Sistemi tempo-discreto - Complementi

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1 3 Sistemi tempo-discreto - Complementi 3.1 Risposta naturale e forzata di un sistema LTI Si consideri un sistema LTI caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento: M b k z k k=0 B(z) H(z) = = 1+ N A(z). a k z k Supponiamo che l ingresso x[n] possa essere espresso nel dominio z mediante una funzione razionale, cioè X(z) = N(z) D(z). Si consideri la trasformata Z dell uscita, data da Y(z) = B(z) N(z) A(z) D(z). Supponiamo che p i,i = 1,2...,N e q i,i = 1,2...,K siano le radici dei polinomi A(z) e D(z). Per semplicità, assumiamo che le radici abbiano molteplicità uno e che non vi siano cancellazioni tra radici del numeratore e del denominatore. Consideriamo la scomposizione in fratti semplici di Y(z), data da Y(z) = C K i 1 p i z 1 + R i 1 q i z 1 Da questa espressione si osserva che esiste una componente dell uscita legata ai poli di H(z) e una legata ai poli di X(z), dette, rispettivamente, risposta naturale e risposta forzata del sistema.

2 2 Capitolo 3 Applicando la trasformataz inversa, abbiamo y[n] = K C i (p i ) n u[n]+ R i (q i ) n u[n] (3.1) Nel caso di sistemi stabili causalmente, per i quali i poli della funzione di trasferimentoh(z) sono interni al cerchio unitario, cioè p i < 1, la risposta naturale del sistema tende a zero per n tendente a +. A regime, esaurito cioè il contributo della risposta naturale, l uscita è composta solo dalla risposta forzata. Da notare che, anche se tale contributo permane grazie ai poli non interni al cerchio unitario e dovuti solo all ingresso X(z) (si pensi ad un ingresso composto da un gradino unitario, con un polo inz = 1), i fattorir i dipendono anche dai coefficienti della funzione di trasferimentoh(z). 3.2 Risposta di sistemi con condizioni iniziali non nulle In alcuni casi pratici, è necessario ricavare la risposta di un sistema risolvendo un equazione alle differenze finite senza l ipotesi di sistema in quiete. Per esempio, supponiamo di voler conoscere l uscita di un sistema governato dalla seguente equazione alle differenze finite M y[n] = a k y[n k]+ b k x[n k], in cui si assume che l ingresso x[n] sia causale e che siano note le condizioni iniziali del sistemay[n 1],y[n 2],...,y[n N], non tutte nulle. A differenza del caso di sistema in quiete (cioè, con condizioni iniziali nulle), in cui la soluzione può essere ricavata applicando la trasformata Z bilatera, in questo caso è conveniente applicare la trasformata Z monolatera ad ambo i membri dell uguaglianza. Ciò porta alla seguente espressione: Y + (z) = a k z [Y k + (z)+ k M y[ i]z ]+ i b k z k X + (z), dove abbiamo usato le proprietà della trasformata Z monolatera applicata alle sequenze traslatey[n k] ed il fatto che, la trasformataz monolatera dix[n k], con x[n] sequenza causale, è data da z k X + (z). Raccogliendo i termini che contengono Y + (z) e ricordando che per una sequenza causale vale X + (z) = F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

3 Complementi 3 X(z), abbiamo M b k z k Y + (z) = X(z) 1+ N a k z k = H(z)X(z)+Y i0 (z). a k z k k y[ i]z i 1+ N a k z k (3.2) Il primo termine coincide con la risposta del sistema in quiete, cioè con condizioni iniziali nulle. Se consideriamo queste ultime come una descrizione dello stato del sistema, la componente H(z)X(z) rappresenta l uscita corrispondente allo stato nullo. L espressione nel dominio del tempo di tale componente è quella mostrata nell equazione (3.1). Il secondo termine, invece, non dipende dall ingresso X(z) e rappresenta il contributo all uscita dovuto unicamente alle condizioni iniziali, cioè lo stato non nullo del sistema, in assenza di ingresso. Da notare chey i0 (z) è caratterizzata soltanto dai poli p k della funzione di trasferimento H(z), i quali, per sistemi stabili causalmente, sono tutti interni al cerchio unitario. Se assumiamo che tutti i poli siano semplici e applichiamo la trasformataz inversa a Y i0 (z), abbiamo y i0 [n] = C i(p i ) n u[n]. (3.3) Tale contributo all uscita tende a zero perntendente a+. Unendo i risultati delle equazioni (3.1) e (3.3), otteniamo che l uscita è data da M y[n] = (C i +C i)(p i ) n u[n]+ R i (q i ) n u[n]. Il primo termine rappresenta la risposta transitoria del sistema, cioè una componente che tende a zero per n tendente a +, mentre il secondo termine, il quale coincide con la risposta forzata del sistema, viene anche detto risposta a regime. Esempio 3.1 Esempio Si consideri un sistema del primo ordine caratterizzato dalla seguente equazione alle differenze finite y[n] = 1 2 y[n 1]+x[n], e dalla condizione iniziale y[ 1] = 1. Si desidera ricavarne la risposta naturale, forzata, transitoria e a regime quando l ingresso è il gradino unitario, cioè x[n] = u[n].

4 4 Capitolo 3 Per il calcolo della risposta naturale e forzata, si consideri il sistema in quiete. Nel dominioz, l uscita è data da 1 1 Y s0 (z) = H(z)X(z) = z 1 1 z 1 1 = z 1 1 z 1, dove abbiamo aggiunto il pedices 0 per indicare la risposta per stato nullo. Applicando la trasformataz inversa abbiamo ( ) 1 n y s0 [n] = u[n]+2u[n] = y n [n]+y f [n], 2 dovey n [n] ey f [n] rappresentano la risposta naturale e quella forzata del sistema. Consideriamo adesso la risposta con ingresso nullo e conseguenza soltanto delle condizioni iniziali non nulle. Dall espressione in (3.2), si ricava Y i0 (z) = a k z k k y[ i]z i 1+ N a k z k = a 1 1y[ 1] 1+a 1 z 1 = z 1. Applicando la trasformata inversa si ottiene y i0 [n] = 1 ( ) 1 n u[n]. 2 2 Aggiungendo tale contributo all uscita precedentemente ricavata si ottiene l uscita complessiva, data da y[n] = 1 ( ) 1 n u[n]+2u[n] = y t [n]+y r [n], 2 2 dove con y t [n] e y r [n] abbiamo indicato la risposta transitoria e la risposta a regime (coincidente con quella forzata) del sistema. 3.3 Deconvoluzione, sistemi inversi, identificazione In molte applicazioni, è noto il segnale di uscita y[n] di un sistema LTI (vedi Figura 3.1) e si desidera avere informazioni o sul segnale di ingresso x[n] o sulla risposta impulsiva h[n]. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

5 Complementi 5 Figura 3.1 Sistema LTI. Ci si riferisce ad un problema di ricerca del sistema inverso nel caso in cui si desideri determinare l ingresso x[n] conoscendo le caratteristiche (h[n] o H(z)) del sistema LTI. Per esempio, nelle trasmissioni numeriche, a partire dal segnale ricevuto y[n], si vuole stimare la sequenza di simboli trasmessi x[n] che hanno attraversato il canale di comunicazioneh[n] (problema di equalizzazione). Il problema è invece di identificazione nel caso in cui si desideri caratterizzare il sistema LTI (determinare, cioè, h[n] o H(z)) supponendo noto l ingresso x[n]. Tale problema si pone, per esempio, in geofisica per la caratterizzazione degli strati terrestri, in acustica per caratterizzare l ambiente di riproduzione, nelle telecomunicazioni per stimare il canale di comunicazione (specialmente nel caso di canale radio). Anche se, in linea di principio, si tratta, in entrambi i casi, di un problema di deconvoluzione, cioè di determinare una delle due sequenze di una convoluzione nota l altra sequenza e quella di uscita, in pratica le soluzioni per questi due problemi possono essere diverse (per esempio, nel problema di identificazione, si può assumere di avere una certa libertà nella scelta dix[n]) Sistema inverso Il problema della ricerca del sistema inverso può essere risolto con lo schema riportato in Figura 3.2. Il sistema inverso è rappresentato dalla funzione di trasferimento H I (z) = 1/H(z), la cui completa determinazione necessita la definizione di un opportuna regione di convergenza affinché sia soddisfatta la condizione di stabilità. Figura 3.2 Sistema inverso. Esempio 3.2 Esempio Siah[n] = a n u[n], cioè H(z) = 1 1 az 1, con a < 1 per soddisfare la condizione di stabilità. In questo caso, il sistema inverso è dato da H I (z) = 1 az 1,

6 6 Capitolo 3 cioè è di tipo FIR, conroc = {z : z 0}. Quindi, la sua implementazione non è affetta da problemi di stabilità. Sia inveceh[n] = δ[n] bδ[n 1], cioèh(z) = 1 bz 1. Il sistema inverso ha funzione di trasferimento 1 H I (z) = 1 bz 1. Ad essa può essere associata una risposta impulsiva causale (h[n] = b n u[n]) oppure anticausale (h[n] = b n u[ n 1]) nei casi in cui b < 1 (cioè ROC = {z : z > b}) oppure b > 1 (cioèroc = {z : z < b}). In generale, si può affermare che seh(z) è un sistema a fase minima (avente cioè tutti gli zeri e tutti i poli interni alla circonferenza unitaria), allora anche H I (z) è a fase minima e può essere implementato in modo stabile e causale Identificazione In Figura 3.3 è mostrato uno schema a blocchi del problema di identificazione. Esso si basa sull osservazione sperimentale dell uscita y[n] in corrispondenza di un ingresso noto. Figura 3.3 Problema di identificazione. Sia x[n] una sequenza causale (x[n] = 0 per n < 0) e si assuma che anche h[n] sia un sistema causale. L equazione che produce l uscita all istante n è data da n y[n] = h[k]x[n k] k=0 Un semplice algoritmo di identificazione si basa sulla seguente procedura iterativa. Dall ipotesi di causalità suh[n] e osservandoy[0], abbiamo y[0] = h[0]x[0] h[0] = y[0] x[0]. Osservando in sequenza i campioni dell uscita y[n], n = 1,2..., possiamo ricavare, ricorsivamente, i campioni h[n], dati da n 1 y[n] = h[n]x[0]+ h[k]x[n k] h[n] = y[n] n 1 k=0 h[k]x[n k]. x[0] k=0 Lo stesso algoritmo può essere applicato anche per la realizzazione di un sistema inverso scambiando i ruoli dix[n] e dih[n]. L algoritmo può presentare problemi di precisione numerica al crescere di n ed è in pratica applicabile alla stima di sequenze che tendono rapidamente a zero. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

7 Bibliografia [1] S. K. Mitra, Digital signal processing, 3 a edizione, McGraw-Hill, [2] J. G. Proakis, D. G. Manolakis, Digital signal processing, 4 a edizione, Prentice Hall, 2006.