Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel:

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1 Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: carlo.rossi@unibo.it

2 Sistemi Tempo-Discreti In questi sistemi i segnali hanno come base l insieme dei numeri interi: sono sequenze di numeri adimensionali Possono o meno rappresentare segnali real-time. In questo caso l associazione con il tempo è ottenuta facendo corrispondere ad ogni intero un intervallo temporale Tuttavia, la sequenza potrebbe non avere alcuna relazione con il tempo (sequenza di dati su un dispositivo di memoria) Un sistema discreto è un algoritmo matematico che trasforma la sequenza di ingresso in quella di uscita Considereremo sistemi lineari shift-invarianti (tempo invarianti) LSI 2

3 Convoluzione tempo discreta L impulso tempo discreto è definito come la seuenza La risposta del sistema all impulso viene indicata con h(n). Se il sistema è lineare e invariante, si deriva una relazione generale tra ingresso e uscita Convoluzione discreta 3

4 Convoluzione tempo discreta Il gradino unitario tempo discreto è definito come la seuenza La risposta del sistema al gradino si ricava tramite convoluzione che stabilisce la relazione tra risposta all impulso ed la gradino. In maniera inversa si ha 4

5 Relazioni frequenziali Si sceglie una funzione armonica tempo discreta, ottenuta per campionamento di un segnale armonico con periodo T Il reciproco di T è detta frequenza di campionamento e la pulsazione corrispondente pulsazione di campionamento Nel caso di un segnale tempo reale, la frequenza ed il periodo hanno il significato usuale di numero di cicli nell unità di tempo o periodo di campionamento Nel caso di sequenze generiche, non è possibile definire come sono stati generati i campioni una sinusoide a 200 Hz campionata a 1 khz fornisce la stessa sequenza di una sinusoide a 1000 Hz campionata a 5 khz si introduce la frequenza normalizzata ωt che definisce qual è l angolo tra due campioni successivi dell oscillazione armonica 5

6 Relazioni frequenziali L uscita del sistema per un ingresso armonico è data da y n h( k) = e jω T n 0 e jω T k 0 h k = e jω 0 T n k k= Il termine che moltiplica l ingresso H e jω 0 T k= è la trasformata di Fourier della risposta all impulso. Esso modifica sia l ampiezza che la fase del segnale di ingresso e rappresenta il guadagno e lo sfasamento del sistema alla frequenza data La trasformata della risposta all impulso funzione della frequenza identifica dunque il comportamento frequenziale del sistema = e jω 0 T k h k k= 6

7 Trasformata di Fourier di una sequenza La trasformata di Fourier di una sequenza è definita come X e jω T = e jω T n x( n) n= e rappresenta lo spettro della sequenza numerica Dalla conoscenza dello spettro, è possibile risalire alla sequenza di partenza tramite la trasformazione inversa +π x( n) = 1 2π X ( e jω T )e jω T n dωt π Condizione necessaria e sufficiente affinché la sequenza sia reale è X ( e jω T ) = X ( e jω T ) 7

8 Relazioni frequenziali La risposta frequenziale, essendo funzione di un esponenziale immaginario, è un funzione periodica con periodo 2π T = ω s Ciò si può anche intuire dal fatto che le sequenze, derivanti dal campionamento di sinusoidi diverse = e j ω +kω s x n nt j ω nt +k n2π = e sono identiche per ogni valore di k. La risposta del sistema discreto a tali sequenze deve quindi essere la stessa, per tutte le frequenze ω + k ω s 8

9 Relazioni frequenziali Nel caso di sequenza di ingresso generica si ha = e jω nt y n Y e jω T n= = e jω nt x( k)h n k n= k= = x( k)e jω T k h( n k)e k= n= jω T n k = x( k)e jω T k h( m)e jω T m k= m= = X ( e jω T )H ( e jω T ) La trasformata dell uscita è il prodotto della trasformata dell ingresso e della risposta frequenziale 9

10 La trasformata Z Per segnali quali il gradino unitario o una sinusoide infinita, la trasformata di Fourier non converge Analogamente a quanto visto per la trasformata di Laplace per i segnali tempo continui, per sequenze nulle per indici negativi si definisce una nuova trasformata aggiungendo un fattore di smorzamento per garantire la convergenza Trasformata Z unilaterale = x n X e jω T,σ n=0 e jω nt e nt = x( n)e σ + jω n=0 X ( z)= x( n)z n n=0 σ nt 10

11 Trasformate elementari Trasformata dell impulso Trasformata del gradino Trasformata dell esponenziale 11

12 Proprietà della Z-trasformata Il teorema di convoluzione: la trasformata della convoluzione di due sequenze è data dal prodotto delle trasformate 12

13 Proprietà della Z-trasformata Il teorema dello shift: la trasformata di una sequenza ritardata di d campioni è data da In particolare, il termine identifica un ritardo unitario, ed è chiamato operatore di ritardo. Esso costituisce l elemento di base per la costruzione di algoritmi digitali di filtraggio e controllo 13

14 Teorema di convoluzione - esempio Si consideri un sistema con risposta impulsiva a cui viene applicato un gradino unitario. Si ottiene Y ( z) = z z z 1 z e at = z 2 z 1 Prodotto delle trasformate z e at Espansione in fratti semplici Antitrasformazione Risultato Y ( z) = y( n) = y( n) = 1 1 e at z z 1 e at 1 e at 1 1 e at u( n) e at 1 1 e 1 e a ( n+1 )T at z z e at 1 e at e a nt u n u n 14

15 Esempio 15

16 Esempio periodica passa basso 16

17 Stabilità Si caratterizza la stabilità ingresso/uscita (BIBO) dato un ingresso limitato si vuole ottenere una uscita limitata x( n) X max y( n) = x n k Verificato se e solo se h( k) k= = M < h k < B k= Il sistema è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsive è assolutamente sommabile. La sommatoria rappresenta la norma L1 della sequenza 17

18 Guadagno del sistema Ponendo ω = 0 nella trasformata di Fourier della risposta impulsiva si ottiene una espressione per il guadagno in continua Un altra espressione utile si ottiene calcolando l ampiezza della trasformata ed integrando sul periodo 2π/T n= h 2 = h( n) H 0 ( n) = T π n= π T Essa fornisce il guadagno quadratico medio del sistema. La sommatoria al primo membro è definita come l energia associata alla sequenza. La relazione precedente fornisce un metodo per calcolarla a partire dallo spettro della sequenza 0 H ( e jω T ) 2 dω 18

19 Equazioni alle differenze Si definisce equazione alle differenze l espressione = a k y( n k) y n N + b k x n k k=1 k=0 La Z-trasformata dell espressione precedente da y( n)z n = a k y( n k)z n + b k x( n k)z n n= N k=1 N n= M k=0 M n= N = a k z k y( n k)z ( n k) + b k z k x( n k)z ( n k) k=1 N n= k=1 n= = a k z k y( n)z n + b k z k x( n)z n k=1 n= N k=1 n= 19

20 Equazioni alle differenze Si ottiene quindi = a k z k Y ( z) Y z H z N + b k z k X z k=1 M L equazione alle differenze rappresenta quindi un sistema LSI con funzione di trasferimento data da H(z) Si noti la presenza del termine autoregressivo permette di rappresentare con una espressione finita sistemi LSI con risposta all impulso infinita (infiniti termini diversi da zero) N k=1 = Y ( z) X ( z) = b k z k=0 N k 1+ a k z k k=1 20

21 Poli e zeri della FdT Analogamente al caso continuo, si definiscono i poli e gli zeri della FdT come gli zeri rispettivamente del denominatore e del numeratore della FdT in questo caso sparisce il vincolo N > M per la fisica realizzabilità = b 0 z N M z z 01 ( z z 02 ) ( z z 0M ) H z ( z z 1 )( z z 2 ) ( z z N ) Valgono tutte le considerazioni fatte per la FdT di un sistema LTI nel dominio s zeri e poli sono reali o a coppie complesse coniugate scomposizione in cascata come prodotto di termini elementari del primo o secondo ordine scomposizione in parallelo come somma di termini elementari del primo o secondo ordine 21

22 Stabilità nel dominio frequenziale Dalla scomposizione in parallelo si ottiene N 1 z H ( z) = A k 1 z k z 1 = A k k=1 k=1 z z k e la risposta all impulso del sistema si ottiene antitrasformando = A k z n k h n N k=1 La risposta all impulso è dunque data dalla somma di N risposte impulsive di sistemi del primo ordine Il sistema è stabile se e solo se la norma L1 della risposta all impulso è limitata, e questo è verificato se e solo se ogni singola risposta impulsiva ha norma limitata N u( n) n h( n) = M < A k z k = S k < k n=0 n=0 22

23 Stabilità nel dominio frequenziale Si ottiene quindi la condizione di stabilità A k z n n k = A k z k = S k < z k < 1 n=0 Il sistema è stabile BIBO se e solo se tutti i poli sono contenuti nel cerchio unitario Il sistema è internamente stabile ma non asintoticamente stabile se e solo se esistono poli semplici sul cerchio unitario Il sistema è instabile se e solo se esistono poli al di fuori del cerchio unitario e/o poli multipli sul cerchio unitario Integratore discreto y n n=0 = y( n 1) + x( n) H ( z) = 1 1 z 1 = z z 1 23

24 Effetti di poli e zeri - polo nell origine Data la FdT corrispondente al ritardo unitario si ottiene H z = 1 z = z 1 H ( e jω T ) = 1 b( ω ) = ω T τ g ( ω ) = T Nel caso di ritardo superiore si ottiene H z = 1 H ( e jω T ) = 1 b ω z d = z d = dω T τ g ( ω ) = dt 24

25 Effetti di poli e zeri - polo generico Data la FdT corrispondente ad un sistema con singolo polo H ( z) = = z z z r e jφ = z 1 r e jφ z 1 si ottiene H e jω T = H ( e jω T ) 2 = e jω T 1 1 r e j ( ω T φ ) = e jω T 1 1 r cos( ω T φ ) + j r sen( ω T φ ) 1 1+ r 2 2r cos ω T φ 25

26 Effetti di poli e zeri - polo generico Il guadagno varia tra un massimo ed un minimo dati da max H ( ω ) = 1 ω >0 1 r min H ( ω ) = 1 ω >0 1+ r Il guadagno diventa maggiore all avvicinarsi del polo al cerchio unitario Il picco si verifica ad un angolo di fase pari all angolo del polo Il grafico riporta gli andamenti per un polo stabile (risposta frequenziale di un polo instabile?) 26

27 Effetti di poli e zeri - polo generico Il riterdo di fase è dato da Si noti la linearità del ritardo di fase per poli nell origine o sul cerchio unitario Il grafico riporta gli andamenti per un polo stabile 27

28 Effetti di poli e zeri - polo reale 28

29 Effetti di poli e zeri - polo reale 29

30 Effetti di poli e zeri - zero generico Data la FdT corrispondente ad un sistema con un singolo zero si ottiene H e jω T H ( z) = z z 0 = z r 0 e jφ 0 = z ( 1 r 0 e jφ 0 z 1 ) ( ) = e jω T 1 r 0 e j ω T φ 0 = e jω T 1 r 0 cos( ω T φ 0 ) + j r 0 sen( ω T φ 0 ) H ( e jω T ) 2 = 1+ r 2 0 2r 0 cos( ω T φ 0 ) = ω T arctan b ω r 0 sen ω T φ 0 1 r 0 cos ω T φ 0 30

31 Effetti di poli e zeri - zero generico Il guadagno varia tra un massimo ed un minimo dati da A parte il fattore di guadagno dato r 0, zeri a distanza r 0 o 1/ r 0 hanno lo stesso andamento Il guadagno diventa maggiore all allontanarsi dello zero dal cerchio unitario 31

32 Effetti di poli e zeri - zero generico Il ritardo di fase è dato da Anticipo di fase per zeri all interno del cerchio unitario Zeri all esterno del cechio unitario tendono ad aumentare il ritardo di fase (ritardo di gruppo positivo) 32

33 Sistemi a fase minima I sistemi LSI con zeri all interno del cerchio unitario si dicono a fase minima realizzano lo stesso andamento dell ampiezza della FdT rispetto a uno zero posto allo stesso angolo ma a distanza recirpoca con il minimo ritardo di fase ( z r 0 e jφ ) 0 = 1 z 1 e jφ 0 r 0 r 0 filtri e controllori sono sempre a fase minima se il plant è a fase non minima, il problema di controllo è più complicato problemi di stabilità se si cerca un buon inseguimento del riferimento 33