Circuiti per la multimedialità

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1 Università di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria delle Comunicazioni Circuiti per la multimedialità Raffaele Parisi Capitolo 2. Sintesi di circuiti a tempo discreto a partire da circuiti analogici. 1

2 TECNICHE DI PROGETTO DI FILTRI NUMERICI Capitolo 2 L espressione filtro selettivo in frequenza si riferisce in generale ad un circuito che modifica il contenuto in frequenza di un segnale. Il progetto di un filtro numerico richiede tre passi fondamentali: 1. determinazione delle specifiche del filtro (dipende dall applicazione); 2. approssimazione delle specifiche richieste mediante un circuito TD causale e stabile; 3. realizzazione del circuito TD usando aritmetica a precisione finita (dipende dalla tecnologia). I tre passi non sono in generale indipendenti tra loro. Nel seguito verrà considerato essenzialmente il passo 2. 2

3 Il filtro desiderato viene realizzato nel tempo discreto per filtrare un segnale ottenuto con il campionamento e la conversione di un segnale dal dominio analogico a quello digitale. x ( t ) x[ n] y[ n ] yr ( t) c C/D CIRCUITO TD D/C T T 3

4 Se la frequenza di campionamento è sufficientemente elevata per evitare l aliasing, l intero circuito si comporta come un filtro analogico con risposta in frequenza: H ( eff j ) = # % $ % & % H ( e jt ) < " T 0 > " T In questo caso la relazione ω=ωt viene utilizzata per convertire le specifiche del filtro analogico al campo tempo-discreto, specificando la risposta in frequenza su un periodo: H(e j ) = H eff " # $ j T % & ' < ( 4

5 Le specifiche possono essere rappresentate indicando delle tolleranze sulla risposta in ampiezza del filtro. Per esempio in un filtro passabasso analogico si può indicare una maschera del tipo in figura: H( j) " 1 Banda passante Banda di transizione Banda oscura 2 p s T 5

6 Le stesse specifiche possono essere indicate in funzione della frequenza normalizzata ω=ωt nell intervallo 0 ω π: j H ( e ) " 1 1 $ " % H ( e ) % 1 + " per % j 1 1 j H ( e ) % " per % % # 2 s p Banda passante Banda di transizione Banda oscura 2 p s Naturalmente le frequenze di taglio ω p e ω s vengono specificate come angoli nel piano z. 6

7 Fornite le specifiche, bisogna trovare un circuito LTI causale e stabile (quindi con poli interni al cerchio unitario) che le realizzi, in modo approssimato. In genere le specifiche di progetto riguardano solo la risposta in ampiezza. In particolare il progetto di filtri numerici può essere realizzato in modo efficiente a partire da filtri analogici. Si tratta di un problema di approssimazione funzionale. Il tipo di approssimazione dipende dal tipo di filtro che si intende realizzare: Filtri IIR Filtri FIR Approssimazione di H(e jω ) mediante una funzione razionale Approssimazione di H(e jω ) mediante un polinomio 7

8 PROGETTO DI FILTRI TD IIR DA FILTRI ANALOGICI Il progetto di filtri TD a partire da filtri TC ha diverse giustificazioni: 1. le tecniche di progetto disponibili per i filtri TC sono numerose, ottimizzate ed efficienti; 2. molte tecniche di progetto per filtri TC ammettono formulazioni analitiche in forma chiusa relativamente semplici; 3. i metodi di approssimazione standard generalmente usati per i filtri TC non ammettono formulazioni semplici quando sono applicati ai filtri TD. Si noti che il filtro analogico su cui si basa l approssimazione introdotta potrà avere una risposta in frequenza sostanzialmente differente da quella effettiva. 8

9 RAPPRESENTAZIONI MATEMATICHE Capitolo 2 La seguente tabella stabilisce una corrispondenza tra le rappresentazioni matematiche di circuiti analogici (TC) e circuiti numerici (TD): TC TD Funzione di rete Integrale o somma di convoluzione Equazione differenziale o alle differenze H a y a N ( s) = M N +# d k s k c k s k = Y a (s) X a (s) H ( z) = M " N " b k z k a k z k = Y(z) X (z) +& ( t) = $ x a ( )h a ( t " ) d y " n # $ = ' x[k] h " n % k # $ "# k =%& (k c k y ) (k a (t) = d k x ) a (t) " a k y[n k] = " b k x[n k] M N M 9

10 In generale è possibile ottenere un circuito TD mediante la trasformazione opportuna di un circuito TC, a partire da una sua particolare rappresentazione. Questa trasformazione deve mantenere le proprietà principali del filtro analogico di partenza. In particolare : 1. l asse immaginario del piano s deve trasformarsi nella circonferenza unitaria del piano z; 2. un filtro analogico stabile deve fornire un circuito numerico stabile (condizione sulla posizione dei poli). Considereremo le seguenti tecniche: - invarianza della risposta impulsiva - soluzione numerica dell equazione differenziale - trasformazione bilineare 10

11 Metodo dell invarianza della risposta impulsiva Capitolo 2 Si impone che la risposta impulsiva del circuito TD coincida con quella del circuito analogico campionata: e quindi: H(z) z =e j = H(e j ) = H(e j"t ) = 1 T = 1 T +$ % k =#$ h" n # $ = h (nt ) a H a ' ( ) j" # kj 2& T ( ) % H a j" # kj" s = k =#$ Questa relazione può essere generalizzata ponendo z = e st (s=jω): * +, +$ H(z) z =e st = 1 T +) * k =) H a # s kj 2" $ % T & ' ( 11

12 In base alla relazione z = e st, si ha che strisce di larghezza 2π/T del piano s si mappano nell intero piano z, sovrapponendosi. In particolare: - la parte a sinistra dell asse immaginario del piano s si mappa nella parte interna alla circonferenza unitaria del piano z; - la parte a destra dell asse immaginario del piano s si mappa nella parte esterna alla circonferenza unitaria del piano z; - ogni segmento di lunghezza 2π/T sull asse immaginario del piano s si mappa nell intera circonferenza unitaria del piano z (aliasing). 3π/T Im{ z} π/t -π/t 1 Re{ z} -3π/T 12

13 Osservazioni Capitolo 2 1. Se il filtro analogico è stabile, lo è anche quello numerico: { } k Re s < 0 z = e s T < 1 k 2. In base al teorema del campionamento, se e solo se: H a ( j" ) = 0 per " > T allora: H(e j ) = 1 T H " j % a # $ T & ' per ( ) Poiché in generale il filtro analogico non è strettamente limitato in banda, la tecnica dell invarianza della risposta impulsiva dà luogo ad aliasing. k 13

14 3. Per quanto riguarda la corrispondenza tra le funzioni di rete si ha (nell ipotesi di poli semplici): H a (s) = N A k " h a (t) = A k e s k t u 1 (t) k =1 s s k =1 k N " H(z) = N " A k k =11 e s k T z 1 h[n] = N k =1 A k e s k nt u[n] N.B. La trasformazione z = e st riguarda i poli e non la sintesi diretta della H(z) a partire dalla H(s). In particolare, gli zeri della H(z) dipendono sia dai poli che dai coefficienti dello sviluppo in frazioni parziali e quindi non vengono mappati nello stesso modo dei poli. 14

15 4. Infine, nel caso di T piccolo (frequenze di campionamento elevate), la relazione j 1 # $ H ( e ) = H a & j ' per % " T ( T ) potrebbe richiedere dei guadagni troppo elevati. Per questo motivo in generale si preferisce usare l espressione h[n] = T h a (nt ) Conclusione La tecnica dell invarianza della risposta impulsiva è adatta solo nei casi di filtri analogici limitati in banda (no passa-alto o elimina-banda), e in tal caso sostanzialmente si conserva la forma della risposta in frequenza del filtro analogico (la trasformazione è lineare). 15

16 Risoluzione numerica dell equazione differenziale Capitolo 2 In questa tecnica, l equazione differenziale che si ottiene nell analisi di un circuito analogico, viene risolta ricorrendo alle differenze finite. N (k ) (k c k y ) a (t) = (k d k x ) a (t) " c k (k ) y[n] = " d k (k ) x[n] M rappresenta la differenza finita (nel caso particolare all indietro) di ordine k, che approssima la derivata di ordine k mediante il rapporto incrementale: N M (0) y[n] = y[n] (1) y[n] = y[n] " y[n " 1] T (2) y[n] = (1) (1) y[n]... { } Metodo di Eulero diretto 16

17 L operatore (k ) è LTI. Passando al dominio di z: z { (1) y[n] } = z # $ % "1 y[n] " y[n " 1] & 1" z ' = )Y(z) T ( T Capitolo 2 Si ha dunque: z { (k ) y[n] } = "1 # 1" z & % $ T ( ' k )Y(z) N " c k (k ) y[n] = d k (k ) x[n] M " z k N " 1 z 1 % M " 1 z ) 1 % c k $ # T ' (Y(z) = ) d k $ & # T ' & k ( X (z) 17

18 La funzione di rete ha dunque la seguente struttura: H(z) = Y(z) X (z) = M ( N ( " 1 z 1 % d k # $ T & ' " 1 z 1 % c k # $ T & ' che può essere confrontata con la funzione di rete analogica: k k H a ( s) = Y (s) a X a (s) = M N d k s k c k s k 18

19 La funzione di rete TD si ottiene quindi con la trasformazione: Capitolo z s = T Invertendo questa relazione si trova: 1 z = 1 st Tale relazione, valutata sull asse immaginario del piano s, conduce a: z = 1 1 st s= j" = 1 1 j"t = 1 2 # 1+ j"t % 1+ $ 1 j"t & ' ( = 1 2 # $ 1+ e j2 tan1 ("T ) & ' cioè z s= j = 1 $ 2 1+ e j2 tan"1 # & % ' 19

20 Questa relazione nel piano z descrive una circonferenza di raggio 0,5 con centro in z = 0,5. Si ha quindi che: - l asse immaginario si mappa nella circonferenza di raggio 0,5 con centro in z = 0,5; - tutto il piano Re{s}<0 si mappa nel cerchio di raggio 0,5 con centro in z = 0,5. Im{ z} 1 Re{ z} s = + j" 20

21 Osservazioni 1. La trasformazione fornisce un circuito TD stabile a partire da un circuito TC stabile 2. L approssimazione introdotta è tanto migliore quanto più elevata è la frequenza di campionamento rispetto a quella di Nyquist. 3. La risposta in frequenza del circuito TD è vincolata in una piccola regione del cerchio unitario nell intorno del punto z = 1. Conclusione La tecnica di sintesi basata sulla risoluzione numerica dell equazione differenziale è in pratica accettabile solo per i filtri passabasso. 21

22 Trasformazione bilineare Questa tecnica deriva da una approssimazione numerica della soluzione dell equazione differenziale e consente di mappare l intero asse immaginario del piano s in un solo giro della circonferenza di raggio uno del piano z, evitando anche l aliasing. Poichè tutto l intervallo - Ω si mappa nell intervallo -π ω π, la trasformazione deve essere nonlineare. Può essere quindi adottata quando tale deformazione è accettabile. 22

23 Esempio Si consideri l equazione del primo ordine c 1 y a (t) + c 0 y a (t) = d 0 x a (t) Trasformando secondo Laplace si ottiene: c 1 sy a (s) + c 0 Y a (s) = d 0 X a (s) La funzione di rete corrispondente è: H(s) = Y a (s) X a (s) = d 0 c 1 s + c 0 23

24 Risolvendo l equazione si ottiene: t y a (t) = " y a (t) dt + y a (t 0 ) t 0 In particolare considerando gli istanti t = nt e t 0 = (n-1)t si può scrivere: nt y a (nt ) = # y a (t) dt + y a [(n " 1)T ] (n"1)t Approssimando l integrale con il metodo trapezoidale (o metodo di Eulero modificato) si ottiene: y a (nt ) = T 2 { } + y a [(n " 1)T ] y (nt ) + y #$ (n " 1)T % a a & 24

25 Le espressioni delle derivate nell espressione precedente si possono ricavare dall equazione: c 1 y a (t) + c 0 y a (t) = d 0 x a (t) Ponendo y[n]=y a (nt) e x[n]=x(nt), si ottiene: e quindi: y'[n] = c 0 c 1 y[n] + d 0 c 1 x[n] y[n] = T " $ 2 c 0 y[n] + d 0 x[n] c 0 y[n 1] + d & 0 $ # x[n 1] ' %$ c 1 c 1 c 1 c 1 ($ + + y[n 1] 25

26 Si ha: # 1+ T " 2 c 0 c 1 $ & % y[n] ' # 1' T " 2 c 0 c 1 $ & % y[n ' 1] = T 2 d 0 c 1 x[n] + x[n ' 1] () * + Facendo la trasformata z di entrambi i membri si può ricavare H(z): H(z) = Y(z) X (z) = d z 1 c 1 T 1+ z + c

27 Confrontando le espressioni delle due funzioni di rete H(s) = Y(s) X (s) = d 0 H(z) = Y(z) c 1 s + c 0 X (z) = d z 1 c 1 T 1+ z + c 1 0 si ricava la trasformazione dal piano s al piano z: s = 2 T 1 z 1 1+ z 1 Trasformazione bilineare Tale relazione può essere invertita per esprimere z in funzione di s: z = 1+ st / 2 1 st / 2 27

28 In particolare ponendo s = + j" si può scrivere: Capitolo 2 Si dimostra che: z = 1+ T 2 + j"t 2 1# T 2 # j"t 2 # % $ & % Re{s} = < 0 " z < 1 Re{s} = > 0 " z > 1 Poli stabili in s si mappano in poli stabili in z Inoltre punti del piano s che appartengono all asse immaginario si mappano in punti della circonferenza unitaria del piano z: z =0 = 1+ j"t 2 1# j"t 2 = 1$ e j% = 1+ j"t 2 1# j"t 2 28

29 Ponendo z = e jω si ricava: Capitolo 2 s = + j" = 2 1# e # j$ T 1+ e = 2 jsin($ / 2) # j$ T cos($ / 2) = j 2 tan($ / 2) T cioè s risulta puramente immaginaria (σ = 0). Si ha quindi: = 2 T $ T ' tan(" / 2) # " = 2arctan % & 2 ( ) π # = 2arctan "T & $ % 2 ' ( -π L asse immaginario positivo e quello negativo del piano s sono mappati rispettivamente nella metà superiore e nella metà inferiore della circonferenza unitaria del piano z. 29

30 L intero semipiano sinistro del piano s si mappa nella parte interna del cerchio unitario del piano z: Im{ z} 1 1 Re{ z} 30

31 Siccome l intero asse immaginario viene mappato nella circonferenza unitaria, si evita il problema dell aliasing che si ha nel metodo dell invarianza della risposta impulsiva. Si ha tuttavia una compressione nonlineare dell asse delle frequenze, che introduce una distorsione della risposta in frequenza. In particolare la trasformazione bilineare genera anche una distorsione della risposta in fase, cosicchè non è possibile ottenere un circuito numerico a fase lineare da un circuito analogico a fase lineare. 31

32 s π Capitolo 2 # = 2arctan "T & $ % 2 ' ( j H ( e ) p H ( ) a j p s Il problema della distorsione delle frequenze può essere superato mediante la predistorsione delle frequenze critiche del filtro TC (cioè quelle di taglio relative alla banda passante e alla banda oscura) secondo la relazione: = 2 tan(" / 2) 32 T