ) jϕ k k Me Me = + = + ( ω ϕ) jϕ r r r r

26 Segnali e trasformate - 26 Rappresentazione grafica (molteplicità > ).5 x -3 Impulse Response.5 Impulse Response.5. Amplitude Amplitude Time (sec) Impulse Response Time (sec) Amplitude Time (sec) 5 Impulse Response.4 Impulse Response Impulse Response Amplitude Amplitude 5. Amplitude Time (sec) Time (sec) Time (sec)